一元二次方程根的判别式.docx
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一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
一、知识要点：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac。
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
Δ<0时，方程没有实数根。
以上定理也可以逆向应用。
在应用判别式之前，要把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
注意：
（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac，不是Δ=
，
（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式。
2.根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
注意：
①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。
②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.
二、例题精讲：
例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2+3x-4=0
（2）3x2+2=2
x
（3）
x2+1=
x （4）ax2+bx=0（a≠0）
（5）ax2+c=0（a≠0）
分析；一元二次方程的根的情况是由Δ=b2-4ac的符号决定的，所以，在判断一元二次方程根的情况时，应想尽办法判断出“Δ”的符号，然后根据判别式定理判定根的情况。
尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而决定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论。
解：
（1）2x2+3x-4=0
a=2,b=3,c=-4,
∵Δ=b2-4ac
=32-4×2×（-4）=41>0
∴方程有两个不相等的实数根。
（2）将方程化为一般形
3x2-2
x+2=0
a=3,b=-2
c=2
∴Δ=b2-4ac=（-2
）2-4×3×2=0,
∴方程有两个相等的实数根。
（3）将方程化为一般形式
x2-
x+1=0
方程两边同乘以2（为了计算简便），得
x2-
x+2=0
a=
b=-
c=2
∵Δ=（-
）2-4×
×2
=2-8
<0
∴方程没有实数根。
（4）ax2+bx=0（a≠0）
∵a≠0,∴方程是一元二次方程，
此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，
∵Δ=（-b）2-4·a·0=b2,
∵无论b取任何关数，b2均为非负数，
∴Δ≥0，
故方程有两个实数根。
（5）ax2+c=0（a≠0）
∵a≠0,
∴此方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程，一次项系数b=0
∵Δ=02-4ac
=-4ac
需要讨论a,c的符号，才能确定Δ的符号；
当c=0时，Δ=0,方程有两相等实根；
当a与c异号时，Δ>0,方程有两不等实根；
当a与c同号时，Δ<0，方程没有实数根。
注意：
运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数。
例2．求证方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）=0没有实数根。
分析：
先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。
证明：
Δ=（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）
=4m2-4（m4+5m2+4）
=-4m4-16m2-16=-4（m4+4m2+4）
=-4（m2+2）2
∵不论m取任何实数（m2+2）2>0,
∴-4（m2+2）2<0,即Δ<0.
∴关于x的方程（m2+1）x2-2mx+（m2+4）=0没有实数根。
小结：
由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：
（1）计算Δ
（2）用配方法将Δ恒等变形
（3）判断Δ的符号
（4）结论
其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：
a2,a2+2,（a2+2）2,-a2,-（a2+2）2的代数式，从而判定正负，非负等情况。
方程配方与代数式配方既有联系又有区别：
方程配方是对方程进行同解变形，代数式配方是恒等变形，因此方程变形中两边除以二次项系数，而在代数式变形中为提取二次项系数。
方程变形中等号两边同时加上一次项系数一半的平方，而在代数式变形中加上一次项系数一半的平方的同时，还需减去一次项系数一半的平方，以保证代数式恒等。
例3．已知关于x的方程kx2-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求k的值并解这个方程。
分析：
∵方程有两个实数根，∴有隐含条件二次项系数k≠0,
又∵方程有两个相等的实数根，由判别式定理的逆定理可知Δ=0
解：
Δ=（-4k）2-4·k（k-5）
=12k2+20
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即12k2+20k=0
解得k1=0,k2=-
又∵k=0时，方程不是一元二次方程，不能有两个实根，
∴k=0不符合题意，应舍去。
∴k=-
，
把k=-
代入原方程，原方程即为x2-4x+4=0。
解得这个方程的两个根是x1=x2=2.
注意：
对于二次项系数含有待定字母的一元二次方程，当使用根的判别式时，必须考虑隐含条件a≠0。
例4．已知：
a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c（x2+m）+b（x2-m）-2
ax=0有两个相等的实数根，求证：
ΔABC为RtΔ。
证明：
整理原方程：
方程c（x2+m）+b（x2-m）-2
ax=0.
整理方程得：
cx2+cm+bx2-bm-2
ax=0
（c+b）x2-2
ax+cm-bm=0
根据题意：
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（-2
a）2-4（c+b）（cm-bm）=0
4ma2-4（c2m-bcm+bcm-b2m）=0
ma2-c2m+b2m=0
∴Δ=m（a2+b2-c2）=0
又∵m>0,
∴a2+b2-c2=0
∴a2+b2=c2
又∵a,b,c为ΔABC的三边，
∴ΔABC为RtΔ。
例5．若a,b,c为实数，关于x的方程2x2+2（a-c）x+（a-b）2+（b-c）2=0有两个相等的实数根，求证a+c=2b.
