一元一次方程及其应用.docx
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一元一次方程及其应用
一元一次方程及其应用
一元一次方程的概念
1.一元一次方程：
一元一次方程的标准形式是：
ax+b=0（其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0）。
要点诠释：
一元一次方程须满足下列三个条件：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的次数是1次；
（3）整式方程．
【例题1】（经典题）解方程：
【例题2】（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）
A．2x+3（72﹣x）＝30B．3x+2（72﹣x）＝30
C．2x+3（30﹣x）＝72D．3x+2（30﹣x）＝72
【例题3】（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：
“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：
一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？
根据题意得，长比宽多 步．
【例题4】（2019▪湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：
同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？
即：
走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？
即：
走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
一、选择题
1.（2019▪贵州毕节）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）
A．2B．1C．﹣1D．0
2.（2019•湖南怀化）一元一次方程x﹣2＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝0D．x＝1
3.（2018江苏无锡）林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（）
A.
B.
C.
D.
4．（2018湖南长沙）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800xB．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800xD．1000（26﹣x）=800x
5．（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：
今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？
设合伙人数为x人，所列方程正确的是（ ）
A．5x﹣45＝7x﹣3B．5x+45＝7x+3C．
＝
D．
＝
二、填空题
6.（经典题）方程﹣
（1﹣2x）=
（3x+1）的解为___________.
7.（2019贵州黔西南州）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是 元．
8.（2019湖南湘西）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为 ．
9．（2018福建）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 元．
10.（2018武汉）某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件 元．
11.（2019贵州省毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是 元．
12.（2019•湖南株洲）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有善行者
行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？
“其意思为：
速
度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的
人要走 步才能追到速度慢的人．
[13.（2019▪贵州毕节）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是 元．
14.（2019•湖南湘西州）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为 ．
15.（2019•湖南岳阳）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：
“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？
”其意思为：
今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？
根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．
三、解答题
16.（经典题）解方程
（1）4﹣x=3（2﹣x）；
（2）
．
17．（经典题）解方程
（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；
（2）x﹣
=2﹣
．
18.（2019•湖南岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的
，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
19.（2019•甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：
今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？
译文为：
今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
20．（2019•张家界）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？
21.（2019安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【例题1】（经典题）解方程：
【答案】x=
【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解
左右同乘12可得：
3[2x﹣（x﹣1）]=8（x﹣1），
化简可得：
3x+3=8x﹣8，
移项可得：
5x=11，
解可得x=
．
故原方程的解为x=
【例题2】（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（ ）
A．2x+3（72﹣x）＝30B．3x+2（72﹣x）＝30
C．2x+3（30﹣x）＝72D．3x+2（30﹣x）＝72
【答案】D．
【解析】设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：
3x+2（30﹣x）＝72．
【例题3】（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：
“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：
一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？
根据题意得，长比宽多 步．
【答案】12
【解析】设长为x步，宽为（60﹣x）步，
x（60﹣x）＝864，
解得，x1＝36，x2＝24（舍去），
∴当x＝36时，60﹣x＝24，
∴长比宽多：
36﹣24＝12（步）
【例题4】（2019▪湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：
同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？
即：
走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？
即：
走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
【答案】
（1）当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．
（2）走路快的人走500步才能追上走路慢的人．
【解析】
（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可。
由题意得
x：
600＝100：
60∴x＝1000
∴1000﹣600﹣100＝300
所以当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．
（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．
由题意得
y＝200+
y
∴y＝500
所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人．
一、选择题
1.（2019▪贵州毕节）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）
A．2B．1C．﹣1D．0
【答案】A
【解析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可．
根据题意可得：
2m﹣1＝m+1，
解得：
m＝2
2.（2019•湖南怀化）一元一次方程x﹣2＝0的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝0D．x＝1
【答案】A
【解析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．
x﹣2＝0，
解得：
x＝2．
3.（2018江苏无锡）林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B.
【解析】根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为
公顷，林地面积为
公顷，等量关系为“旱地占林地面积的20%”，即
.故选B.
4．（2018湖南长沙）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（ ）
A．2×1000（26﹣x）=800xB．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800xD．1000（26﹣x）=800x
【答案】C
【解析】题目已经设出安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．由题意得
1000（26﹣x）=2×800x，故C答案正确。
5．（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：
今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？
设合伙人数为x人，所列方程正确的是（ ）
A．5x﹣45＝7x﹣3B．5x+45＝7x+3C．
＝
D．
＝
【答案】B
【解析】设合伙人数为x人，
依题意，得：
5x+45＝7x+3．
二、填空题
6.（经典题）方程﹣
（1﹣2x）=
（3x+1）的解为___________.
