爱智康八年级春季培优讲义第6讲矩形菱形的性质与判定.docx

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爱智康八年级春季培优讲义第6讲矩形菱形的性质与判定

矩形与菱形的性质与判定

模块一矩形的概念与性质

知识点睛：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

如图平行四边形ABCD，∠A＝90°，四边形ABCD为矩形．

1．矩形的性质

矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

①边的性质：

对边平行且相等．

②角的性质：

四个角都是直角．

③对角线性质：

对角线互相平分且相等．

④对称性：

矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．

典型例题

考点一：

矩形边的性质

【例1】

（1）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AE⊥BD于E，∠DAE：

∠BAE＝3∶1，则∠EAC＝_______．

（2）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4将矩形沿EF对折，使点C与A重合，如图，求折痕EF的长．

考点二：

矩形角的性质

【例1】

（1）如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠DAE＝__________．

【例2】

（1）已知，如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CE＝AC，F是AE中点．求证：

BF⊥DF．

（2）已知，如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED.EF⊥ED

求证：

AE平分∠BAD．

考点三：

矩形与面积

【例1】如图，O是矩形ABCD的对角线交点，过点O作EF⊥AC分别交AD、BC于F、E，

若AB＝2cm，BC＝4cm，求四边形AECF的面积．

考点四：

矩形性质综合应用

【例1】如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．

①如图1，当点P为线段EC中点时，易证：

PR＋PQ＝

（不需证明）．

②如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

③如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想.

模块二矩形的判定

知识点睛：

2．矩形的判定

判定①：

有一个角是直角的平行四边形是矩形．

判定②：

对角线相等的平行四边形是矩形．

判定③：

有三个角是直角的四边形是矩形．

典型例题

【例1】如图，点A是四边形BCED外一点，且满足AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，∠BAD＝∠CAE．

求证：

四边形BCED是矩形．

【例2】如图，平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：

四边形PQMN是矩形．

【例3】如图，在△ABC中，点D是AC边上的一个动点，过点D作直线MN//BC，若M交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.

（1）求证：

DE＝DF

（2）当点D运动到何处时，四边形AECF为矩形？

请说明理由。

【例4】如图，已知在四边形ABCD中，AC⊥DB交于O，E、F、G、H分别是四边的中

点，求证四边形EFGH是矩形．

【巩固】

（1）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．

①求证：

BD＝CD．

②如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

（3）如图，等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．

①求∠CAE的度数；

②取AB边的中点F，连结CF、CE．证明：

四边形AFCE是矩形．

模块三菱形的概念与性质

知识点睛：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

如图平行四边形ABCD,AD＝AB，四边形ABCD为菱形．

3．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

①边的性质：

对边平行且四边相等．

②角的性质：

邻角互补，对角相等．

③对角线性质：

对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④对称性：

菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

典型例题

考点一：

菱形边的性质

【例1】

（1）如图1所示，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）

A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2

（2）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为

，则另一条对角线的长为_______．

考点二：

菱形角的性质

【例1】

（1）菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD，那

么∠EAF的度数为_________．

考点三：

菱形对角线的性质

【例2】

（1）已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于_______________．

【例3】如图，在菱形ABCD中，AB＝4a，E在BC上，BE＝2a，∠BAD＝120°，点在BD上，则PE＋PC的最小值为___________.

考点四：

菱形性质综合应用

【例1】

（1）如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥AC于H，交CB的延长线于F，交AB于P，证明：

AB与EF互相平分．

（2）已知：

如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，D与对角AC交于点M，过M

作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.

①若CE＝1，求BC的长；

②求证：

AM＝DF＋ME.

（3）已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°求∠CEF的度数．

（4）如图，菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG．

①求证：

△AED≌△DFB；

②求∠BGD的度数；

③求证：

DG＋BG＝CG．

（5）如图：

菱形ABCD由两个等边三角形组成，点P是△ABD内任一点，将△BPD绕点B旋转到△BQC的位置．则：

①当四边形BPDQ是平行四边形时，求∠BPD；

②当△PQD是等腰直角三角形时，求∠BPD；

③若∠APB＝100°，且△PQD是等腰三角形时，求∠BPD．

模块四菱形的判定

4．菱形的判定

判定①：

一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：

四边相等的四边形是菱形．

典型例题

【例1】已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF//AB，分别交AC、BC于E、F点，作PM//AC，交AB于M点，连结ME.

①求证四边形AEPM为菱形

②当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

【例2】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O、E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．求证：

四边形ABCD是菱形；

【例3】如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF连接AD．

（1）求证：

四边形AFCD是菱形；

（2）连接BE并延长交AD于G连接CG，请问：

四边形ABCG是什么特殊平行四边形？

为什么？

【例4】如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，证明四边形PQMN为菱形．

课后作业

【题1】如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝10，AD＝6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为________.

【题2】已知，如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC于F，求证：

CF＝BD．

【题3】如图，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点M为DA延长线上一点，MB、DE的延长线交于点N，且∠MNC＝90°．

（1）求证：

AD＝2EN；

（2）求证：

DM＝DN．

【题4】如图，矩形ABCD中，点E在线段CB的延长线上，连结DE交AB于点F，

∠AED＝2∠CED，点G是DF的中点，若BE＝1，AG＝4，求AB的值？

【题5】如图，△ABC中，AE＝ED，AF//BC，AF＝BD．

（1）求证：

BD＝CD；

（2）若AB＝AC，判断四边形AFBD的形状并证明．

【题6】如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为BD的中点，OE⊥AB于点E．

（1）求∠ADB的度数；

（2）求OE的长．

【题7】如图，菱形ABCD中，△AEF是正三角形，点E、F分别在BC、CD上，且AB＝AE，求∠B的值？

【题8】如图，菱形ABCD中，AB＝1，∠ABC＝60°，点E、F分别在CB、DC边的延长线上，且∠EAF＝60°．

（1）求证：

∠AEB＝∠AFC；

（2）求CE－CF的值．

【题9】如图，菱形ABCD中，∠ADC＝12°，N为DB延长线上一点，E为DA延长线上一点，且BN＝DE，连CN、EN．

（1）求∠CBN的度数；

（2）求证：

CN＝EN．

【题10】如图，△ABC中，PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，PE//AB交A于

点E，PF//AC交AB于点F．求证：

四边形AEDF为菱形．

【题11】如图，Rt△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点M、交AC于点E，AN平分∠CAD交BC于点N．求证：

四边形AMNE为菱形．