分析：
根据判别式定理的逆定理，由方程有两个相等实根，可知Δ=0，经整理化为关于方程中系数的等式，从而导出结论。
证明：
∵一元二次方程有两个相等实数根，
∴Δ=0，即[2（a-c）]2-4×2·[（a-b）2+（b-c）2]=0
（a-c）2-2（a2-2ab+b2+b2-2bc+c2）=0
a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0
（a+c）2-4b（a+c）+4b2=0
（a+c-2b）2=0
∴a+c-2b=0 即a+c=2b.
注意：
利用一元二次方程的根的判别式进行有关的证明，就是根据判别式大于0，小于0或等于0的情况，结合已有的其它知识来证明结论的，有时要应用乘法公式进行恒等变形。
例6．若关于x的方程m2x2+（2m+1）x+1=0有两个实数根，求m的取值范围。
分析：
已知方程有两个实数根，说明它是一元二次方程，即二次项系数m2≠0，又由判别式定理的逆定理可知Δ≥0，m的取值范围是受这两个条件限制的，解之即可。
解：
∵方程有两个实数根，
∴
即
解得m>-
且m≠0,
∴当m≥-
且m≠0时，方程有两个实数根。
注意：
不要漏掉题中的隐含条件“二次项系数m≠0”。
例7．若关于x的方程（m2-1）x2-2（m+2）x+1=0有实数根，求m的取值范围。
分析：
此题易误认为所给方程是一元二次方程，而用Δ≥0，且m2-1≠0来解，事实上，题目中没有给出方程的次数，也没有指明方程的根的个数，因此应考虑方程为二次方程和一次方程两种情况。
解：
本题有两种情况：
（1）若方程是一元二次方程，并且有实根，则必有：
即m≥-
且m≠±1.
（2）若方程为一次方程，则
解得m=±1，
当m=1时，原方程为-6x+1=0，有实根x=
当m=-1时，原方程为-2x+1=0，也有实根x=
.
综合
（1），
（2），得m≥-
时，原方程有实数根。
注意：
对比以上两个例题，都是由方程的根的情况求m的取值范围，但解题思路却不太相同。
例6说“方程有两个实数根”，隐含着方程是一元二次方程的条件，例7说“方程有实数根”，却没有这样的隐含条件，所以例7要分二次方程和一次方程的两种情况讨论。
本题所用的是分类讨论思想。
利用分类讨论思想解答问题，要注意：
分类要按同一标准进行，同时分类要做到不重不漏，最后要综合几种情况得出结论。
例8．已知，关于x的方程x2-
x+k=0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围。
（2）化简：
|-k-2|+
解：
Δ=（-
）2-4·k=2k+4-4k=-2k+4
∵方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，
∴-2k+4>0, ∴k<2,
又∵2k+4≥0, ∴k≥-2.
∴k的取值范围是-2≤k<2.
（2）|-k-2|+
（-2≤k≤2）
=|k+2|+
=|k+2|+|k-2|
=k+2+2-k=4.
小结：
一元二次方程根的判别式是判定二次方程解的情况依据，使用时常需要配方，是这一部分的重要知识，要掌握。
测试
选择题
1．已知关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）。
A、a<1 B、a>1 C、a<1且a≠0 D、a<0
2．关于x的一元二次方程kx2-3x+2=0有两个相等的实根，则k应满足是（ ）。
A、k=0 B、k≥0 C、k=-
D、k=
3．关于x的方程m（x2+x+1）=x2+x+2有两个相等的实数根，则m的值为（ ）。
A、
B、1 C、-
D、
或1
4．若方程k（x2-2x+1）-2x2+x=0有实数根，则（ ）。
A、k>-
B、k>-
且k≠2
C、k≥-
D、k≥-
且k≠2
5．方程x2-4x+
=0有根的情况是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、没有实数根 D、有一个实数根
6．下列方程中，有两个相等实数根的一元二次方程是（ ）。
A、3x2-4x-1=0
B、x2+3+2
=2
x+2x
C、x3-2
x+5=0
D、
x2+
x=1
7．若方程x2+
x+n=0有两个相等的实数根，那么
的值为（ ）。
A、-
B、
C、-4 D、4
8．已知关于x的方程x2+3（m-1）x-2m2-4m+
=0（m为实数），则该方程（ ）。
A、无实数根 B、有两个相等实数根
C、有不等的两实数根 D、不能确定有无实数根
答案与解析
答案：
1.C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C
解析：
1．分析：
依题意：
由Δ=22-4a=4-4a>0,解得a<1.
