届高考物理一轮复习讲义第五章 机械能及其守恒定律第4讲 功能关系 能量守恒定律.docx

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届高考物理一轮复习讲义第五章机械能及其守恒定律第4讲功能关系能量守恒定律

第4讲　功能关系　能量守恒定律

板块一　主干梳理·夯实基础

【知识点1】　功能关系　Ⅱ

1．能的概念：

一个物体能对外做功，这个物体就具有能量。

2．功能关系

（1）功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。

（2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量转化必通过做功来实现。

【知识点2】　能量守恒定律　Ⅱ

1．内容：

能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。

2．适用范围：

能量守恒定律是贯穿物理学的基本规律，是各种自然现象中普遍适用的一条规律。

3．表达式

（1）E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。

（2）ΔE增＝ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。

板块二　考点细研·悟法培优

考点1功能关系的理解和应用[深化理解]

1．对功能关系的进一步理解

（1）做功的过程就是能量转化的过程。

不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。

（2）功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。

2．几种常见的功能关系及其表达式

力做功

能的变化

定量关系

合力的功

动能变化

W＝Ek2－Ek1＝ΔEk

重力的功

重力势

能变化

（1）重力做正功，重力势能减少

（2）重力做负功，重力势能增加

（3）WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2

弹簧弹力的功

弹性势

能变化

（1）弹力做正功，弹性势能减少

（2）弹力做负功，弹性势能增加

（3）WF＝－ΔEp＝Ep1－Ep2

续表

力做功

能的变化

定量关系

除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功

机械能

变化

（1）其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少

（2）其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少

（3）W＝ΔE

一对相互作用的滑动摩擦力的总功

内能变化

（1）作用于系统的一对滑动摩擦力总功一定为负值，系统内能增加

（2）Q＝Ff·L相对

例1　在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。

如图所示，质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对她的阻力大小恒为F，那么在她减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是（g为当地的重力加速度）（　　）

A．她的动能减少了Fh

B．她的重力势能增加了mgh

C．她的机械能减少了（F－mg）h

D．她的机械能减少了Fh

（1）运动员入水后受几个力？

分别做什么功？

提示：

受重力和阻力。

重力做正功、阻力做负功。

（2）运动员机械能如何变化？

提示：

阻力做负功，机械能减少。

尝试解答　选D。

运动员下降高度h的过程中，重力势能减少了mgh，选项B错误；除重力做功以外，只有水对她的阻力F做负功为Fh，因此机械能减少了Fh，选项C错误，选项D正确；由动能定理可知（－F＋mg）h＝0－Ek，所以Ek＝（F－mg）h，动能减少了（F－mg）h，故选项A错误。

总结升华

功能关系的选用原则

（1）总的原则是根据做功与能量转化的一一对应关系，确定所选用的定理或规律，若只涉及动能的变化用动能定理分析。

（2）只涉及重力势能的变化用重力做功与重力势能变化的关系分析。

（3）只涉及机械能的变化用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析。

（4）只涉及电势能的变化用电场力做功与电势能变化的关系分析。

1.[2017·河南八市质检]某同学将质量为m的一矿泉水瓶（可看成质点）竖直向上抛出，水瓶以

g的加速度匀减速上升，上升的最大高度为H。

水瓶往返过程受到的阻力大小不变。

则（　　）

A．上升过程中水瓶的动能减少量为

mgH

B．上升过程中水瓶的机械能减少了

mgH

C．水瓶落回地面时动能大小为

D．水瓶上升过程处于超重状态，下落过程处于失重状态

答案　A

解析　水瓶以a＝

g减速上升，设阻力为f，则有mg＋f＝ma，解得阻力f＝

mg，上升阶段动能的改变量等于合外力做功，W合＝－maH＝－

mgH，故A正确。

上升过程由动能定理：

－

mgH＝0－Ek0得初动能为

mgH，全程由动能定理得：

－2fH＝Ek－Ek0，解得Ek＝

mgH，故C错误。

上升过程机械能的变化看阻力做功，即－fH＝ΔE，所以上升过程机械能减少

mgH，故B错误。

上升阶段加速度方向向下，下降阶段加速度方向向下，均为失重状态，故D错误。

2.[2017·青岛模拟]（多选）如图所示，一根原长为L的弹簧，下端固定在水平地面上，一个质量为m的小球，在弹簧的正上方从距地面高度为H处由静止下落压缩弹簧。

若弹簧的最大压缩量为x，小球下落过程受到的空气阻力恒为Ff，则小球从开始下落至最低点的过程（　　）

A．小球动能的增量为零

B．小球重力势能的增量为mg（H＋x－L）

C．弹簧弹性势能的增量为（mg－Ff）（H＋x－L）

D．系统机械能减小FfH

答案　AC

解析　小球下落的整个过程中，开始时速度为零，结束时速度也为零，所以小球动能的增量为0，故A正确；小球下落的整个过程中，重力做功为WG＝mgh＝mg（H＋x－L），根据重力做功量度重力势能的变化WG＝－ΔEp得：

