几类不同增长的函数模型教学设计.docx

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几类不同增长的函数模型教学设计

几类不同增长的函数模型教学设计

教学设计

3.2.1　几类不同增长的函数模型

整体设计

教学分析

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．

三维目标

1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．

2．恰当运用函数的三种表示方法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题．

3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣．

重点难点

教学重点：

认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．

教学难点：

应用函数模型解决简单问题．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

作者：

林大华

导入新课

思路1．（事例导入）

一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？

解：

纸对折n次的厚度：

f（n）＝0.012n（cm），n块砖的厚度：

g（n）＝10n（cm），f（20）≈105m，g（20）＝2也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解．

思路2．（直接导入）

请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．

推进新课

新知探究

提出问题

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数．

（2）正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数．

（3）某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数．

（4）分别用表格、图象表示上述函数．

（5）指出它们属于哪种函数模型．

（6）讨论它们的单调性．

（7）比较它们的增长差异．

（8）另外还有哪种函数模型与对数函数相关．

活动：

先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．

（1）总价等于单价与数量的积．

（2）面积等于边长的平方．

（3）由特殊到一般，先求出经过1年、2年…

（4）列表画出函数图象．

（5）引导学生回忆学过的函数模型．

（6）结合函数表格与图象讨论它们的单调性．

（7）让学生自己比较并体会．

（8）其他与对数函数有关的函数模型．

讨论结果：

（1）y＝x.

（2）y＝x2.

（3）y＝（1＋5%）x.

（4）如下表

x12＝x12＝x2149162＝（1＋5%）x1.051.101.161.221.2它们的图象分别为图1，图2，图3.

图1图2图3

（5）它们分别属于：

y＝kx＋b（直线型），y＝ax2＋bx＋c（a≠0，抛物线型），y＝kax＋b（指数型）．

（6）从表格和图象得出它们都为增函数．

（7）在不同区间增长速度不同，随着x的增大y＝（1＋5%）x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．

（8）另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫做对数型函数．

应用示例

例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：

每天回报40元；

方案二：

第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：

第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

活动：

学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：

我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．

解：

设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40（x∈N*）进行描述；方案二可以用函数y＝10x（x∈N*）进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1（x∈N*）进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.

x/天方案一方案二方案三

y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元

140100.4

240020100.800030101.600040103.20050106.43.2

640060101200701025.61200801051.22009010102.451.2

1040010010204.8102.4

…………………

3040030010202.4

再作出三个函数的图象（图4）．

图4

由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．

下面再看累积的回报数．通过计算机或计算器列表如下：

因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三．

针对上例可以思考下面问题：

①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数．

②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？

③由此得出怎样的结论．

答案：

①选择哪种方案依据的是累积回报数．

②让我们体会每天回报数的增长变化．

③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.

变式训练

某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：

“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么

（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；

（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；

（3）求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；

（4）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算．

思路分析：

我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据．

（1）全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；

（2）运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；（3）可利用方程组求解，也可以根据图象回答；（4）求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大．

解：

（1）y1＝50＋0.4x（x≥0），y2＝0.6x（x≥0）．

（2）图象如图5所示．

图5

（3）根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同．

（4）当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算．

另解：

当y1＝200时有0.4x＋50＝200，∴x1＝375；

当y2＝200时有0.6x＝200，x2＝10003.显然375＞10003，

∴选用“全球通”更合算．

点评：

在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.

例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：

在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：

万元）随着利润x（单位：

万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：

y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？

活动：

学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：

某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．

解：

借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象（图6）．

图6

观察函数的图象，在区间[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．

下面通过计算确认上述判断．

首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．

对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；

对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间（805,806）内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；

对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1000]上递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．

再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有yx＝log7x＋1x≤0.25成立．

图7

令f（x）＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]．利用计算器或计算机作出函数f（x）的图象（图7），由函数图象可知它是递减的，因此

f（x）＜f（10）≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.

所以当x∈[10,1000]时，log7x＋1x＜0.25.

说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不超过利润的25%.

综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司的要求.

变式训练

市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：

该商品的价格每上涨x%（x＞0），销售数量就减少kx%（其中k为正实数）．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．

（1）当k＝12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？

（2）在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围．

解：

依题意，价格上涨x%后，销售总金额为

y＝a（1＋x%）b（1－kx%）＝ab10000[－kx2＋100（1－k）x＋10000]．

（1）取k＝12，y＝ab10000－12x2＋50x＋10000，

所以x＝50，

即商品价格上涨50%，y最大为98ab.

（2）因为y＝ab10000[－kx2＋100（1－k）x＋10000]，

此二次函数的开口向下，对称轴为x＝50（1－k）k，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集内增大时，y也增大．

所以50（1－k）k＞0，解得0＜k＜1.

点评：

这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.

知能训练

光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.

（1）写出y关于x的函数关系式；

（2）通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．（lg3≈0.4771）

解：

（1）光线经过1块玻璃后强度为（1－10%）k＝0.9k；

光线经过2块玻璃后强度为（1－10%）0.9k＝0.92k；

光线经过3块玻璃后强度为（1－10%）0.92k＝0.93k；

光线经过x块玻璃后强度为0.9xk.

