湖南省岳阳市中考数学试题与答案.docx

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湖南省岳阳市中考数学试题与答案

2019年湖南省岳阳市中考数学试题与答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）

1．（3分）﹣2019的绝对值是（　　）

A．2019B．﹣2019C．

D．﹣

2．（3分）下列运算结果正确的是（　　）

A．3x﹣2x＝1B．x3÷x2＝x

C．x3•x2＝x6D．x2+y2＝（x+y）2

3．（3分）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（3分）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（　　）

A．20°B．25°C．30°D．50°

5．（3分）函数y＝

中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≠0B．x＞﹣2C．x＞0D．x≥﹣2且x≠0

6．（3分）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2＝1.2，S乙2＝1.1，S丙2＝0.6，S丁2＝0.9，则射击成绩最稳定的是（　　）

A．甲B．乙C．丙D．丁

7．（3分）下列命题是假命题的是（　　）

A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

B．同角（或等角）的余角相等

C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分

8．（3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（　　）

A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜

D．c＜1

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

9．（4分）因式分解：

ax﹣ay＝　　．

10．（4分）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳“水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为600000人次．数据600000用科学记数法表示为　　．

11．（4分）分别写有数字

、

、﹣1、0、π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是　　．

12．（4分）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为　　．

13．（4分）分式方程

的解为x＝　　．

14．（4分）已知x﹣3＝2，则代数式（x﹣3）2﹣2（x﹣3）+1的值为　　．

15．（4分）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：

“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？

”其意思为：

今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？

根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布　　尺．

16．（4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是　　．（写出所有正确结论的序号）

①AM平分∠CAB；

②AM2＝AC•AB；

③若AB＝4，∠APE＝30°，则

的长为

；

④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝

．

三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：

（

﹣1）0﹣2sin30°+（

）﹣1+（﹣1）2019

18．（6分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：

∠1＝∠2．

19．（8分）如图，双曲线y＝

经过点P（2，1），且与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点．

（1）求m的值．

（2）求k的取值范围．

20．（8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．

（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？

（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的

，求休闲小广场总面积最多为多少亩？

21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．

分数段

频数

频率

74.5～79.5

2

0.05

79.5～84.5

m

0.2

84.5～89.5

12

0.3

89.5～94.5

14

n

94.5～99.5

4

0.1

（1）表中m＝　　，n＝　　；

（2）请在图中补全频数直方图；

（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在　　分数段内；

（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

22．（8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：

sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）

（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）

（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．

23．（10分）操作体验：

如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．

（1）如图1，求证：

BE＝BF；

（2）特例感知：

如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；

（3）类比探究：

若DE＝a，CF＝b．

①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）

24．（10分）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：

y＝

x2+

x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）

（1）求点A、B的坐标；

（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：

y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；

（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）

1．A2.B3.C4.B5.D6.C7.A8.B

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

9．a（x﹣y）．

10．6×105．

11．

．

12．4．

13．1．

14．1．

15．

．

16．①②④．

三、解答题（本大题共8小题，满分64分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．原式＝1﹣2×

+3﹣1

＝1﹣1+3﹣1

＝2．

18．证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，

在△ADF和△CDE中，

，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴∠1＝∠2．

19．解：

（1）∵双曲线y＝

经过点P（2，1），

∴m＝2×1＝2；

（2）∵双曲线y＝

与直线y＝kx﹣4（k＜0）有两个不同的交点，

∴

＝kx﹣4，整理为：

kx2﹣4x﹣2＝0，

∴△＝（﹣4）2﹣4k•（﹣2）＞0，

∴k＞﹣2，

∴k的取值范围是﹣2＜k＜0．

20．解：

（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩，

由题意，得x+（600+x）＝1200

解得x＝300．

则600+x＝900．

答：

改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩；

（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，

由题意，得y≤

（300﹣y）．

解得y≤75．

故休闲小广场总面积最多为75亩．

答：

休闲小广场总面积最多为75亩．

21．解：

（1）m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，

故答案为：

8，0.35；

（2）补全图形如下：

（3）由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，

∴测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，

故答案为：

89.5～94.5．

（4）选手有4人，2名是男生，2名是女生．

，

恰好是一名男生和一名女生的概率为

＝

．

22．解：

（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，

∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，

∴GH＝0.2，

在Rt△AHE中，tan∠AEH＝

，

则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，

∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，

在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，

∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，

∴BD＝1.9a﹣0.2，

答：

小亮与塔底中心的距离BD（1.9a﹣0.2）米；

（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，

解得，a＝18，

则AG＝1.9a﹣0.2＝34.4，

∴AB＝AG+GB＝36.1，

答：

慈氏塔的高度AB为36.1米．

23．

（1）证明：

如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB，

由翻折可知：

∠DEF＝∠BEF，

∴∠BEF＝∠EFB，

∴BE＝BF．

（2）解：

如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．

∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，

∴AD＝BC＝7，AE＝2，

在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，

∴AB＝

＝

，

∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，

∴

•BF•EH＝

•BE•PM+

•BF•PN，

∵BE＝BF，

∴PM+PN＝EH＝

，

∵四边形PMQN是平行四边形，

∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2

．

（3）①证明：

如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．

∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，

∴AD＝BC＝a+b，

∴AE＝AD﹣DE＝b，

∴EH＝AB＝

，

∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，

∴

BE•PM﹣

•BF•PN＝

•BF•EH，

∵BE＝BF，

∴PM﹣PN＝EH＝

，

∵四边形PMQN是平行四边形，

∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝

．

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：

QM﹣QN＝PN﹣PM＝

．

24．解：

（1）当x＝﹣4时，y＝

×（﹣4）2+

×（﹣4）＝﹣4

∴点A坐标为（﹣4，﹣4）

当y＝﹣2时，

x2+

x＝﹣2

解得：

x1＝﹣1，x2＝﹣6

∵点A在点B的左侧

∴点B坐标为（﹣1，﹣2）

（2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B'作B'G⊥x轴于点G

∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2

∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'

∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°

∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°

∴∠B'OG＝∠OBE

在△B'OG与△OBE中

∴△B'OG≌△OBE（AAS）

∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1

∵点B'在第四象限

∴B'（2，﹣1）

同理可求得：

A'（4，﹣4）

∴OA＝OA'＝

∵抛物线F2：

y＝ax2+bx+4经过点A'、B'

∴

解得：

∴抛物线F2解析式为：

y＝

x2﹣3x+4

∴对称轴为直线：

x＝﹣

＝6

∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）

∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20

∵点A'在以OM为直径的圆上

∴∠OA'M＝90°

∴OA'2+A'M2＝OM2

∴（4

）2+m2+8m+20＝36+m2

解得：

m＝﹣2

∴A'M＝

∴S△OA'M＝

OA'•A'M＝

＝8

（3）在坐标轴上存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．

∵B'（2，﹣1）

∴直线OB'解析式为y＝﹣

x

解得：

（即为点B'）

∴C（8，﹣4）

∵A'（4，﹣4）

∴A'C∥x轴，A'C＝4

∴∠OA'C＝135°

∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°

∵A（﹣4，﹣4），即直线OA与x轴夹角为45°

∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似

∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2、图3）

①若△AOD∽△OA'C，则

＝1

∴OD＝A'C＝4

∴D（4，0）或（0，4）

②若△DOA∽△OA'C，则

∴OD＝

OA'＝8

∴D（8，0）或（0，8）

综上所述，点D坐标为（4，0）、（8，0）、（0，4）或（0，8）时，以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．