数学建模NBA赛程的分析与评价.docx
《数学建模NBA赛程的分析与评价.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模NBA赛程的分析与评价.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学建模NBA赛程的分析与评价
NBA赛程的分析与评价
摘要
NBA是美国职业篮球队的联盟的简称。
因其独特的魅力，深受全球篮球爱好者的热爱，现在它已经成为全球最为普及的运动之一。
但是，我们想要看到一场场对比赛双方都公平的比赛，一个合理的赛程表是NBA能够精彩上演的保证。
对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩会有一定的影响。
针对这种情况，我们对下列问题作出客观的分析与评价。
问题一：
为了分析赛程对某一支球队的利弊，我们考虑的因素主要有每支球队两场比赛之间的场次总数、平均相隔场数、背靠背打比赛、球队实力、休息日，并根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式（见表一），最后给出评价赛程利弊的数量指标如下：
1、每支球队两场比赛之间的间隔场次总数
2、平均相隔场次数
3、背靠背（即球队在两天里连续比赛）打比赛的次数
4、两支比赛球队的实力加权值的高低
5、休息日（周六、周日）的天数
问题二：
我们对赛程进行单一因素（模型一和模型二）和综合因素的评价（模型三）
模型一：
要求出平均相隔场次数，通过公式
得出结果。
根据表一火箭在全联盟中的排名为第26位，所以火箭处于不利的位置。
快船和超音速排在第一，则赛程对他们最有利，爵士和湖人排在最后，则对他们最不利。
模型二：
加权评分法，根据公式
求出某支队与对方打比赛权值的和，并对30支球队进行比较（见表二），得出赛程对火箭不利，且最灰熊队最不利，对活塞最有利。
模型三：
模糊综合评价法，根据公式
得出B的值为一个一行30列的距阵，综合指数对火箭队有利，且对开拓者最不利，对爵士队最有利。
问题三：
模型四0-1状态变量
根据赛程的安排，我们找出了选取塞3场球队的方法，并对这种编制方法的实现做了总结，寻找出了一定的规律，对于这种方法的评价我们结合了该方法的优势与不足进行了局限的评估，最后我们给出了一种自己认为合适的编制方法，如下所述：
假设0代表两区间球队进行了4场比赛（即进行2主2客的比赛，主客场次数的差值为0），1代表球队进行了3场比赛，其中+1是指AB区球队相对与CD区球队2主1客的情况，-1是则指对应1主2客的情况（即主客场次数差值为+1或-1）。
同过对0-1状态变量的不断变换，可以最终确定赛3场的球队的选取问题。
关键词：
背靠背模糊综合评价0-1状态变量MATLAB7.0软件
一、问题重述
NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。
NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。
对于2008~2009新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日（北京时间）直到2009年4月16日，在这5个多月中共有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛，附件1是30支球队2008~2009赛季常规赛的赛程表，附件2是分部、分区和排名情况（排名是2007~2008赛季常规赛的结果），见。
对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。
这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：
问题一：
为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。
问题二：
按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。
问题三：
分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。
