(5)同向可加性:
如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.
(6)同向同正可乘性:
如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
(7)可乘方性:
如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥2).
(8)可开方性:
如果a>b>0,那么>(n∈N,n≥2).
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数性质:
①a>b,ab>0⇒<.②a<0<b⇒<.
③a>b>0,0<c<d⇒>.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.
(2)有关分数的性质:
若a>b>0,m>0,则
①真分数:
<;>(b-m>0);②假分数:
>;<(b-m>0).
考向二 不等式性质的简单应用
【例2】(2012·上海十三校联考)若<<0,有下面四个不等式:
①|a|>|b|,②ab3,则不正确的不等式的个数是( ).
A.0B.1C.2D.3
【训练2】已知三个不等式:
①ab>0;②bc>ad;③>.以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成正确命题的个数是( ).
A.0B.1C.2D.3
考向三 不等式性质的综合应用
【例3】►已知函数f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f
(1)≤4.求f(-2)的取值范围.
【训练3】若α,β满足试求α+3β的取值范围.
二、当堂检测
1.(2011·浙江)若a,b为实数,则“0”的( ).
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
2.(2013·保定模拟)已知a>b,则下列不等式成立的是( ).
A.a2-b2≥0B.ac>bc
C.|a|>|b|D.2a>2b
3.(2012·晋城模拟)已知下列四个条件:
①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0,能推出<成立的有( ).
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.(2010江苏12)设实数x,y满足3≤≤8,4≤≤9,则的最大值是_____▲____
5.(2010辽宁文15).已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是
6.若-<α<β<,则α-β的取值范围是________.
7.(13分)已知f(x)=ax2-c且-4≤f
(1)≤-1,-1≤f
(2)≤5,求f(3)的取值范围.
2014届高要二中高三数学(理)导学案
基本不等式及应用(学生版)
主备人:
杨素玲审核:
高三理科数学备课组时间:
2013-07-30
一、考点梳理
1.考纲要求:
均值不等式是高考的热点,主要考查命题的判定,及求最值等问题。
2.基本不等式:
≤
(1)基本不等式成立的条件:
a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:
当且仅当a=b时取等号.
(3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均,即
2.基本不等式的变形
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤2(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(3)a+≥2(a>0),当且仅当a=1时取等号;
a+≤-2(a<0),当且仅当a=-1时取等号.
(4)+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
(5)三个正数的算术-几何平均不等式:
如果,则,当且仅当=c时,等号成立;
推广到一般情形:
对于n个正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即,当且仅当时,等号成立
3.最值问题:
已知是正数,
①如果积是定值P,则当时,和有最小值;
②如果和是定值S,则当时,积有最大值.
利用基本不等式求最值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否成立,以及添项、拆项的技巧,以满足均基本不等式的条件。
4.学习要点:
(1)掌握基本不等式的结构特点,利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最值,难点在于定值的确定。
(2)基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和”。
必要时可以通过变形(拆补)、运算(指、对数等)构造定值。
(3)只有在满足“一正、二定、三等”条件下,才能取到最值。
(4)基本不等式的主要应用有:
求最值、证明不等式、解决实际问题。
二、例题分析:
例1.已知,则的最小值是_______.
【练习】⑴求的最大值.
⑵求f(x)=(x>0)的最大值
例2.已知,且,求:
(1)的最小值;
(2)的最小值。
例3.已知,且求
⑴的最大值及相应的x,y的值;⑵求+的最小值。
例4.某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。
在温室内,沿左.右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道,沿前侧内墙保留3宽的空地。
当矩形温室的边长各为多少时?
蔬菜的种植面积最大。
最大种植面积是多少
三、当堂检测
1.设,且,则的最小值是
A.6B.C.D.
2.下列函数中最小值是4的是
A.B.
C.D.
3.若是正实数,则的最小值为
A.6B.9C.12D.15
5.若正数满足,则的取值范围是
A. B. C. D.
6(2010重庆)已知,,,则的最小值是()
A.3B.4C.D.
7.点在直线位于第一象限内的图象上运动,则的最大值是____________.
8.函数的最小值是_____________.
9.(2010安徽文15).若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是.(写出所有正确命题的编号).
①ab≤1;②;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤.
10.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:
(1)仓库面积的最大允许值是多少?
(2)为使达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?
2014届高要二中高三数学(理)导学案
一元二次不等式的解法(学生版)
主备人:
杨素玲审核:
高三理科数学备课组时间:
2013-07-30
考纲要求:
1.会从实际问题中抽象出二元一次不等式组模型
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数,一元二次方程的联系。
知识导学
1.一元一次不等式ax>b
(1)当a>0时,解为;
(2)当a<0时,解为;(3)当a=0,b≥0时无解;当a=0,b<0时,解为R.
2.一元二次不等式:
a.一元二次不等式的解法
Ⅰ将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).
Ⅱ计算相应的判别式.
Ⅲ当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根.
Ⅳ利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
b.三个“二次”间的关系
判别式
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根
x1,x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=-
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x|x>x2,或x<x1}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{x|x1<x<x2}
一、经典例题导讲
【例1】解下列关于x的不等式:
(1)
(2)(3)x2-(3+a)x+3a>0.
【训练1】1.求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.2.(2013年广东高考)
[例2]一元二次不等式恒成立问题
已知函数f(x)=mx2-mx-1.
(1)若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;
(2)若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.
【训练2】1.如果恒成立,则实数k的取值范围是().
A.-1≤k≤0B.-1≤k<0 C.-12.已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
二、知识点训练:
1、不等式组的解集为.
2、
(A)(B)
(C)(D)
3、不等式的解为………………………………………………()
(A)x≥1 (B)x>1(C)x≥1或者x=-2(D)x≥-2且x≠1
4、如果A=,则实数a的集合为( )
(A){a|0<a<4} (B){a|0≤a<4}( C){a|0<a≤4} (D){a|0≤a≤4}
5、不等式ax2+bx+2>0的解集为,则a=;b=.
6、若a<0,则关于x的不等式的解集是;
7、若函数)的定义域是R,求实数k的取值范围;
8、不等式恒成立,则a的取值范围是;
9、(2013·大同一模)已知函数f(x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R),若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是________.
10、在实数集上定义运算⊗:
x⊗y=x(1-y),若不等式(x-a)⊗(x+a)<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是________.
2014届高要二中高三数学(理)导学案
绝对值不等式的解法(学生版)
主备人:
杨素玲审核:
高三理科数学备课组时间:
2013-07-30
知识导学
1.绝对值三角不等式
定理1如果a,b是实数,则,当且仅当ab0时,等号成立.
定理1如果a,b,c是实数,则,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
a.绝对值的几何意义:
一般地,如果a>0,那么表示数轴上到原点距离小于a的点的集合,表示数轴上到原点距离大于a的点的集合,因而
;
进而,如果a>0;
b.(Ⅰ)型不等式的解法
(Ⅱ)型不等式的解法
3.分式不等式:
先整理成>0或≥0的形式,转化为整式不等式求解,即:
>0f(x)·g(x)>0,≥0
4.指数不等式:
5.对数不等式:
一、经典例题导讲
[例1]解下列不等式
(1);
(2);(3);
(4);(5)(6)
[训练1]1.(2012陕西)若存在实数使成立,则实数的取值范围是.
2.(2006安徽文)不等式的解集是()
A.B.C.D.
[例2]