则a的取值范围为a<1,且a≠0.
2．分析：
依题意：
，
由Δ=（-3）2-4k×2=9-8k=0
解得k=
综上：
k应满足k=
。
3.分析：
原方程整理得：
（m-1）x2+（m-1）x+（m-2）=0
∴
由
（1）得m≠1.由
（2）得m=1或m=
.
所以，m的值为m=
。
4．分析：
方程有实数，则原方程可以是一次方程也可以是二次方程，分情况讨论，
原方程整理得：
（k-2）x2-（2k-1）x+k=0，当方程为一元一次方程，若方程有实根，则k-2=0且-（2k-1）≠0,得：
k=2,当方程为一元二次方程，若方程有实根，则：
，解得：
k≥-
且k≠2.综上：
k≥-
时，方程有实数解。
5．分析：
Δ=（-4）2-4·
=16-4
=
-
>0.
6．分析：
判定判别式的符号，找到Δ=0的选项，并注意选项C是一元三次方程。
7．分析：
若方程x2+
x+n=0有两个相等的实数根，则有Δ=（
）2-4n=0,∴m=4n, ∴
.
8．分析：
Δ=[3（m-1）]2-4（-2m2-4m+
）
=9（m2-2m+1）+8m2+16m-7
=17m2-2m+2
=（m2-2n+1）+16m2+1
=（m-1）2+16m2+1
∵无论m为何值，恒有：
（m-1）2≥0,16m2≥0.
则Δ=（m-1）2+16m2+1>0，所以方程有两个不相等的实数根。
一元二次方程的根的判别式
中考考点:
1．理解一元二次方程的根的判别式的概念.
2．能用判别式判定根的情况。
考点讲解:
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式：
△=b2-4ac，
当△>0时
方程有两个不相等的实数根；
当△=0时
方程有两个相等的实数根；
当△<0时
方程没有实数根。
2．根的判别式应用极为广泛，主要有以下几方面：
（1）不解方程，判断根的情况，步骤是：
①化方程为一般形式，确定a,b,c的值；②计算b2-4ac，并确定它的符号；③用定理判断根的情况。
（2）给出根的情况，求方程中字母系数的取值范围。
解题步骤是：
①化方程为一般形式，确定a,b,c的值；②求判别式，它是含有未知数的代数式；③根据题目所要满足的条件列出方程或不等式；④解方程或不等式，确定字母取值范围。
当方程有两个实数根时，应结合二次项系数不等于零加以考虑，这一点往往容易忽视，应特别小心。
（3）利用根的判别式证明方程根的情况。
此类题比较综合，运用配方法和因式分解技巧，结合非负数的有关性质进行推导才能奏效。
考题评析
1．（甘肃省）在一元二次方程
中，若系数b和c可在1，2，3，4，5，6中取值，则其中有实数解的方程的个数是_____________。
考点：
一元二次方程根的判别
评析：
因为b、c可在1、2、3、4、5、6中取值保证方程有根。
所以Δ=b2－4ac≥0，而a=1，所以实质为b2－4c≥0，b从大到小取值，c也从大到小取值，可知b=6时，有6个方程，b=5时，有6个方程，可知b=4时，有4个方程，可知b=3时，有2个方程，可知b=2时，有1个方程，以此类推，可知共19个方程有实根。
答案：
19
2．（辽宁省）关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，则m=_________。
考点：
一元二次方程根的判别式
评析思路：
因为方程有两个相等实根，所以Δ=b2-4ac=0，将方程中的a、b、c代入构成关于m的方程，解这个方程可得m值。
答案：
9
3．（河北省）若关于x的一元二次方程
有两个实数根，则k的取值范围是_________。
考点：
一元二次方程根的判别式
评析思路：
因方程有两个实根，所以△≥0可求k的范围，同时注意一元二次方程的条件a≠0，所以在k的范围内不包括k=0。
答案：
k≥
且k≠0
4．（贵阳市）已知关于x的一元二次方程mx2-2（3m-1）x+9m-1=0有两个实数根，则实数m的取值范围是 .
考点：
一元二次方程根的判别式
评析：
利用判断式得到不等式，并解不等式即可,解法同上面第3题。
答案：
m
5．（长沙市）关于x的一元二次方程x2-4x+a=0有两个相等的实数根，则a= .