试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。
这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。
二、模型的假设
1、假设各支球队为互斥事件，即互不干扰；
2、假设赛程的公平性只与赛程安排有关，而与裁判等其它因素无关；
3、假设任相邻两场比赛之间间隔时间相同；
4、我们不考虑伤病的情况对球队比赛的影响；
5、每支球队的实力得到了充分的发挥；
6、规定比赛过程中，休息的总场次越多，两场比赛之间平均相隔的场次越多其对球队越有利；
7、假设在编制赛程时不考虑影响赛程编制的其他因素（例如观众对于赛程的满意度），只考虑背靠背比赛场数与上赛季球队分区排名的影响因素。
三、符号的说明
第i队第j个间隔场次数为
平均相隔的场次
评判对象的诸多因素（或指标）
第i支球队打82场比赛的加权和
某支球队与第j（j=1,2,…n）支球队比赛的加权值
A
各因素的对球队影响的权重向量矩阵
B
四种因素评判矩阵
R
模糊变换后的矩阵
第
个因素着眼作出第
中评价的隶属程度
某支球队两场比赛之间平均相隔场数
休息日比赛的场数
背靠背比赛场数
实力加权值的和
四、问题分析
4.1问题一的分析
为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。
我们知道比赛是一种非常耗费体力的事情，特别是大型的球类的比赛。
如：
足球，篮球，排球等等。
但比赛除了受比赛双方的实力的影响，还受到环境，气候，温度，平均相隔场次，每支球队两场比赛之间的间隔总数，工作日与休息日的影响等等。
在此，我们为了分析赛程对某一支球队的利弊，只考虑如下的几种情况：
1、每支球队两场比赛之间的间隔总数
2、平均相隔场次
3、背靠背打比赛对球队的影响
4、两支比赛球队的实力
5、工作日与休息日的影响
我们将这些因素进行量化，便于进行比较赛程的安排对于球队的影响。
根据我们的生活常识可知，打比赛时很累的事情。
但进行充分的休息，可以提高下场比赛的体力和精力。
通常我们在看比赛的时候，经常会看到，教练经常会替换球员，目的就是为了，让球员有充分的休息时间来保持体力。
这样有利于比赛的进行。
我们可以把每支球队两场比赛之间的间隔总数和平均相隔场次的多少来衡量赛程安排对于球队比赛的优劣。
即每支球队两场比赛之间的间隔总数越多和平均相隔场次数越多，休息的时间间隔就越长，对球队越有利。
在比赛中，我们经常会看见每支球队在打完一场比赛后，第二天又接着打。
这就是背靠背的比赛，很显然，这样对球队很不利。
因为，球队不能得到很好的休息。
这样，我们就可以用某支球队背靠背的打比赛的数量来衡量比赛的优劣。
通常比赛场上，有实力较强的球队与实力较弱的球队打比赛。
当然，对每支球队来说都想尽可能多的和弱队打比赛。
所以，我们把强队和弱队进行量化为加权值法，得分越高的对自己越不有利。
一般来说，工作日（周一到周五）一般看球的可能就比休息日（星期六、星期天）人数要少，场上的气氛不如休息日热烈，可能会影响球队的发挥。
所以，我们可以用休息日的天数来衡量赛程的优劣。
评价赛程利弊的数量指标指标如下：
1、每支球队两场比赛之间的间隔场次总数
2、每支球队平均相隔场次数
3、背靠背打比赛的次数
4、两支比赛球队的实力加权值的高低
5、休息日的天数
根据这几个指标我们就可以把他转化为数字格式表。
详细见表五
4.2问题二的分析
按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。
要计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，先大致的对赛程所有球队背靠背场数求和并求出其背靠背场数的平均水平，将火箭队背靠背场数与之对比，结果显示火箭队背靠背的场数高与总体的平均水平，可定性的认为赛程对火箭对来说是不利的，如下图所示：
+：
表示火箭○：
表示其它球队
纵坐标表示背靠背比赛场数
平均水平
火箭
要对问题一进行定量化分析，判断赛程对火箭的利弊，我们就要对问题一中所述的指标进行量化处理.如：
每支球队两场比赛之间的间隔总数，平均相隔场次数，背靠背打比赛的次数，两支比赛球队的实力加权值的高低，休息日的天数。
