六年级奥数讲义列方程解应用题.doc

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列方程解应用题

【内容概述】#一些基本概念：

①像4x+2=9这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元

一次方程；

②像2x+y=8这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元

一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；

③如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个

方程才能求出唯一解.

#列方程解应用题的一般步骤是：

①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；

②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：

问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数；

③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；

④解方程；

⑤将结果代入原题检验。

概括成五个字就是：

“审、设、列、解、验”.

列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。

寻找等量关系的常用方法是：

根据题中“不变量”找等量关系。

类型一：

列简易方程解应用题

【例1】解下列方程：

（1）

（2）

（3） （4）

（1）

（2）

（3）

（4）

【例2】汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？

（声音的速度以340米/秒计算）

设听到回音时汽车离山谷x米，根据题意可得：

340×4=2x+2×4，解得x=676（米）.

【例3】用绳子测井深，绳子两折时,余60厘米,绳子三折时,差40厘米，求绳长和井深？

分析：

设井深是x厘米，则有：

2x+60×2=3x-40×3，井深x=240（厘米），绳长600厘米；

【例4】箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7个白球，15个红球．如果经过若干次以后，箱子里只剩下3个白球，53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个?

分析：

设取球的次数为x次．那么原有的白球数为（3+7x），红球数为（53+15x）．再根据题中的第一个条件：

53+15x=3×（3+7x）+2，解得x=7，所以原有红球158个，原有白球52个，红球比白球多106个．

类型二：

引入参数列方程解应用题

【例5】六年级二班数学考试的平均分数是85分，其中的人得80分以上（含80分），他们的平均分数是90分。

求低于80分的人的平均分。

分析：

设该班级有名同学，低于80分的人的平均分为，则得方程:

解得x=75.

类型三：

列不定方程解应用题

【例6】有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。

问：

大、小油桶各几个？

分析：

设有大油桶x个，小油桶y个。

由题意8x+5y=44，知8x≤44，所以x＝0、1、2、3、4、5。

相应的将x的所有可能值代入方程，可得x＝3时，y=4.此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解.

【例7】小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔＿＿支．

分析：

设买5分一支的铅笔ｍ支，7分一支的铅笔n支。

则：

5×ｍ+7×ｎ=64，64—7×n是5的倍数．用n=0，1，2，3，4，5，6，7，8代入检验，只有n=2，7满足这一要求，得出相应的ｍ=10，3．即小华买铅笔lO+2＝12支，小强买铅笔7+3=10支，小华比小强多买2支．

【例8】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。

小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分。

问：

小明至多套中小鸡几次？

分析：

设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗（10-x-y）次。

根据得61分可列方程：

9x+5y+2（10-x-y）=61，化简后得7x=41－3y。

显然y越小，x越大。

将y=1代入得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5，所以小明至多套中小鸡5次.

附加题目

【附1】甲、乙、丙、丁四人共做零件270个。

如果甲多做10个，乙少做10个，丙的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？

分析:

设四人做的零件数恰好都为x，根据题意可得：

（x-10）+（x+10）+（x÷2）+（x×2）=270，解得x=60，丙实际做了60÷2=30（个）.

【附2】有甲乙丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时；丙是22岁，当乙的年龄是丙的2倍，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁?

分析：

设丙22岁时，乙的年龄是x岁，当时甲的年龄就是2x岁．那么甲是3l岁时，乙是（31-x）岁，丙是22+（31-2x）=53-2x岁，且有：

31-x=2×（53-2x），解得x=25，所以乙25岁时，甲50岁，丙22岁．那么甲60岁时，丙32岁．

【附3】有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆石子个数就也相等了；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍，问：

原来甲堆有多少个石子?

分析：

设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙后，甲乙两堆都是（x-8）个石子；然后乙取6个给丙，乙丙的石子数都变成了x-8-6=x-14；再从丙堆取2个给甲堆，那么甲堆变为x-8+2=x-6，丙堆变为

x-14-2=x-16，此时有关系：

x-6=2（x-16），解得x=26．

练习

1.一个分数约分后将是,如果将这个分数的分子减少124,分母减少11,所得的新分数约分后将是.那么原分数是.

2.八个自然数排成一行,从第三个数开始,每个数都等于它前面两个数的和.已知第一个数是3,第八个数是180,那么第二个数是.

3,□,□,□,□,□,□180

3.一个长方形的长与宽之比是14:

5,如果长减少13厘米,宽增加13厘米,则面积增加182平方厘米.原长方形的面积是平方厘米.

4.某商品按每个5元利润卖出11个的价钱,与按每个11元的利润卖出10个价钱一样多.这个商品的成本是元.

5.粮店中的大米占粮食总量的,卖出600千克大米后,大米占粮食总量的.这个粮店原来共有粮食千克.

6.从家里骑摩托车到火车站赶乘火车.如果每小时行30千米,那么早到15分钟;如果每小时行20千米,则迟到5分钟.如果打算提前5分钟到,摩托车的速度应是.