考点：
一元二次方程根的判别式。
评析：
利用判别式等于0，得到关于a的方程，解这个方程得。
答案：
4
6．（北京市海淀区）方程
的根的情况是（ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个相等的实数根 （C）没有实数根 （D）有两个不相等的实数根
考点：
一元二次方程根的判断式。
评析：
首先掌握根的判断式△=b2－4ac的正负情况。
只要将方程中的a,b,c代入△求值，根据值的符号就能选出正确答案，有时此类问题也可直接解方程。
答案：
C
7．（安徽省）关于x的一元二次方程3x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是：
（ ）
A、k<
B、k<
且k≠1 C、k≤
D、k>
考点：
一元二次方程根的判别
评析：
因为原方程有两个不等实根，所以△=4-4×3×（k-1）>0解得k<
故应选A。
8.（河北省）在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中,若a与c异号,则方程[ ]
（A）有两个不相等的实数根 （B）有两个相等的实数根
（C）没有实数根 （D）根的情况无法确定
考点：
一元二次方程根的判别
评析：
因为方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a与c异号，所以b2-4ac>0，故方程有两个不相等的实根，故选A。
真题实战
1．（青岛市）已知x2-2mx+1是完全平方式，则m的值为（ ）
A、1 B、－1 C、±1 D、0
答案：
C
2．（天门市）关于x的方程
有实数根，则k的非负整数值是（ ）
A．0，1，2 B．1，2 C．1，2，3 D．0，1，2，3
答案：
D
3．（常州市）一元二次方程x2+x+1=0的根的情况为（ ）
A、有两个相等的实数根。
B、没有实数根。
C、有两个不相等的实数根 D、有两个不相等的实数根，且两根积为1
答案：
B
4．已知：
关于x的一元二次方程x2+2x-k+1=0有两个实数根，试求实数k的取值范围。
[解]：
∵方程有两个实数根，
∴Δ≥0
又∵Δ=22-4×（-k+1）
=4+4k-4=4k
∴4k≥0，即k≥0。
∴实数k的取值范围是k≥0。
古代著名的方程问题
中国、希腊、印度、巴比伦等文明古国都有一些著名的方程问题，反映出这些国家当时的数学水平。
我国南宋数学家秦九韶编著的《数书九章》中有一道非常有趣的方程问题，叫“小偷偷米”。
题目的意思是：
“三个小偷从三个箩筐中各偷走一些米。
三个箩筐原来装米量相等，事后发现，第一箩中余米1合，第二箩中余米l升4合，第三箩中余米1合。
据三个小偷供认：
甲用木勺从第一箩里舀米，每次都舀满装入口袋；乙用木盒从第二箩里舀米装袋每次都舀满；丙用大碗从第三箩里舀米每次也舀满。
经测量，木勺容量为l升9合，木盒容量为1升7合，大碗容量为1升2合。
问，每个小偷各偷米多少?
”（注：
一升等于10合）
这个问题解算起来并不很容易。
可设“x为用木勺舀米的次数，y为用木盒舀米的次数，z为用大碗舀米的次数。
根据“三个箩筐原来装米量相等”可以得
19x+1＝17y+14＝12z+1．
由 19x+1＝12z+1，
得 19x=12z, x=
z.
因为x,y,z都是整数，所以可让z=19t,
这样，x=12t,
进而可得 17y=228t-13,
y=
t-
.
令t分别取1，2，3，……直到y得到整数为止，容易验证，当t=14时，y=187.
因此，x=168,y=187,z=266.
19x=3192,17y=3179,12z=3192.
答：
甲偷米3石1斗9升2合，乙偷米3石1斗7升9合，丙偷米3石1斗9升2合。
印度古代出现过许多优秀的数学家，12世纪的拜斯迦罗·阿卡利亚就是其中的一个。
在他所著的《天文学之王冠》、《利拉瓦吉》和《求根》中有许多有趣的方程问题。
比如“猴群问题”：
“有一群猴子，在小树林中玩耍：
总数的
的平方只猴子，在欢乐地蹦跳；还有12只猴子愉快地啼叫。
小树林中的猴子，总共有多少？
”
可以设这群猴子总数为x只，则（
）2+12=x,
整理，得 x2-64x+768=0.
这是一个一元二次方程，用公式法解
x=
=
x1=48,x2=16.
答：
这群猴子可以是48只，也可以是16只。
以上的二次方程是根据“全体等于各部分之和”列出方程，只局限于这一种模型，这是古代印度数学家研究方程的一个特点。
最早的二次方程并不出现在印度，而是在古代的巴比伦。
巴比伦人早在4000年前就提出了二次方程的问题。
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