对于，每支球队两场比赛之间的间隔总数和平均相隔场次数，我们可以建立数学模型进行求和，求平均数。
比赛球队的实力加权值的高低，我们可以采用加权平均法，模糊数学的思想来解决。
分析对姚明加盟的火箭队的利弊。
同样，也可以求解赛程对30支球队最有利和最不利的球队。
4.3问题三的分析
由于每支球队与同区的每支球队与不同部的主客场比赛次数都比较容易确定，因此现在我们主要的问题就是如何区别出和某球队赛4场与赛3场球队的球队并对其具体球队加以确定。
为此，我们经过对东部地区球队统计数据汇总，列出了东部球队各队与同
部不同区的各个球队比赛的各场次数（分3场和4场），我们将根据这张统计表，分析NBA的赛程是如何选取赛3场的球队的，以及在确定赛3场的球队后，如何进一步的确定与哪些球队进行1主2客或2主1客的比赛的。
由于对西部地区球对的分析方法是类似的，故我们不再做分析，下面我们分析都以东部球对为例。
最后，要对这个赛程编制的方法给予评价，综合考虑了诸多因素来评价这种编制方法，指出其存在的不足与优点，同时也给出了一种我们认为合适的赛程编制方法。
五、模型的建立与求解
5.1问题二模型的建立与求解
5．1．1模型一：
经过上述问题的分析，我们建立每支球队两场比赛之间的间隔总数和平均相隔场次数模型。
具体的解决如下：
记第i队第j个间隔场次数为
，i=1,2,…,n,j=1,2,…,n-2,则平均相隔场次为
……………………………………
（1）
是赛程整体意义下的指标，它越大越好。
而
（1）式右端的求和即为每支球队两场比赛之间的间隔总数。
而
是平均相隔场次数。
实际上，可以得到
的上界为
……………………………………
（2）
（2）式的所要求的是平均相隔场次数的上限，即当n的值确定时，求出k的值。
变可以得出结果。
由上面的公式
（1）将求和的值统计的结果在表二。
要计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，我们就要把火箭的每支球队两场比赛之间的间隔总数和平均相隔场次数求出来。
先将全联盟的球队进行编号，并得出排名，得到如下表格：
表二：
平均相隔场次数排名
球队号
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
球队名
太阳
马刺
超音速
小牛
国王
火箭
灰熊
湖人
森林狼
掘金
快船
开拓者
爵士
勇士
黄蜂
热火
活塞
凯尔特人
骑士
奇才
魔术
公牛
76人
步行者
网
雄鹿
尼克斯
猛龙
山猫
老鹰
排名
3
9
1
25
19
26
11
29
20
5
2
6
30
4
10
15
16
13
21
14
27
17
22
7
23
8
24
18
28
12
由上表可以看出火箭队的编号是6号，即n=30,i=6,j=28.所以，将数据代入可以得到
=13.85366，
=14。
与其它的球队相比，在全联盟的火箭对队两场比赛之间的间隔总数和平均相隔场次数排在第二十六位。
因为，每支球队两场比赛之间的间隔总数和平均相隔场次数越靠前，平均相隔的场数就越多，对球队越有利；排名越靠后对球队越不利。
姚明加盟的火箭队排在第二十六位，比较靠后，形势对于火箭队处于不太有利的位置。
在表上可以起初的看出，排在第一、二的球队是洛杉矶快船和西雅图超音速队。
他们的两场比赛之间的间隔总数和平均相隔的场数分别是1148场和14场。
所以，对于这两个球队最有利。
而排在最后的是犹他爵士和洛杉矶湖人，他们的两场比赛之间的间隔总数和平均相隔的场数分别是1134场和13.82927场。
所以，对这两个球队最不利。
5．1．2模型二：
加权评分法
根据评判对象的诸多因素（或指标）
（
=1,2,…,
）所处的地位或所起的作用一般不尽相同。
在这里我们只考虑其中的一个主要的因素——球队的实力。
因此，引入加权值和的概念。
所谓加权值得和的概念就是指某支球队打82场比赛所遇到的对手的评分的和。
求及球队的实力进行评分（详见表二）：
（
=1,2…n）的加权和：
………………………………………………………（3）
其中
为某支球队与第j（j=1,2,…n）支球队比赛的加权值。
我们根据NBA的东西部的排名规则，按照胜差进行全联盟的排名，按照排名的高低进行适当的赋值,。
建立评分集如下：
表三:
排名
