高中数学解题方法排列组合的常见题型及其解法.docx
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高中数学解题方法排列组合的常见题型及其解法
排列组合的常见题型及其解法
排列、组合的概念具有广泛的实际意义,解决排列、组合问题,关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。
复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制,因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。
一.特殊元素(位置)用优先法
把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),对于这类问题一般采取特殊元素(位置)优先安排的方法。
例1.6人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法?
分析:
解有限制条件的元素(位置)这类问题常采取特殊元素(位置)优先安排的方法。
解法1:
(元素分析法)因为甲不能站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上,有种站法;第二步再让其余的5人站在其他5个位置上,有种站法,故站法共有:
=480(种)
解法2:
(位置分析法)因为左右两端不站甲,故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端,有种;第二步再让剩余的4个人(含甲)站在中间4个位置,有种,故站法共有:
(种)
二.相邻问题用捆绑法
对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”:
即将这几个元素看作一个整体,视为一个元素,与其他元素进行排列,然后相邻元素内部再进行排列。
例2.5个男生和3个女生排成一排,3个女生必须排在一起,有多少种不同排法?
解:
把3个女生视为一个元素,与5个男生进行排列,共有种,然后女生内部再进行排列,有种,所以排法共有:
(种)。
三.相离问题用插空法
元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
例3.7人排成一排,甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法?
解:
先将其余4人排成一排,有种,再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入,有种,所以排法共有:
(种)
四.定序问题用除法
对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法。
解题方法是:
先将n个元素进行全排列有种,个元素的全排列有种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,则有种排列方法。
例4.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个?
解:
不考虑限制条件,组成的六位数有种,其中个位与十位上的数字一定,所以所求的六位数有:
(个)
五.分排问题用直排法
对于把几个元素分成若干排的排列问题,若没有其他特殊要求,可采取统一成一排的方法求解。
例5.9个人坐成三排,第一排2人,第二排3人,第三排4人,则不同的坐法共有多少种?
解:
9个人可以在三排中随意就坐,无其他限制条件,所以三排可以看作一排来处理,不同的坐标共有种。
六.复杂问题用排除法
对于某些比较复杂的或抽象的排列问题,可以采用转化思想,从问题的反面去考虑,先求出无限制条件的方法种数,然后去掉不符合条件的方法种数。
在应用此法时要注意做到不重不漏。
例6.四面体的顶点和各棱中点共有10个点,取其中4个不共面的点,则不同的取法共有()
A.150种B.147种C.144种D.141种
解:
从10个点中任取4个点有种取法,其中4点共面的情况有三类。
第一类,取出的4个点位于四面体的同一个面内,有种;第二类,取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点,这4点共面,有6种;第三类,由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱),它的4个点共面,有3种。
以上三类情况不合要求应减掉,所以不同的取法共有:
(种)。
七.多元问题用分类法
按题目条件,把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类,分别计算,最后计算总数。
例7.已知直线中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。
解:
设倾斜角为,由为锐角,得,即a,b异号。
(1)若c=0,a,b各有3种取法,排除2个重复(,,),故有:
3×3-2=7(条)。
(2)若,a有3种取法,b有3种取法,而同时c还有4种取法,且其中任意两条直线均不相同,故这样的直线有:
3×3×4=36(条)。
从而符合要求的直线共有:
7+36=43(条)
八.排列、组合综合问题用先选后排的策略
处理排列、组合综合性问题一般是先选元素,后排列。
例8.将4名教师分派到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分派方案共有多少种?
解:
可分两步进行:
第一步先将4名教师分为三组(1,1,2),(2,1,1),(1,2,1),共有:
(种),第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。
由分步计数原理得不同的分派方案共有:
(种)。
因此共有36种方案。
九.隔板模型法
常用于解决整数分解型排列、组合的问题。
例9.有10个三好学生名额,分配到6个班,每班至少1个名额,共有多少种不同的分配方案?
