高考数学精练6数列.docx

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高考数学精练6数列

高三单元滚动检测卷·数学

考生注意：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。

3．本次考试时间120分钟，满分150分。

单元检测六　数　列

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2015·南昌调研）已知{an}是等差数列，a1＋a7＝－2，a3＝2，则{an}的公差d等于（　　）

A．－1B．－2

C．－3D．－4

2．（2015·福建）若a，b是函数f（x）＝x2－px＋q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于（　　）

A．6B．7C．8D．9

3．（2015·青岛模拟）已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a（n∈N＋），则实数a的值是（　　）

A．－3B．3

C．－1D．1

4．已知数列{an}是等差数列，若a2016＋a2017<0，a2016·a2017<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时，n等于（　　）

A．4029B．4030

C．4031D．4032

5．等比数列{an}中，a2＝2，a4＝8，an>0，则数列{log2an}的前n项和为（　　）

A.B.

C.D.

6．（2015·重庆模拟）已知a1＝1，an＝n（an＋1－an）（n∈N＋），则数列{an}的通项公式是（　　）

A．an＝2n－1B．an＝（）n－1

C．an＝n2D．an＝n

7．（2015·浙江）已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则（　　）

A．a1d＞0，dS4＞0B．a1d＜0，dS4＜0

C．a1d＞0，dS4＜0D．a1d＜0，dS4＞0

8．（2015·西安模拟）△ABC中，tanA是以－4为第3项，－1为第7项的等差数列的公差，tanB是以为第3项，4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状是（　　）

A．钝角三角形B．锐角三角形

C．等腰直角三角形D．以上均错

9．设函数f（x）＝2x－cosx，{an}是公差为的等差数列，f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a5）＝5π，则[f（a3）]2－a1a5等于（　　）

A．0B.π2

C.π2D.π2

10．（2015·黄冈中学月考）若数列{an}满足－＝0，n∈N＋，p为非零常数，则称数列{an}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是（　　）

A．2B．4

C．6D．8

11．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q等于（　　）

A．1B.

C．－1D．－2

12．（2015·重庆模拟）数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1－2，数列bn＝3n－1，数列的前n项和为（　　）

A．5－B．5－

C．5－D．5－

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．设关于x的不等式x2－x<2nx（n∈N＋）的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．

14．（2015·江苏）设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1（n∈N＋），则数列前10项的和为________．

15．在数列{an}中，a1≠0，an＋1＝an，Sn为{an}的前n项和．记Rn＝，则数列{Rn}的最大项为第________项．

16．（2015·杭州严州中学阶段测试）已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝1＋.若对任意的自然数n≥4，恒有

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）（2015·福建）等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．

18．（12分）已知a2、a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{an}是递增的等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝1－bn（n∈N＋）．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）记cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

19．（12分）（2015·北京西城区期末）已知数列{an}满足a2＝5，且其前n项和Sn＝pn2－n.

（1）求p的值和数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}为等比数列，公比为p，且其前n项和Tn满足T5

20．（12分）（2015·淄博一模）在数列{an}中，a1＝,其前n项和为Sn，则Sn＝an＋1－，（n∈N＋）．

（1）求an，Sn；

（2）设bn＝log2（2Sn＋1）－2，数列{cn}满足cn·bn＋3·bn＋4＝1＋（n＋1）（n＋2）·2bn，数列{cn}的前n项和为Tn，求使4Tn>2n＋1－成立的最小正整数n的值．

21．（12分）（2015·山东省实验中学模拟）为了综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2015年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用．同时每年投放10万辆的机动车牌号．只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．

（1）问：

到2019年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；

（2）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解，问：

至少需要多少年可以实现这一目标．

（参考数据：

0.954＝0.81,0.955＝0.77，lg0.75＝－0.13，lg0.95＝－0.02）

22．（12分）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝（4－an）qn－1（q≠0，n∈N＋），求数列{bn}的前n项和Sn.

答案解析

1．C　2.D

3．C　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1，当n＝1时，a1＝S1＝3＋a，因为{an}是等比数列，所以有3＋a＝2，解得a＝－1.故选C.]

4．C　[∵数列{an}的前n项和Sn有最大值，

∴数列{an}是递减的等差数列．

又∵a2016＋a2017<0，a2016·a2017<0，

∴a2016>0，a2017<0，

∴数列的前2016项为正数，

从第2017项开始为负数，

由求和公式和性质可得

S4031＝4031a2016>0，S4032＝2016（a2016＋a2017）<0，

∴Sn取最小正值时n＝4031.]

5．A　[设等比数列{an}的公比为q.

∵a2＝2，a4＝8，an>0，∴a1q＝2，a1q3＝8，

解得q＝2，a1＝1.∴an＝2n－1.

∴数列{log2an}的前n项和log2a1＋log2a2＋…＋log2an

＝log2（1×2×22×…×2n－1）

＝log22

＝.故选A.]

6．D　[因为an＝n（an＋1－an），

所以＝，

所以an＝···…···a1＝×××…×××1＝n.]

7．B　[∵a3，a4，a8成等比数列，

∴（a1＋3d）2＝（a1＋2d）（a1＋7d），

整理得a1＝－d，

∴a1d＝－d2＜0，又S4＝4a1＋d＝－，

∴dS4＝－＜0，故选B.]

8．B　[由题意知，tanA＝＝>0，

tan3B＝＝8，tanB＝2>0，∴角A、B均为锐角．

又∵tan（A＋B）＝＝－<0，

∴角A＋B为钝角，∴角C为锐角，

∴△ABC为锐角三角形．]

9．D　[∵{an}是公差为的等差数列，

∴a1＋a5＝a2＋a4＝2a3，

且a1＝a3－，a2＝a3－，a4＝a3＋，a5＝a3＋.