7.两个杯中分别装有浓度40%与10%的食盐水,倒在一起后混合食盐水浓度为30%.若再加入300克20%的食盐水,则浓度变为25%.那么原有40%的食盐水克.

8.某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1:

2:

3.他用十个工时能做成2件衬衣、3条裤子和4件上衣.那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2件上衣,共需工时.

9.一个运输队包运1998套玻璃具.运输合同规定:

每套运费以1.6元计算,每损坏一套,不仅不得运费,还要从总费中扣除赔偿费18元.结果这个运输队实际得运费3059.6元,那么,在运输过程中共损坏套茶具.

10.摄制组从A市到B市有一天的路程,计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭.由于道路堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一.过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息.司机说,再走从C市到这里的二分之一,就到达目的地了.那么A,B两市相距千米.

二、解答题

11.A、B两地相距30千米.甲骑自行车从A到B,开始速度为每小时20千米,一段时间后减速为每小时15千米.甲出发1小时后,乙驾驶摩托车以每小时48千米的速度也由A到B,中途因加油耽误了10.5分钟.结果甲乙两人同时到达B地.甲出发后多少分钟开始减速的?

12.一批树苗,按下列原则分给各班栽种;第一班取走100棵又取走剩下树苗的,第二班取走200棵又取走剩下树苗的.第三班取走300棵又取走剩下树苗的,照此类推,第i班取走树苗100´i棵又取走剩下树苗的.直到取完为止.最后各班所得树苗都相等.试问这批树苗有多少棵?

有几个班?

每个班取走树苗多少棵?

13.一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米,在下坡路上行驶的速度是每小时50千米,在平路上行驶的速度是每小时45千米.某日这辆汽车从甲地开往乙地,先是用了的时间走上坡路,然后用了的时间走下坡路,最后用了的时间走平路.已知汽车从乙地按原路返回甲地时,比从甲地开往乙地所用的时间多15分钟,求甲、乙两地的距离.

14.兄弟两人骑马进城,全程51千米.马每小时行12千米,但只能由一个人骑.哥哥每小时步行5千米,弟弟每小时步行4千米.两人轮换骑马和步行,骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计）,然后独自步行.而步行者到达此地,再上马前进.如果他们早晨六点动身,何时能同时到达城里?

1..设原分数是,由题意有,解得x=67,所以原分数是.

2.12设第二个数是x,则这八个数可写为3,x,3+x,3+2x,6+3x,9+5x,15+8x,24+13x.由24+13x=180,解得x=12.

3.630设原长方形的长是14a厘米,则宽是5a厘米.由题意可列方程

14a´5a+182=（14a-13）´（5a+13）70a2+182=70a2+117a-169

解得a=3,所以原长方形的面积为14a´5a=70a2=630（平方厘米）

4.55设成本是x元.根据题意可列方程（x+5）´11=（x+11）´10,解得x=55（元）.

5.4200设原来有粮食x千克,根据现有大米可列方程解得x=4200（千克）.

6.42设离火车开车时刻还有x分钟,根据从家到火车站的距离,可列方程,解得x=55（分钟）,所求速度应是30´[（55-15）¸（55-5）]=24（千米/小）

7.200浓度为30%与20%的食盐水混合成25%的食盐水,则30%与20%的食盐水的质量应相同,所以40%与10%的食盐水混合成30%的食盐水有300克.

设原有40%的食盐水x克,则10%的食盐水有300-x（克）.由x´40%+（300-x）´10%=300´30%,解得x=200（克）.

8.20设缝纫师做一件衬衣的时间为x,则一条裤子的时间为2x,做一件上衣用时为3x.

由于十个工时完成2件衬衣、3条裤子、4件上衣，即2x+3´（2x）+4´（3x）=10（工时）.

即20x=10（工时）,则完成2件上衣、10条裤子、14件衬衣共需：

2´（3x）+10´（2x）+14x=40x=20（工时）.

9.7

设共损坏x套茶具,依题意,得1.6´（1998-x）-18´x=3059.6,解得x=7.

10.600设BC=x千米,则AC=（x+1）千米,依题意,得

解得x=250,两地相距（x+1）+x=2x+1=600（千米）.

11.设甲出发后x分钟开始减速的,依题意,得

20´.解得x=36（分钟）.

12.设这批树苗有x棵,则第一班取走树苗（100+棵,第二班取走

树苗棵.依题意,得,解得x=8100,于是第一班取走的棵数,也就是每个班取走的棵数为,参加栽树的班数为,所以这批树苗有8100棵,共有9个班,每个班取走的树苗都是900棵.

13.设汽车从甲到乙所用时间为3x小时,依题意,得,解得x=5,故甲、乙两地的距离为40x+50x+45x=135x=675（千米）.

14.设哥哥步行了x千米,则骑马行了51-x千米.而弟弟正好相反,步行了51-x千米,骑马行x千米,依题意,得,解得x=30（