全联盟球队
球队实力加权值
1
凯尔特人
10.0
2
活塞
9.8
3
湖人
9.6
4
黄蜂
9.4
5
马刺
9.2
6
火箭
9.0
7
太阳
8.8
8
爵士
8.6
9
魔术
8.4
10
小牛
8.2
11
掘金
8.0
12
勇士
7.8
13
骑士
7.6
14
奇才
7.4
15
开拓者
7.2
16
猛龙
7.0
17
76人
6.8
18
国王
6.6
19
老鹰
6.4
20
步行者
6.2
21
网
6.0
22
公牛
5.8
23
山猫
5.6
24
雄鹿
5.4
25
快船
5.2
26
尼克斯
5.0
27
森林狼
4.8
28
灰熊
4.6
29
超音速
4.4
30
热火
4.2
根据公式三,我们编出相应的求和程序（详见附录三）,在MATLAB7.0中运行.得出的结果如下表:
表四：
球队
编号
球队的加权值和
菲尼克斯太阳
1
582.4
圣安东尼奥马刺
2
579.2
西雅图超音速
3
597.8
达拉斯小牛
4
587
萨克拉门托国王
5
592.6
休斯顿火箭
6
585.8
孟菲斯灰熊
7
604.6
洛杉矶湖人
8
580
明尼苏达森林狼
9
601.6
丹佛掘金
10
586.4
洛杉矶快船
11
600.6
波特兰开拓者
12
588.4
犹他爵士
13
581
金州勇士
14
589.6
新奥尔良黄蜂
15
583.8
迈阿密热火
16
588.8
底特律活塞
17
561.4
波士顿凯尔特人
18
565
克里夫兰骑士
19
571.8
华盛顿奇才
20
571
奥兰多魔术
21
565.4
芝加哥公牛
22
579
费城76人
23
572
印第安纳步行者
24
581.8
新泽西网
25
577.4
密尔沃基雄鹿
26
579.2
纽约尼克斯
27
586.6
多伦多猛龙
28
572.2
夏洛特山猫
29
577.4
亚特兰大老鹰
30
576.2
从上表可以看出,火箭队的权值和为585.8，排在第十九位。
对他们来说不太有利。
权值和最高的是孟菲斯灰熊604.6,最低的是底特律活塞561.4.因为,在问题一中的指标我们已经规定.赛程对权值和最高的孟菲斯灰熊队最不利因为,他们要面对的强手更多；权值和最低的底特律活塞最有利，他们面对的强手相对最少。
5．1．3模型三：
模糊综合评价法
所谓综合评价是指对多种因素所影响的事物或现象进行总的评价,若这种评价过程涉模糊因素,便称之为模糊综合评价。
模糊综合评价的基本思想就是考虑与被评价事物相关的各个因素,以模糊数学为基础,应用模糊变换原理和最大隶属,涉及度原则对其进行综合评价。
在教师教学效果综合评价中到大量的复杂现象和多种因素的相互作用,而且评价中存在大量的模糊现象和模糊概念。
因此,在综合评价时,常用到模糊综合评价的方法进行定量化处理,我们在此运用模糊数学的概念来解决30支球队的评判方法.具体如下:
模糊综合评判的公式具体如下:
………………………………………………（4）
1、建立球队的综合因素集，程序详见附录四、五、六。
表五：
球队编号
球队名
平均相隔的场数
休息日比赛场数
背靠背比赛场数
实力加权值和
1
太阳
13.9878
24
19
8.8
2
马刺
13.95122
24
18
9.2
3
超音速
14
32
18
4.4
4
小牛
13.85366
25
16
8.2
5
国王
13.89024
29
22
6.6
6
火箭
13.85366
31
20
9
7
灰熊
13.93902
33
22
4.6
8
湖人
13.82927
20
19
9.6
9
森林狼
13.89024
30
22
4.8
10
掘金
13.97561
26
21
8
11
快船
14
31
21
5.2
12
开拓者
13.97561
26
16
7.2
13
爵士
13.82927
32
21
8.6
14
勇士
13.9878
31
15
7.8
15
黄蜂
13.95122
31
19
9.4
16
热火
13.91463
32
19
4.2
17
活塞
13.91463
27
16
9.8
18
凯尔特人
13.92683
25
17
10
19
骑士
13.87805
27
19
7.6
20
奇才
13.92683
27
18
7.4
21
魔术
13.84146
29
16
8.4
