高一数学第二章测试题及答案解析.docx

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高一数学第二章测试题及答案解析

第二章单元测试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（　　）

A．相交　　B．平行C．异面D．平行或异面

2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（　　）

A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6

3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（　　）

A．平行　　B．相交　　C．垂直　　D．异面

4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（　　）A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°

5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（　　）

A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC.a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α

6．下面四个命题：

①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面；

②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；

③若a∥b，则a，b与c所成的角相等；

④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数为（　　）

A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1

7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：

①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD.

其中一定正确的有（　　）

A．①②　　　B．②③　　　C．②④　　　D．①④

8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（　　）A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b

B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b

C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β

D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b

9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（　　）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β

10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（　　）

A．－

B..

C.

D．－

11．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝

，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为（　　）A.

　　　B.

　　　C．0　　　D．－

12．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是（　　）

A．90°　　B．60°　C．45°　　D．30°

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）

13．下列图形可用符号表示为________．

14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．

15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.

16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；

④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的序号是________．

三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．

求证：

（1）平面AB1F1∥平面C1BF；

（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

18．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．

（1）证明：

CD⊥平面PAE；

（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．

19．（12分）如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2

，M为BC的中点．

（1）证明：

AM⊥PM；

（2）求二面角P－AM－D的大小．

20．（本小题满分12分）（2010·辽宁文，19）如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

（1）证明：

平面AB1C⊥平面A1BC1；

（2）设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．

21．（12分）如图，△ABC中，AC＝BC＝

AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．

（1）求证：

GF∥底面ABC；

（2）求证：

AC⊥平面EBC；

（3）求几何体ADEBC的体积V.

22．（12分）如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

（1）求证：

AC⊥BC1；

（2）求证：

AC1∥平面CDB1；

（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．

详解答案

1[答案]　D

2[答案]　C

[解析]　AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：

第一类与AB平行与CC1相交的有：

CD、C1D1

与CC1平行且与AB相交的有：

BB1、AA1，

第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．

3[答案]　C

[解析]　1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；

2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错；

3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．

无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．

4[答案]　D

[解析]　由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.

5[答案]　B

[解析]　对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．

6[答案]　D

[解析]　异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．

7[答案]　D

[解析]　如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．

8[答案]　D

[解析]　选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.

9[答案]　C

[解析]　如图所示：

AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.

10[答案]　

命题意图]　本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．

[解析]　首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFD1即为

异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到

＝DF＝D1F，DD1＝2，结合余弦定理得到结论．

11[答案]　C

[解析]　取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴∠AED为二面角A－BC－D的平面角

又AE＝ED＝

，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C.

12[答案]　B

[解析]　将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°.

13[答案]　α∩β＝AB

14[答案]　45°

[解析]　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC⊥AB，BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△BCC1是等腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.

15[答案]　9

[解析]　如下图所示，连接AC，BD，

则直线AB，CD确定一个平面ACBD.

∵α∥β，∴AC∥BD，

则

＝

，∴

＝

，解得SD＝9.

16[答案]　①②④

[解析]　如图所示，①取BD中点，E连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．

②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝

a.

由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，

∴△ACD是等边三角形，故②正确．

③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．

④分别取BC，AC的中点为M，N，

连接ME，NE，MN.

则MN∥AB，且MN＝

AB＝

a，

ME∥CD，且ME＝

CD＝

a，

∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．

在Rt△AEC中，AE＝CE＝

a，AC＝a，

∴NE＝

AC＝

a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．

17[证明]　

（1）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，

∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，

∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.

又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，

∴平面AB1F1∥平面C1BF.

（2）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.

又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，

∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，

∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.

18[解析]　

（1）如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.

又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.

而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

（2）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF.

由

（1）CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.

由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．

AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF，

因为sin∠PBA＝

，sin∠BPF＝

，所以PA＝BF.

由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.

在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以

BG＝

＝2

，BF＝

＝

＝

.于是PA＝BF＝

.

又梯形ABCD的面积为S＝

×（5＋3）×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为

V＝

×S×PA＝

×16×

＝

.

19[解析]　

（1）证明：

如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，

∵△PCD为正三角形，

∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝

.

∵平面PCD⊥平面ABCD，

∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM.

∵四边形ABCD是矩形，

∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝

，AM＝

，AE＝3，

∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.

又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM.

（2）解：

由

（1）可知EM⊥AM，PM⊥AM，

∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．

∴tan∠PME＝

＝

＝1，∴∠PME＝45°.

∴二面角P－AM－D的大小为45°.

20[解析]　

（1）因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，

又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，

所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C

所以平面AB1C⊥平面A1BC1.

（2）设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面

B1CD的交线．

因为A1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，所以A1B∥DE.

又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．

即A1DDC1＝1.

21[解]　

（1）证明：

连接AE，如下图所示．

∵ADEB为正方形，

∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，

又G是EC的中点，

∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，

∴GF∥平面ABC.

（2）证明：

∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，

又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，

∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.

又∵AC＝BC＝

AB，

∴CA2＋CB2＝AB2，

∴AC⊥BC.

又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.

（3）取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝

AB＝

，

∴CH⊥AB，且CH＝

，又平面ABED⊥平面ABC

∴GH⊥平面ABCD，∴V＝

×1×

＝

.

22[解析]　

（1）证明：

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.

又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.

∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.

（2）证明：

设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.

∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1.

（3）解：

∵DE∥AC1，

∴∠CED为AC1与B1C所成的角．

在△CED中，ED＝

AC1＝

，

CD＝

AB＝

，CE＝

CB1＝2

，

∴cos∠CED＝

＝

.

∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为

.