④等腰三角形的三角关系:
设顶角为顶角为∠A,底角为∠B、∠C,则∠A=180°—2∠B,∠B=∠C=
2、等腰三角形的判定
判定1:
定义如果一个三角形中有两条边相等,那么这个三角形是等腰三角形。
判定2:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,即这个三角形是等腰三角形(简称:
等角对等边)。
推论1:
三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用:
位置关系:
可以证明两条直线平行。
数量关系:
可以证明线段的倍分关系。
常用结论:
任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:
三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论2:
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:
三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4:
三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:
三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
考点四、线段的垂直平方线
1、线段的垂直平分线的概念:
垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线
2、线段的垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点,到线段两段的距离相等。
3、线段的垂直平分线的推论:
到线段两段距离相等的点,在线段的垂直平分线上。
(两点确定一条直线)
考点五、全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
2、全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示,读作“全等于”。
如△ABC≌△DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注:
记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、三角形全等的判定
(1)边角边定理:
有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理:
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
(3)边边边定理:
有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
(4)角角边定理:
有两角和其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)
直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
4、全等变换
只改变图形的位置,二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:
把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:
将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:
将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
第三章二次根式
考点一、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数(整数和分数统称为有理数)
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
2、无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如
等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如
+8等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
(4)某些三角函数,如sin60o等
有理数的运算规律到无理数的运算中也适用。
比如加法交换律,乘法结合律等
考点二、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根:
如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。
平方根的性质:
一个数有两个平方根,他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
正数a的平方根记做“
”。
2、算术平方根:
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记作“
”。
正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
(
0)
;注意
的双重非负性:
-
(
<0)
0
3、立方根:
如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。
立方根的性质:
任何数都有立方根,一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意:
,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
考点三、二次根式
1、二次根式
式子
叫做二次根式,二次根式必须满足:
含有二次根号“
”;被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式
若二次根式满足:
被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤:
(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简。
(2)如果被开方数是整数或整式,先将他们分解因数或因式,然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式:
几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质
5、二次根式运算法则
(1)加减法:
二次根式相加减,先把各个二次根式化为最简二次根式,在合并同类二次根式。
(2)乘法:
;
(3)除法:
;
(4)乘方:
(5)混合运算:
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号的先算括号里的(或先去括号)。
第四章不等式与不等式组
考点一、不等式的概念
1、不等式:
用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式。
2、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程,叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
考试题型:
考点三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念:
一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤:
(1)去分母
(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立,我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集
(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集。
第五章图形的初步认识
考点一、直线、射线和线段
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。
立体图形:
有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。
平面图形:
有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。
2、点、线、面、体
(1)几何图形的组成
点:
线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。
线:
面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。
面:
包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:
几何体也简称体。
(2)点动成线,线动成面,面动成体。
3、直线的概念:
一根拉得很紧的线,就给我们以直线的形象,直线是直的,并且是向两方无限延伸的。
4、射线的概念:
直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
这个点叫做射线的端点。
5、线段的概念:
直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。
这两个点叫做线段的端点。
6、点、直线、射线和线段的表示
在几何里,我们常用字母表示图形。
(1)一个点可以用一个大写字母表示。
(2)一条直线可以用一个小写字母表示。
(3)一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。
(4)一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。
注意:
(1)表示点、直线、射线、线段时,都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。
(2)直线和射线无长度,线段有长度。
(3)直线无端点,射线有一个端点,线段有两个端点。
(4)点和直线的位置关系有线面两种:
①点在直线上,或者说直线经过这个点。
②点在直线外,或者说直线不经过这个点。
7、直线的性质
(1)直线公理:
经过两个点有一条直线,并且只有一条直线。
它可以简单地说成:
过两点有且只有一条直线。
(2)过一点的直线有无数条。
(3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。
(4)直线上有无穷多个点。
(5)两条不同的直线至多有一个公共点。
8、线段的性质
(1)线段公理:
所有连接两点的线中,线段最短。
也可简单说成:
两点之间线段最短。
(2)连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。
(3)线段的中点到两端点的距离相等。
(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理:
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理:
和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
考点二、角
1、角的相关概念
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。
当角的两边在一条直线上时,组成的角叫做平角。
平角的一半叫做直角;小于直角的角叫做锐角;大于直角且小于平角的角叫做钝角。
如果两个角的和是一个直角,那么这两个角叫做互为余角,其中一个角叫做另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫做互为补角,其中一个角叫做另一个角的补角。
2、角的表示
角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示,具体的有一下四种表示方法:
①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。
注意:
用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。
3、角的度量
角的度量有如下规定:
把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”。
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”。
把1’的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””。
1°=60’=60”
4、角的性质
(1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量,可以比较
(3)角可以参与运算。
5、角的平分线及其性质
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理:
(1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
(2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
第六章相交线与平行线
考点三、相交线(3分)
1、相交线中的角
两条直线相交,可以得到四个角,我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。
我们把两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。
临补角互补,对顶角相等。
直线AB,CD与EF相交(或者说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截),构成八个角。
其中∠1与∠5这两个角分别在AB,CD的上方,并且在EF的同侧,像这样位置相同的一对角叫做同位角;∠3与∠5这两个角都在AB,CD之间,并且在EF的异侧,像这样位置的两个角叫做内错角;∠3与∠6在直线AB,CD之间,并侧在EF的同侧,像这样位置的两个角叫做同旁内角。
2、垂线
两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。
垂线的性质:
性质1:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。
简称:
垂线段最短。
考点四、平行线
1、平行线的概念
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号“∥”表示,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。
同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:
相交或平行。
注意:
(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论
平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:
如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定
平行线的判定公理:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。
简称:
同位角相等,两直线平行。
平行线的两条判定定理:
(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。
简称:
内错角相等,两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。
简称:
同旁内角互补,两直线平行。
补充平行线的判定方法:
(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
4、平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等。
(2)两直线平行,内错角相等。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
第七章整式的加减
考点一、整式的有关概念
1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
2、单项式:
只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
注意:
单项式是由系数、字母、字母的指数构成的,其中系数不能用带分数表示,如
,这种表示就是错误的,应写成
。
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
如
是6次单项式。
考点二、多项式
1、多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。
单项式和多项式统称整式。
用数值代替代数式中的字母,按照代数式指明的运算,计算出结果,叫做代数式的值。
注意:
(1)求代数式的值,一般是先将代数式化简,然后再将字母的取值代入。
(2)求代数式的值,有时求不出其字母的值,需要利用技巧,“整体”代入。
2、同类项:
所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
3、去括号法则
(1)括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号一起去掉,括号里各项都不变号。
(2)括号前是“﹣”,把括号和它前面的“﹣”号一起去掉,括号里各项都变号。
4、整式的运算法则:
整式的加减法:
(1)去括号;
(2)合并同类项。