22
公牛
13.90244
32
22
5.8
23
76人
13.87805
31
21
6.8
24
步行者
13.96341
33
21
6.2
25
网
13.86585
33
22
6
26
雄鹿
13.96341
36
22
5.4
27
尼克斯
13.86585
29
18
5
28
猛龙
13.90244
26
17
7
29
山猫
13.84146
36
21
5.6
30
老鹰
13.93902
33
22
6.4
2、建立权重向量集
针对模糊综合评判法，因为平均间隔场数和每支球队两场比赛的间隔总数评价的结果相同。
所以，我们只考虑其中的四个因素即
，建立指标因素集如下：
表六：
序号
评价的因素
权重
1
球队的实力
0.3
2
平均间隔场数
0.1
3
休息日的天数
0.1
4
背靠背的天数
0.5
3、综合评判的计算
建立球队的实力，平均间隔场数，休息日的天数，背靠背的天数的矩阵。
由于矩阵比较长，所以我们省略了部分的数据。
矩阵式按照表四的几个指标的横行作为矩阵的纵行。
………………………………………………………………（5）
确定各因素的对球队影响的权重向量，即A=（0.1，0.1，0.5，0.3）。
使用模糊变换，有
=（15.93878，15.555122，14.92……14.590244,17.164146，17.613902）
综合评价的结果如下：
表七：
球队
编号
综合评价指数
排名
爵士
13
17.662927
1
雄鹿
26
17.616341
2
老鹰
30
17.613902
3
网
25
17.486585
4
公牛
22
17.330244
5
国王
5
17.269024
6
火箭
6
17.185366
7
山猫
29
17.164146
8
灰熊
7
17.073902
9
步行者
24
17.056341
10
76人
23
17.027805
11
掘金
10
16.897561
12
森林狼
9
16.829024
13
黄蜂
15
16.815122
14
快船
11
16.56
15
太阳
1
15.93878
16
骑士
19
15.867805
17
湖人
8
15.762927
18
马刺
2
15.555122
19
凯尔特人
18
15.392683
20
热火
16
15.351463
21
奇才
20
15.312683
22
活塞
17
15.031463
23
超音速
3
14.92
24
魔术
21
14.804146
25
尼克斯
27
14.786585
26
猛龙
28
14.590244
27
小牛
4
14.345366
28
勇士
14
14.33878
29
开拓者
12
14.157561
30
从上面可以看出，火箭的综合指数为17.185366，排名第七，比较有利。
我们从模型一和模型二知，平均间隔场次和每两场比赛之间的间隔总数对火箭不太有利，排在了第二十六位；背靠背比赛排在第十八；而火箭的实力比较好，排在第六；休息日的天数排在十六位，对火箭就不太有利。
综合评价指数最高的是爵士，指数为17.662927，对爵士最为有利；最低的是综合评价指数为14.157561的开拓者队，处于最不利的位置。
5.2问题三的建模与求解：
5．2．1统计表格分析法：
对于问题3，由文中已知分析知道：
通过对赛程的分析可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。
我们知道，每支球队与同区的每支球队比4场，即4*4=16场，加上与不同部的每支球队赛2场，即2*15=30场，剩下的就是同部不同区的场次数为82-16-30=36场。
假
设赛4场与赛3场的球队个数分别为x、y，
可知
……..①
则
……②
联立方程可解得
，此时可以知道赛4场的球队数为6，赛3场的球队数为4。
对照表8的统计表，发现表格中的场次数是符合计算现实结果的。
表八：
联盟
太平洋区
中部区
东南区
凯尔特人
猛龙
76人
篮网
尼克斯
活塞
骑士
步行者
公牛
雄鹿
魔术
4
4
3
3
4
3
3
4
4
4
奇才
3
3
4
4
4
4
4
3
4
3
老鹰
4
4
3
4
3
3
4
4
3
4
山猫
3
4
4
3
4
4
3
3
4
4
热火
4
3
升级会员 