∴y＝0.9xk（x∈N*）．

（2）由题意：

0.9xk＜k3.∴0.9x＜两边取以10为底的对数，xlg0.9＜lg∵lg0.9＜0，∴x＞lg13lg0∵lg13lg0.9＝lg31－2lg3≈10.4，∴xmin＝∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．

拓展提升

某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象（如图8所示）．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m2；

③野生水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；

④设野生水葫芦蔓延到2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；

⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．

哪些说法是正确的？

图8

解：

①说法正确．

∵关系为指数函数，

∴可设y＝ax（a＞0且a≠1）．∴由图知2＝a1.

∴a＝2，即底数为2.

②∵25＝32＞30，∴说法正确．

③∵指数函数增长速度越来越快，

∴说法不正确．

④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．

⑤∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．

课堂小结

活动：

学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．

引导方法：

从基本知识和基本技能两方面来总结．

答案：

（1）建立函数模型；

（2）利用函数图象性质分析问题、解决问题．

作业

课本习题3.2A组1,2.

设计感想

本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是不可多得的素材．

第2课时

作者：

张建国

导入新课

思路1．（情境导入）

国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：

“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，……，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．

思路2．（直接导入）

我们知道，对数函数y＝logax（a＞1），指数函数y＝ax（a＞1）与幂函数y＝xn（n＞0）在区间（0，＋∞）上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．

推进新课

新知探究

提出问题

（1）在区间（0，＋∞）上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.

（2）列表并在同一坐标系中画出三个函数的图象.

（3）结合函数的图象找出其交点坐标.

（4）请在图象上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.

（5）由以上问题你能得出怎样的结论？

讨论结果：

（1）在区间（0，＋∞）上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为增函数．

（2）见下表与图9.

x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…

y＝2x2224.5956.063810.556…

y＝x20.0402…

y＝log2x－2.322－0.73700.4850…

图9

（3）从图象看出y＝log2x的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y＝2x的图象与y＝x2的图象有交点．

（4）不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是（2,4）和（0,2）∪（4，＋∞）．

（5）我们在更大的范围内列表作函数图象（图10），

x012345678…

y＝2x1248163264128256…

y＝x201491625364964…

图10

容易看出：

y＝2x的图象与y＝x2的图象有两个交点（2,4）和（4,16），这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.

但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图11和下表所示．

x01020304050607080…

y＝2x110241.05E＋061.07E＋091.10E＋121.13E＋151.15E＋181.18E＋211.21E＋24…

y＝x2010040090016002500360049006400…

图11

一般地，对于指数函数y＝ax（a＞1）和幂函数y＝xn（n＞0），通过探索可以发现，在区间（0，＋∞）上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.

同样地，对于对数函数y＝logax（a＞1）和幂函数y＝xn（n＞0），在区间（0，＋∞）上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.

综上所述，尽管对数函数y＝logax（a＞1），指数函数y＝ax（a＞1）与幂函数y＝xn（n＞0）在区间（0，＋∞）上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax（a＞1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n＞0）的增长速度，而y＝logax（a＞1）的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.虽然幂函数y＝xn（n＞0）增长快于对数函数y＝logax（a＞1）增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．

应用示例

例1某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月（以30天计）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？

并计算他一个月最多可赚得多少元？

活动：

学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：

设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．而每月所获利润＝卖报收入的总价－付给报社的总价．卖报收入的总价包含三部分：

①可卖出400份的20天里，收入为20×0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10×0.30×250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10×0.05×（x－250）．付给报社的总价为30×0.20x.

解：

设摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为

y＝20×0.30x＋10×0.30×250＋10×0.05×（x－250）－30×0.20x＝0.5x＋625，x∈[250,400]．

因函数y在[250,400]上为增函数，故当x＝400时，y有最大值825元．

图12

例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：

服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图12所示的曲线．

（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；

（2）据测定：

每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7：

00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳？

解：

（1）依题意，得y＝6t，0≤t≤1，－23t＋203，1t≤10.

（2）设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－23t1＋203＝4，t1＝4.因而第二次服药应在11：

00；

设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有－23t2＋203－23（t2－4）＋203＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：

00；

设第四次服药在第一次后t3小时（t3＞10），则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，－23（t3－4）＋203－23（t3－9）＋203＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：

30.

变式训练

通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：

讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生接受概念的能力[f（x）的值愈大，表示接受的能力愈强]，x表示提出和讲授概念的时间（单位：

分钟），可有以下的公式：

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？

能维持多长时间？

（2）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？

解：

（1）当0＜x≤10时，f（x）＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1（x－13）2＋59.9，

知当x＝10时，[f（x）]max＝f（10）＝59；

当10＜x≤16时，f（x）＝59；当16＜x≤30时，f（x）＝－3x＋107，

知f（x）＜－3×16＋107＝因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟．

（2）∵f（5）＝－0.1×（5－13）2＋59.9＝53.5，f（20）＝－3×20＋107＝47＜53.5，

∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强．

点评：

解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练.

知能训练

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图13

（1）的一条折线表示；西红柿