二次函数与幂函数.docx

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二次函数与幂函数

第五节二次函数与幂函数

1．五种常见幂函数的图像与性质

函数

特征

性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

y＝x－1

图像

定义域

R

R

R

{x|x≥0}

{x|x≠0}

值域

R

{y|y≥0}

R

{y|y≥0}

{y|y≠0}

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

单调性

增

（－∞，0]减，（0，＋∞）增

增

增

（－∞，0）和（0，＋∞）减

公共点

（1,1）

2．二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：

f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；

（2）顶点式：

f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）；

（3）零点式：

f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．

3．二次函数的图像和性质

a>0

a<0

图像

定义域

x∈R

值域

单调性

在上递减，在上递增

在上递增，

在上递减

奇偶性

b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数

图像特点

①对称轴：

x＝－；

②顶点：

1．研究函数f（x）＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况而盲目认为f（x）为二次函数．

2．形如y＝xα（α∈R）才是幂函数，如y＝3x不是幂函数．

[试一试]

1．若f（x）既是幂函数又是二次函数，则f（x）可以是（　　）

A．f（x）＝x2－1　　　　　　　B．f（x）＝5x2

C．f（x）＝－x2D．f（x）＝x2

2．已知函数f（x）＝ax2＋x＋5的图像在x轴上方，则a的取值范围是（　　）

A.　　　　　　　B.

C.D.

1．函数y＝f（x）对称轴的判断方法

（1）对于二次函数y＝f（x），如果定义域内有不同两点x1，x2且f（x1）＝f（x2），那么函数y＝f（x）的图像关于x＝对称．

（2）二次函数y＝f（x）对定义域内所有x，都有f（a＋x）＝f（a－x）成立的充要条件是函数y＝f（x）的图像关于直线x＝a对称（a为常数）．

2．与二次函数有关的不等式恒成立两个条件

（1）ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是

（2）ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是

3．两种数学思想

（1）数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．

（2）含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等．

[练一练]

如果函数f（x）＝x2＋（a＋2）x＋b（x∈[a，b]）的图像关于直线x＝1对称，则函数f（x）的最小值为________．

考点一：

幂函数的图像与性质

1.幂函数y＝f（x）的图像过点（4,2），则幂函数y＝f（x）的图像是（　　）

2.图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图像．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为________．

3．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．

[类题通法]

1．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

（1）α的正负：

α>0时，图像过原点和（1,1），在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．

（2）曲线在第一象限的凹凸性：

α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．

2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．

考点二：

求二次函数的解析式

[典例]　已知二次函数f（x）满足f

（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

[类题通法]

求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：

[针对训练]

已知y＝f（x）为二次函数，且f（0）＝－5，f（－1）＝－4，f

（2）＝－5，求此二次函数的解析式．

考点三：

二次函数的图像与性质

研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有：

（1）轴定区间定求最值；

（2）轴动区间定求最值；

（3）轴定区间动求最值.

角度一　轴定区间定求最值

1．已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]

（1）当a＝－2时，求f（x）的最值；

（2）当a＝1时，求f（|x|）的单调区间．

角度二　轴动区间定求最值

2．已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．

角度三　轴定区间动求最值

3．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g（a），求g（a）．

[类题通法]

影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法：

（1）最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关．

（2）常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值．

当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．

第六节指数与指数函数

1．根式的性质

（1）（）n＝a.

（2）当n为奇数时＝a；

当n为偶数时＝

2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念：

①正分数指数幂：

a＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）．

②负分数指数幂：

a＝＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）．

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

（2）有理数指数幂的性质：

①aras＝ar＋s（a>0，r，s∈Q）；

②（ar）s＝ars（a>0，r，s∈Q）；

③（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈Q）．

3．指数函数的图像与性质

y＝ax

a>1

0

图像

定义域

R

值域

（0，＋∞）

性质

当x>0时，y>1；x<0时，0

当x>0时，01

过定点（0,1）

在（－∞，＋∞）上是增函数

在（－∞，＋∞）上是减函数

1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．

2．指数函数y＝ax（a>0，a≠1）的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0

[试一试]

1．化简[（－2）6]－（－1）0的结果为（　　）

A．－9　　　　　　　　　　B．7

C．－10D．9

2．若函数y＝（a2－1）x在（－∞，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．

方法指导：

1．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0（a2x＋b·ax＋c≤0）的指数方程或不等式，常借助换元法解决．

2．指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按01进行分类讨论．

[练一练]

1．函数y＝的定义域为________．

2．若函数f（x）＝ax－1（a>0，a≠1）的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.

考点一：

指数幂的化简与求值

求值与化简：

（1）0＋2－2·－（0.01）0.5；

（2）a·b－2·（－3ab－1）÷（4a·b－3）；

（3）

[类题通法]

指数幂运算的一般原则

（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.

考点二：

指数函数的图像及应用

[典例]　

（1）（2012·四川高考）函数y＝ax－（a>0，且a≠1）的图像可能是（　　）

（2）已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：

①0

其中不可能成立的关系式有（　　）

A．1个　　　　　　　　　　B．2个

C．3个D．4个

[类题通法]

指数函数图像的画法及应用

（1）画指数函数y＝ax（a>0，a≠1）的图像，应抓住三个关键点：

（1，a），（0,1），.

（2）与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．

（3）一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．

[针对训练]

1．（2014·北京模拟）在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝x的图像之间的关系是（　　）

A．关于y轴对称　　　　B．关于x轴对称

C．关于原点对称D．关于直线y＝x对称

2．方程2x＝2－x的解的个数是________．

考点三：

指数函数的性质及应用

[典例]　已知f（x）＝（ax－a－x）（a>0，且a≠1）．

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）讨论f（x）的单调性．

在本例条件下，当x∈[－1,1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围.

[类题通法]

利用指数函数的性质解决问题的方法

求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．

[针对训练]

已知函数f（x）＝ax2－4x＋3.

（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值；

（3）若f（x）的值域是（0，＋∞），求a的值．

七节对数与对数函数

1．对数的定义

如果ax＝N（a>0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质与运算及换底公式

（1）对数的性质（a>0且a≠1）：

①loga1＝0；②logaa＝1；③alogaN＝N.

（2）对数的换底公式

基本公式：

logab＝（a，c均大于0且不等于1，b>0）．

（3）对数的运算法则：

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga（M·N）＝logaM＋logaN，

②loga＝logaM－logaN，

③logaMn＝nlogaM（n∈R）．

3．对数函数的图像与性质

a>1

0

图像

定义域

（0，＋∞）

值域

R

定点

过点（1,0）

单调性

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

函数值

当0

当x>1时，y>0；

正负

当00

当x>1时，y<0；

4．反函数

指数函数y＝ax（a>0且a≠1）与对数函数y＝logax（a>0且a≠1）互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．

1．在运算性质logaMn＝nlogaM中，易忽视M>0.

2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点：

（1）函数的定义域；

（2）对数底数的取值范围．

[试一试]

1．（2013·重庆高考）函数y＝的定义域是（　　）

A．（－∞，2）　　　　　　　B．（2，＋∞）

C．（2,3）∪（3，＋∞）D．（2,4）∪（4，＋∞）

2．（2013·四川高考）lg＋lg的值是________．

方法指导：

1．对数值的大小比较的基本方法

（1）化同底后利用函数的单调性；

（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同真数后利用图像比较．

2．明确对数