∵f（x）＝2x－cosx，

∴f（a1）＋f（a5）＝2a1－cosa1＋2a5－cosa5

＝2（a1＋a5）－（cosa1＋cosa5）

＝4a3－

＝4a3－2cosa3cos＝4a3－cosa3，

f（a2）＋f（a4）＝2a2－cosa2＋2a4－cosa4

＝2（a2＋a4）－（cosa2＋cosa4）

＝4a3－

＝4a3－2cosa3cos.

∴f（a1）＋f（a2）＋f（a3）＋f（a4）＋f（a5）

＝10a3－cosa3－（＋2cos）cosa3

＝10a3－cosa3＝5π，

∴a3＝，∴f（a3）＝2×－cos＝π.

∴a1＝－＝，a5＝＋＝π.

∴[f（a3）]2－a1a5＝π2－π×＝π2.]

10．B　11.A

12．B　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，

又a1＝S1＝21＋1－2＝2＝21，也满足上式，

所以数列{an}的通项公式为an＝2n.

设Tn＝＋＋＋…＋

＝＋＋＋…＋，

2Tn＝2＋＋＋…＋，

两式相减得

Tn＝2＋＋＋…＋－，

Tn＝2＋－＝5－.]

13．10100　14.

15．4

解析　∵a1≠0，an＋1＝an.

∴数列{an}是等比数列．

∴Rn＝

＝

＝×（3＋－82）≤（2－82）

＝.

当且仅当3＝⇒3n＝81⇒n＝4时等号成立．

所以数列{Rn}的最大项为第4项．

16．（0，＋∞）

解析　a1＝a，a2＝1＋＝，a3＝1＋＝，a4＝.由题意对任意的自然数n≥4，恒有

所以<<2，

解得a>0.

17．解　

（1）设等差数列{an}的公差为d，

由已知得

解得

所以an＝a1＋（n－1）d＝n＋2.

（2）由

（1）可得bn＝2n＋n，

所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝（2＋1）＋（22＋2）＋（23＋3）＋…＋（210＋10）

＝（2＋22＋23＋…＋210）＋（1＋2＋3＋…＋10）

＝＋

＝（211－2）＋55

＝211＋53＝2101.

18．解　

（1）由题意得a2＝3，a5＝9，

公差d＝＝2，

所以an＝a2＋（n－2）d＝2n－1，

由Sn＝1－bn得，当n＝1时b1＝，

当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝bn－1－bn，

得bn＝bn－1，

所以数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列，

所以bn＝.

（2）cn＝an·bn＝，

Tn＝＋＋＋…＋＋，

3Tn＝＋＋＋…＋＋，

两式相减得：

2Tn＝2＋＋＋…＋－

＝4－，所以Tn＝2－.

19．解　

（1）由题意，得S1＝p－1，S2＝4p－2.

因为a2＝5，S2＝a1＋a2，

所以S2＝4p－2＝p－1＋5，解得p＝2.

所以Sn＝2n2－n.

当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，得

an＝（2n2－n）－[2（n－1）2－（n－1）]＝4n－3.

验证知n＝1时，a1符合上式，所以an＝4n－3，n∈N＋.

（2）由

（1），得Tn＝＝b1（2n－1）．

因为T5

解得b1<.又因为b1≠0，

所以b1的取值范围是（－∞，0）∪（0，）．

20．解　

（1）由Sn＝an＋1－，得Sn－1＝an－（n≥2），

两式作差得：

an＝an＋1－an，即2an＝an＋1（n≥2），

∴＝2（n≥2），

又a1＝S1＝a2－，得a2＝1，

∴＝2，

∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，

则an＝·2n－1＝2n－2，

Sn＝an＋1－＝2n－1－.

（2）bn＝log2（2Sn＋1）－2＝log22n－2＝n－2，

∴cn·bn＋3·bn＋4＝1＋（n＋1）（n＋2）·2bn，

即cn（n＋1）（n＋2）＝1＋（n＋1）（n＋2）·2n－2，

cn＝＋2n－2＝－＋2n－2，

Tn＝（－）＋（－）＋…＋（－）＋（2－1＋20＋…＋2n－2）

＝－＋＝－－＋2n－1

＝2n－1－.

由4Tn>2n＋1－，得

4（2n－1－）>2n＋1－，

即<，n>2014.

∴使4Tn>2n＋1－成立的最小正整数n的值为2015.

21．解　

（1）设2015年年初机动车保有量为a1万辆，以后各年年初机动车保有量依次为a2万辆，a3万辆，…，每年新增机动车10万辆，

则a1＝600，an＋1＝0.95an＋10.

又an＋1－200＝0.95（an－200），且a1－200＝600－200＝400，

所以数列{an－200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列．

所以an－200＝400·0.95n－1，

即an＝400·0.95n－1＋200.

所以2019年初机动车保有量为a5＝400×0.954＋200＝524万辆．

（2）由题意可知，an＝400·0.95n－1＋200<500，

即0.95n－1<0.75，所以n>＋1＝7.5，

故至少需要8年的时间才能实现目标．

22．解　

（1）设等差数列{an}的公差为d.

由已知得

解得

故an＝3＋（n－1）·（－1）＝4－n.

（2）由

（1）得，bn＝n·qn－1，于是

Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.

若q≠1，将上式两边同乘以q有

qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋（n－1）·qn－1＋n·qn.

两式相减得到（q－1）Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1

＝nqn－＝.

于是，Sn＝.

若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.

所以Sn＝