几何证明专题七.docx

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几何证明专题七

几何证明专题七

适用学科

初中数学

适用年级

九年级

适用区域

广东省

课时时长（分钟）

60

知识点

三角形的概念，特殊平行四边形性质，相似三角形

教学目标

理解三角形全等的证明，特殊平行四边形的证明方法

教学重点

全等三角形的证明及应用

教学难点

特殊平行四边形的灵活应用

教学过程

一、课堂导入

我们前面学习的内容基本都是数与式的关系，但几何图形又有什么联系呢？

二、复习预习

一、线与角

1、两点之间，线段最短。

2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。

3、等角的补角相等，等角的余角相等。

4、对顶角相等。

5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

6、

（1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

（2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

8、平行线的判定：

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。

二全等图形:

9、全等多边形的对应边、对应角分别相等。

10、全等三角形：

能够完全重合的两个三角形称为全等三角形；互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

11、全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

12、全等三角形的判定：

（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三个角全等。

（SSS）

（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（SAS）

（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（ASA）

（4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（AAS）。

（5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（HL）

三、知识讲解

考点1线段垂直平分线，角的平分线，垂线

1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

考点2平行线

1、平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

相交或平行。

4、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）两直线平行，内错角相等；（3）两直线平行，同旁内角互补。

考点3全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：

有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

考点4相似三角形

1、相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”来表示

2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

相似三角形的等价关系：

（1）反身性：

对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；

（2）对称性：

若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC

（3）传递性：

若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。

3、三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法

①定义法：

对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

②平行法：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

③判定定理1：

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：

如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似

（2）直角三角形相似的判定方法

①以上各种判定方法均适用

②定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

4、相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

（3）相似三角形周长的比等于相似比

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5、相似多边形

（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）

（2）相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等，对应边成比例

②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比

③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比

④相似多边形面积的比等于相似比的平方

6、位似图形

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。

考点5，特殊四边形

特殊四边形的有关性质、判定：

图形

性质

判定

对称性

平行

四边形

①对边平行且相等；

②对角相等；

③对角线互相平分。

①两组对边分别平行的四边形；

②两组对边分别相等的四边形；

③一组对边平行且相等的四边形；

④两组对角分别相等的四边形；

⑤对角线互相平分的四边形。

中心对称

矩形

①对边平行且相等；

②四个角都相等都是直角；

③对角线互相平分且相等。

①有一个角是直角的平行四边形；

②有三个角是直角的四边形；

③对角线相等的平行四边形。

轴对称

中心对称

菱形

①对边平行且四条边都相等；

②对角相等；

③对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

①有一组邻边相等的平行四边形；

②四条边相等的四边形；

③对角线互相垂直的平行四边形。

轴对称

中心对称

正方形

①对边平行且四条边都相等；

②四个角都相等都是直角；

③两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角。

①有一个角是直角的菱形；

②有一组邻边相等的矩形；

③两条对角线垂直的矩形；

④两条对角线相等的菱形。

轴对称

中心对称

等腰

梯形

①一组对边平行而另一组对边不平行，两腰相等；

②同一条底边上的两个角相等；

③对角线相等。

①两腰相等的梯形；

②同一条底边上的两个角相等的梯形；

③两条对角线相等的梯形。

轴对称

四、例题精析

考点1平行四边形的性质；等腰直角三角形；翻折变换

例1如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为　．

【规范解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，∴BE=BD=1．

如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．

∴∠BEB′=90°，∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=

BE=

．

又∵BE=DE，B′E⊥BD，

∴DB′=BB′=

．

故答案是：

．

【总结与反思】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换（折叠的性质）．推知DB′=BB′是解题的关键．　

考点2相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理

例2如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=　　．

【规范解答】解：

如图，延长BQ交射线EF于M，

∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，

∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，

∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，

∴

=

=2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：

12．

【总结与反思】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形。

考点3平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质

例3如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为．

【规范解答】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，

∴AD=DE,∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°.

∴∠DAE=

.

考点4全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质

例4如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：

AD=AE．

【规范解答】证明：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△ABD与△ACE中，

∵

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE．

【总结与反思】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等边对等角得到∠B=∠C．

五、课堂运用

【拔高】

1，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．

（1）当点P在线段AB上时，求证：

△APQ∽△ABC；

（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

【规范解答】

（1）证明：

∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，

∴∠APQ=∠C．

在△APQ与△ABC中，

∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，

∴△APQ∽△ABC．

（2）解：

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：

AC=5．

∵∠BPQ为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ．

（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．

由

（1）可知，△APQ∽△ABC，

∴

，即

，解得：

PB=

，

∴AP=AB﹣PB=3﹣

=

；

（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，点B为线段AB中点，

∴AP=2AB=2×3=6．

综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为

或6．

2、

（1）先求解下列两题：

①如图①，点B，D在射线AM上，点C，E在射线AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度数；

②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B，C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数

的图象经过点B，D，求k的值．

（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？

请简单地写出．

【规范解答】解：

（1）①∵AB=BC=CD=DE，

∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，

根据三角形的外角性质，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，

又∵∠EDM=84°，

∴∠A+3∠A=84°，

解得，∠A=21°；

②∵点B在反比例函数y=图象上，点B，C的横坐标都是3，∴点B（3，），

∵BC=3，∴点C（3，+2），∵AC∥x轴，点D在AC上，且横坐标为1，∴A（1，+2），

∵点A也在反比例函数图象上，∴+2=k，解得，k=3；

（2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．（开放题）

3、如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．

（1）求证：

AE=BC；

（2）如图

（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：

CE′=BF′；

（3）在

（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？

若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．

【规范解答】

（1）证明：

∵AB=BC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=36°，

∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，

∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，

∴AE=BE，BE=BC，

∴AE=BC．

（2）证明：

∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；由旋转的性质可知：

∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，∵在△CAE′和△BAF′中

，

∴△CAE′≌△BAF′，

∴CE′=BF′．

（3）存在CE′∥AB，

理由：

由

（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，

如图：

①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，

∴α=∠CAM=36°．

②当点E的像E′与点N重合时，由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．

4、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．

求证：

△GAB是等腰三角形．

【规范解答】证明：

∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，

∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，

在△ADE和△BCF中，

，

∴△ADE≌△BCF（SAS），

∴∠DAE=∠CBF，

∴∠GAB=∠GBA，

∴GA=GB，

即△GAB为等腰三角形．

课程小结

1、三角形的概念

由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示

三角形有下面三个特性：

（1）三角形有三条线段

（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形

（3）首尾顺次相接

三角形用符号“

”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“

ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下：

不等边三角形

三角形底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：

等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：

三角形的两边之和大于第三边。

推论：

三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。

2、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：

有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

3、全等变换

只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：

把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：

将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：

将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。