小球重力势能的增量为－mg（H＋x－L），故B错误；根据动能定理得：

WG＋Wf＋W弹＝0－0＝0，所以W弹＝－（mg－Ff）（H＋x－L），根据弹簧弹力做功量度弹性势能的变化W弹＝－ΔEp得，弹簧弹性势能的增量为（mg－Ff）·（H＋x－L），故C正确；系统机械能的减少等于重力、弹力以外的力做的功，所以小球从开始下落至最低点的过程，克服阻力做的功为：

Ff（H＋x－L），所以系统机械能的减小量为：

Ff（H＋x－L），故D错误。

考点2摩擦力做功与能量的关系[对比分析]

两种摩擦力的做功情况比较

　　类别

比较　　

静摩擦力

滑动摩擦力

不

同

点

能量

的转

化方

面

在静摩擦力做功的过程中，只有机械能从一个物体转移到另一个物体（静摩擦力起着传递机械能的作用）而没有机械能转化为其他形式的能量

（1）相互摩擦的物体通过摩擦力做功，将部分机械能从一个物体转移到另一个物体

（2）部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统机械能的损失量

一对

摩擦

力的

总功

方面

一对静摩擦力所做功的代数和总等于零

一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功，等于摩擦力与两个物体相对路程的乘积为负功，即WFf＝－Ff·x相对，表示物体克服摩擦力做功，系统损失的机械能转变成内能

相

同

点

正功、

负功、

不做功

方面

两种摩擦力对物体都可以做正功、负功，还可以不做功

例2　电动机带动水平传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上，如图所示。

若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，当小木块与传送带相对静止时，求：

（1）小木块的位移；

（2）传送带转过的路程；

（3）小木块获得的动能；

（4）摩擦过程产生的摩擦热；

（5）电动机带动传送带匀速传动输出的总能量。

（1）小木块刚放上传送带时加速度的方向怎样？

运动性质如何？

提示：

加速度方向水平向右，小木块做匀加速直线运动。

（2）摩擦生成的热量的计算公式是什么？

电动机多输出的能量转化成了什么能量？

提示：

Q＝Ffl相对，电动机多输出的能量转化成了小木块的动能与摩擦生热之和。

尝试解答　

（1）

（2）

　（3）

mv2　（4）

mv2　（5）mv2。

木块刚放上时速度为零，必然受到传送带的滑动摩擦力作用，做匀加速直线运动，达到与传送带共速后不再相对滑动，整个过程中木块获得一定的能量，系统要产生摩擦热。

对小木块，相对滑动时由μmg＝ma得加速度a＝μg。

由v＝at得，达到相对静止所用时间t＝

。

（1）小木块的位移l1＝

t＝

。

（2）传送带始终匀速运动，路程l2＝vt＝

。

（3）小木块获得的动能Ek＝

mv2

也可用动能定理μmgl1＝Ek，故Ek＝

mv2

（4）产生的摩擦热：

Q＝μmg（l2－l1）＝

mv2。

（注意：

Q＝Ek是一种巧合，不是所有的问题都这样）

（5）由能量守恒定律得，电机输出的总能量转化为小木块的动能与摩擦热，所以E总＝Ek＋Q＝mv2。

总结升华

求解物体相对滑动的能量问题的方法

（1）正确分析物体的运动过程，做好受力情况分析。

（2）利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系。

区分滑动摩擦力对某一物体做的功与对系统做的功。

（3）公式Q＝Ff·l相对中l相对为两接触物体间的相对位移，若物体在接触面上做往复运动时，则l相对为总的相对路程。

　[2017·山东济宁模拟]（多选）如图所示，长为L、质量为M的木板静置在光滑的水平面上，在木板上放置一质量为m的物块，物块与木板之间的动摩擦因数为μ。

物块以初速度v0从木板的左端向右滑动时，若木板固定不动时，物块恰好能从木板的右端滑下。

若木板不固定时，下面叙述正确的是（　　）

A．物块不能从木板的右端滑下

B．对系统来说产生的热量Q＝μmgL

C．经过t＝

物块与木板便保持相对静止

D．摩擦力对木板所做的功等于物块克服摩擦力所做的功

答案　AC

解析　木板固定不动时，物块减少的动能全部转化为内能。

木板不固定时，物块向右减速的同时，木板要向右加速，物块减少的动能转化为系统产生的内能和木板的动能，所以产生的内能必然减小，物块相对于木板滑行的距离要减小，不能从木板的右端滑下，故A正确。

对系统来说，产生的热量Q＝Ffx相对＝μmgx相对<μmgL，故B错误。

设物块与木板最终的共同速度为v，物块和木板组成的系统动量守恒，取向右为正方向，根据动量守恒定律，有：

mv0＝（m＋M）v，对木板，由动量定理得：

μmgt＝Mv，联立解得t＝

，故C正确。

由于物块与木板相对于地的位移大小不等，物块对地位移较大，而摩擦力大小相等，所以摩擦力对木板所做的功小于物块克服摩擦力所做的功，故D错误。

考点3能量转化问题的应用[拓展延伸]