【答案】x=﹣
．
【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解
﹣7（1﹣2x）=3×2（3x+1）
﹣7+14x=18x+6
﹣4x=13
x=﹣
．
7.（2019贵州黔西南州）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是 元．
【答案】2000
【解析】一元一次方程的应用。
设这种商品的进价是x元，
由题意，得（1+40%）x×0.8＝2240．
解得x＝2000
8.（2019湖南湘西）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为 ．
【答案】4
【解析】考查一元一次方程的解
∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，
∴3×2﹣2k+2＝0，
解得：
k＝4．
9．（2018福建）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是 元．
【答案】180
【解析】设该件服装的成本价是x元．根据“利润=标价×折扣﹣进价”即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
设该件服装的成本价是x元，
依题意得：
300×
﹣x=60，
解得：
x=180．
∴该件服装的成本价是180元．
10.（2018武汉）某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件 元．
【答案】150．
【解析】考点是一元一次方程的应用．设该商品的标价为每件为x元，根据八折出售可获利20元，可得出方程：
80%x﹣100=20，再解答即可．
解得：
x=150．
答：
该商品的标价为每件150元．
11.（2019贵州省毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是 元．
【答案】2000.
【解析】一元一次方程的应用。
设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可．
由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．
解得：
x＝2000
12.（2019•湖南株洲）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有善行者
行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？
“其意思为：
速
度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的
人要走 步才能追到速度慢的人．
[【答案】250．
【解析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间＝路程，即可求出t值，再将其代入路程＝速度×时间，即可求出结论．
根据题意得：
（100﹣60）t＝100，
解得：
t＝2.5，
∴100t＝100×2.5＝250．
所以走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．
13.（2019▪贵州毕节）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是 元．
【答案】2000
【解析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可．
由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．
解得：
x＝2000
14.（2019•湖南湘西州）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为 ．
【答案】4
【解析】∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，
∴3×2﹣2k+2＝0，
解得：
k＝4．
15.（2019•湖南岳阳）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：
“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？
”其意思为：
今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？
根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺．
【答案】
．[
【解析】设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：
x+2x+4x+8x+16x＝5，
解得：
x＝
，
即该女子第一天织布
尺．
三、解答题
16.（经典题）解方程
（1）4﹣x=3（2﹣x）；
（2）
．
【答案】见解析。
【解析】
（1）去括号得：
4﹣x=6﹣3x，
移项得：
﹣x+3x=6﹣4，
合并得：
2x=2，
系数化为1得：
x=1．
（2）去分母得：
5（x﹣1）﹣2（x+1）=2，
去括号得：
5x﹣5﹣2x﹣2=2，
移项得：
5x﹣2x=2+5+2，
合并得：
3x=9，
系数化1得：
x=3．
17．（经典题）解方程
（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；
（2）x﹣
=2﹣
．
【答案】见解析。
【解析】
（1）去括号得：
4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10
移项得：
4x+3x﹣5x=4+60﹣10
合并得：
2x=54
系数化为1得：
x=27；
（2）去分母得：
6x﹣3（x﹣1）=12﹣2（x+2）
去括号得：
6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4
移项得：
6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3
合并得：
5x=5
系数化为1得：
x=1．
18.（2019•湖南岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的
，求休闲小广场总面积最多为多少亩？
【答案】见解析。
【解析】
（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积＝1200亩”列出方程并解答；
由题意，得x+（600+x）＝1200,解得x＝300．
则600+x＝900．
所以改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩。
（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的
”列出不等式并解答．
由题意，得y≤
（300﹣y）．
解得y≤75．
故休闲小广场总面积最多为75亩．
所以休闲小广场总面积最多为75亩．
19.（2019•甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：
今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？
译文为：
今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【答案】共有39人，15辆车．
【解析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
根据题意得：
+2＝
，
去分母得：
2x+12＝3x﹣27，解得：
x＝39，
∴
＝15，
则共有39人，15辆车．
20．（2019•张家界）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．
（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？
【答案】见解析。
【解析】
（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，
由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000，
70x＝9800，x＝140，
∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵。
（2）设购买甲树苗y棵。
乙树苗（10-y）棵，
根据题意得：
30y+20（10-y）
230
10y
30y
3
购买方案2：
购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；
购买方案3：
购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；
购买方案4：
购买甲树苗0棵，乙树苗10棵。
21.（2019安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？
【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天．
【解析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．
由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，
解得x＝7，
所以乙工程队每天掘进5米，
（天）
所以甲乙两个工程队还需联合工作10天．
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