解:
6个班,可用5个隔板,将10个名额并排成一排,名额之间有9个空,将5个隔板插入9个空,每一种插法,对应一种分配方案,故方案有:
(种)
浅谈数学填空题的解题方法
填空题题小,跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地综合一些问题,突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力。
从填写内容上,主要有两类,一类是定量填写,另一类是定性填写。
要想又快又准地答好填空题,除直接推理外,还要讲究一些解题策略,下面谈谈几种解题方法,请大家教正。
一.定义法
有些问题直接去解很难奏效,而利用定义去解可以大大地化繁为简,速达目的。
例1.的值是_________________。
解:
从组合数定义有:
又
代入再求,得出466。
例2.到椭圆右焦点的距离与到定直线x=6距离相等的动点的轨迹方程是_______________。
解:
据抛物线定义,结合图1知:
图1
轨迹是以(5,0)为顶点,焦参数P=2且开口方向向左的抛物线,故其方程为:
二.直接计算法
从题设条件出发,选用有关定理、公式,直接计算求解,这是解填空题最常用的方法。
例3.设函数的定义域是[n,n+1](),那么在f(x)的值域中共有____________个整数。
解:
直接计算,可得个。
例4.等比数列,公比,则:
__________。
解:
原式
三.数形结合法
有些问题可以借助于图示分析、判断、作出定形、定量、定性的结论,这就是图解法。
例5.函数的值域________________。
图2
解:
原函数变为,可视上式为x轴上的点P(x,0)到两定点A(-2,-1)和B(2,2)的距离之和,如图2,则。
故值域为。
四.特例法
有的填空题答案是一个“定值”时,实质上有一种暗示作用,可以分析特殊数值,特殊位置,特殊数列,特殊图形等来确定这个“定值”,这种方法有时能起到难以置信的效果。
例6.面积为S的菱形绕其一边所在直线旋转一周所得旋转体的表面积为___________。
解:
以正方形代替菱形,设边长为a,则表面
例7.已知是公差不为零的等差数形,若Sn是的前n项和,那么_________。
解:
取符合条件的特殊数列,,则
故
五.观察法
运用特殊值,加上类比、观察常常可以提高解题速度。
例8.设,且,直线通过定点__________。
解:
联合观察:
发现时,即满足条件,同时,相交直线的交点是唯一的。
故定点是(1,1)。
六.淘汰法
当全部情况为有限种时,也可采用淘汰法。
例9.已知,则与同时成立的充要条件是____________。
解:
按实数b的正、负分类讨论。
当b>0时,而等式不可能同时成立;
当b=0时,无意义;
当b<0时,若a<0,则两不等式不可能同时成立,以上三种情况均被淘汰,故只能为a>0,b<0,容易验证,这确是所要求的充要条件。
七.分析推理法
通过仔细审题,对问题进行逻辑分析,然后推理出符合条件的答案。
例10.已知不等式的解集是A,的解集是B,则不等式组的解集是____________。
解:
设g(x)的定义域为S,由于的解集是B,所以的解集是。
故所求不等式组的解集是。
总之,我们在平时训练时,要善于思考,分析题意,灵活运用有关数学知识,在有多种方案可以解决问题的时候,努力选择更合理的解题方案,要不断提高解题过程中合理性、简捷性的意识,以达到巧解妙算的效果,力求做到费时少,准确率高。
巧构造妙解题
1.直接构造
例1.求函数的值域。
分析:
由于可以看作定点(2,3)与动点(-cosx,sinx)连线的斜率,故f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。
解:
令,则表示单位圆
表示连接定点P(2,3)与单位圆上任一点(,)所得直线的斜率。
显然该直线与圆相切时,k取得最值,此时,圆心(0,0)到这条直线的距离为1,即
所以
故
例2.已知三条不同的直线,,共点,求的值。
分析:
由条件知为某一元方程的根,于是想法构造出这个一元方程,然后用韦达定理求值。
解:
设(m,n)是三条直线的交点,则可构造方程,即
(*)
由条件知,均为关于的一元三次方程(*)的根。
由韦达定理知
2.由条件入手构造
例3.已知实数x,y,z满足,求证:
分析:
由已知得,以x,y为根构造一元二次方程,再由判别式非负证得结论。
解:
构造一元二次方程
其中x,y为方程的两实根
所以
即
故△=0,即
3.由结论入手构造
例4.求证:
若,,则
分析:
待证式的左边求和的分母是三次式,为降低分母次数,构造一个恒不等式。
所以左边
故原式得证。
例5.已知实数x,y满足,求证:
分析:
要证原式成立,即证
即证
由三角函数线知可构造下图,此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和,而单位圆的面积为,所以
故结论成立。