1．应用能量守恒定律的基本思路

（1）某种形式的能的减少，一定存在其他形式的能的增加，且减少量和增加量一定相等；

（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。

2．应用能量守恒定律解题的步骤

（1）分清有多少形式的能（动能、势能、内能等）发生变化。

（2）明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。

（3）列出能量守恒关系式ΔE减＝ΔE增。

例3　[2017·江西南昌二模]倾角为37°的足够长光滑斜面上固定一个槽，劲度系数k＝20N/m的轻弹簧上端与轻杆相连，下端与一质量m＝1kg的小车相连，开始时，弹簧处于原长，轻杆在槽外的长度为l，且杆可在槽内移动，杆与槽间的最大静摩擦力大小f＝8N，假设杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

现将小车由静止释放沿斜面向下运动，在小车第一次运动到最低点的过程中（已知弹簧弹性势能，Ep＝

kx2，式中的x为弹簧的形变量，轻弹簧、轻杆质量不计，g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

（1）当轻杆开始运动时，小车的速度有多大？

（2）为了使轻杆不被全部拽入槽内，求l的最小长度及在此长度下轻杆在槽内的运动时间。

（1）什么时候轻杆开始运动？

提示：

杆与槽间的摩擦力达到最大静摩擦力时。

（2）由于轻杆质量不计，轻杆滑动后，弹簧弹力变化吗？

提示：

不变。

尝试解答　

（1）

m/s　

（2）0.4m；

s。

（1）当轻杆开始运动时，弹簧的弹力等于轻杆与槽间的最大静摩擦力f，kx＝f，

解得：

弹簧的形变量x＝0.4m，

弹簧的弹性势能：

Ep＝

kx2＝1.6J，

由能量守恒得：

mgxsinθ＝Ep＋

mv2，

联立可解得：

v＝

m/s。

（2）由于轻杆质量不计，轻杆滑动后，弹簧弹力不再变化，轻杆随小车一起做匀减速直线运动，到小车第一次速度为0的过程中，根据能量守恒定律得：

fx滑＝

mv2＋mgsinθx滑，

其中x滑为杆在槽中运动的位移，

得x滑＝0.4m，

为使轻杆不被全部拽入槽内，则l至少为0.4m，

轻杆开始滑动后，轻杆、弹簧和小车一起做匀减速直线运动，直到速度为0，由牛顿第二定律可知，

加速度大小：

a＝

＝2m/s2，

又由运动学公式可得：

t＝

＝

s。

总结升华

能量问题的解题方法

（1）涉及能量转化问题的解题方法

①当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。

②解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。

（2）涉及弹簧类问题的能量问题的解题方法

两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：

①能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。

②如果系统中每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。

　如图所示，倾角θ＝30°的粗糙面固定在地面上，长为l，质量为m，粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端水平。

用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面（此时物体未到达地面），在此过程中（　　）

A．物块的机械能逐渐增加

B．软绳重力势能共减少

mgl

C．物块重力势能的减少等于软绳摩擦力所做的功

D．软绳重力势能的减少大于其动能增加与克服摩擦力所做功之和

答案　B

解析　物块向下运动过程中，绳子拉力对物块做负功，物块的机械能减少，A错误；软绳重心下降的高度为

－

sinθ＝

l，软绳的重力势能减少

mgl，B正确；由功能关系，物块重力势能的减小等于重力做的功，而物块重力大于软绳所受的摩擦力，C错误；对于软绳，由能的转化和守恒定律可知，绳子拉力对软绳所做的功和软绳重力势能的减少之和等于软绳动能的增加与克服摩擦力所做功之和，D错误。

答卷现场4　传送带模型

[2015·天津高考]（16分）某快递公司分拣邮件的水平传输装置示意如图，皮带在电动机的带动下保持v＝1m/s的恒定速度向右运动，现将一质量为m＝2kg的邮件轻放在皮带上，邮件和皮带间的动摩擦因数μ＝0.5。

设皮带足够长，取g＝10m/s2，在邮件与皮带发生相对滑动的过程中，求：

（1）邮件滑动的时间t；

（2）邮件对地的位移大小x；

（3）邮件与皮带间的摩擦力对皮带做的功W。

试卷抽样

评析指导

1.失分点①：

应求邮件对地位移，而不是对皮带的位移，理解错误，导致求解错误，本步完全失分，扣5分。

失分原因：

按自己的想象做题。

补偿建议：

认真审题，按题目要求求解。

规范解答：

邮件对地位移

x＝

at2＝

×5×0.22m＝0.1m

2．失分点②：

要求解的是摩擦力对皮带所做的功，不是摩擦力对邮件所做的功，理解错误，本步完全失分，扣5分。

失分原因：

审题不清，研究对象不明。

补偿建议：

认真审题，按题目要求求解。

规范解答：

邮件与皮带之间的摩擦力对皮带做的功

W＝Ff·s皮带＝－μmg·vt＝－0.5×2×10×1×0.2J＝－2J