换元积分法和分部积分法.ppt

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4.2换元积分法和分部积分法,第四章,一、第一类换元积分法,三、分部积分法,（IntegrationbySubstitutionandIntegrationbyParts）,二、第二类换元积分法,第二类换元法,第一类换元法,设,可导,则有,基本思路,在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”,给出了“基本积分公式表”。

但是，,对于形如,这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表,我们就无能为力了。

为此，,一、第一类换元积分法,定理4.2.1,则有换元,公式,（也称配元法,凑微分法）,例4.2.11）求,2）求,补充例题1求,解:

令,则,故,原式=,补充例题2求,答案：

补充例题3求,答案：

例4.2.4求,解:

例4.2.5求,答案：

万能凑幂法,常用的几种配元形式:

解:

原式=,补充例题4求,自主学习课本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8,例4.2.9求,解:

例4.2.10,解:

解法2,（与课本解法不一样）,补充例题5求,解:

原式=,补充例题6求,或,解,补充例题7,补充例题8,解:

补充例题9,解:

解:

补充例题10,自主学习课本P141例4.2.11例4.2.13,二、第二类换元法,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则用第二类换元积分法.,难求，,是单调可导函数,且,具有原函数,证明略,详细过程可参见课本P142,则有换元公式,定理4.2.2设,反函数,例4.2.14计算1）,解:

补充例题11,解:

解:

令,则,原式,补充例题12求,自主学习课本P142例4.2.142）,解:

令,则,原式,补充例题13求,自主学习课本P142例4.2.15,解:

令,则,原式,补充例题14求,令,于是,自主学习课本P143例4.2.16,或,从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：

可作代换,可作代换,可作代换,解,于是,第二类换元法常见类型:

令,令,令,或,令,或,令,或,第三节讲,（7）分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,2.常用基本积分公式的补充,前面，我们利用复合函数的求到法则得到了,“换元积分法”。

但是，,对于形如,的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.,注意到，,这些积分的被积函数都有共同的特点,都是两种不同类型函数的乘积。

这就启发我们把两个,这就是另一个基本的积分方法：

分部积分法.,函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，,积分得:

分部积分公式,或,1）v容易求得;,容易计算.,由导数乘法公式：

第四章,（IntegrationbyParts）,补充例题16,解:

令,则,原式,另解:

令,则,原式,三、分部积分法,答案,一般说来,当被积函数为下列形式之一时,可考虑,运用分部积分法进行计算:

幂函数与三角函数（或反三角函数）之积,指数函数与三角函数（或反三角函数）之积,幂函数与指数函数之积,指数函数与对数函数之积,一个函数难于用其它方法积分,两个函数的乘积.,把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的,顺序,前者为后者为,补充例题18求,解:

令,则,原式=,反:

反三角函数对:

对数函数幂:

幂函数指:

指数函数三:

三角函数,解题技巧:

自主学习课本P144-P145例4.2.18与例4.2.19,答案：

.,答案：

补充例题22,答案：

补充例题23,答案：

解:

令,则,原式,补充例题24,解:

令,则,原式,再令,则,故原式=,说明:

也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,补充例题26,自主学习课本P145-P146例4.2.20-例4.2.24,