10初三奥数题.docx
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10初三奥数题
***初三奥数题，已知3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0，求……
已知实数a、b满足3a^2-10ab+8b^2+5a-10b=0，求u=9a^2+72b+2的最小值
答案：
分解因式（a-2b）（3a-4b）+5a-10b=0
即（a-2b）（3a-4b+5）=0
从而a=2b或4b=3a+5带入u就可做了。
a=2b的u=-34
4b=3a+5的u=11
即u最小为-34
***从1，2，3，4……2010这2010个正整数中，最多有多少个数，可以在这些数中任选三个数的乘积都能被33整除？
答案：
33的倍数共有60个
所以{3，11，33，66，99……1980,任意一个数}
所以最多63个数
***
（1）五位数abcde满足下列条件它的各位数都不为0
（2）它是一个完全平方数
（3）它的万位上的数字a和bcde都是完全平方数求所有满足上诉条件的5位数
***怎样的四个点可以共圆，初三奥数题
这题奥数题的答案说。
∠APB=∠BQR=90°，∴BQRP四点共圆，这是为什么？
？
这是因数四边形BQRP的两个对角BRP和PBQ的和是90°
依据是对角互补的四边形是圆内接四边形！
***如图，圆O中，AB,AC为切线分别切圆与D,E且BC过O点，F为弧DE上一点，过F作圆O的切线交AB,AC于M,N。
求证，△MBO∽OCN
答案：
少一个条件：
AB=AC（△MBO∽△OCN就意味着∠B=∠C，但是题目只说BC过O）
1）显然∠DOB=90°-∠B，∠EOC=90°-∠C，于是∠DOE=180°-（∠DOB+∠EOC）=∠B+∠C=2∠B
2）显然∠DOM=∠FOM，∠EON=∠FON，于是∠DOE=∠DOM+∠FOM+∠EON+∠FON=2（∠FOM+∠FON）=2∠MON
3）比较1）、2）的结论可知∠MON=∠B=∠C
4）根据3）的结论，以及∠BMO=∠OMN可知△MBO∽△MON
5）根据3）的结论，以及∠CNO=∠ONM可知△OCN∽△MON
6）由4）、5）的结论可知△MBO∽△OCN
证毕
***绝对值用（）表示。
y=（x-1）+（x-2）+……+（x-2003）取最小值是，实数x的值为？
？
？
答案：
显然当x=1002时y最小。
证明如下：
解：
y=[（x-1）+（x-2003）]+[（x-2）+（x-2002）]+...+[（x-1001）+（x-1003）]+（x-1002）
显然，当x=（1，2003）时[此时的（）表示区间],[（x-1）+（x-2003）]取最小值；
当x=（2，2002）时，[（x-2）+（x-2002）]取最小值；...
......
当x=（1001，1003）时，[（x-1001）+（x-1003）]取最小值；
当x=1002时，（x-1002）取最小值。
所以当y取最小值时，x满足x属于（1，2003）且x属于（2，2002）...且x属于（1001，1003），且x=1002.
所以此时x=1002
***a＜0，b≤0，c＞0，且√b2-4ac=b-2ac，求b2-4ac的最小值。
要过程！
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解：
∵√b²-4ac=b-2ac
∴两边平方得：
b²-4ac=（b-2ac）²
∴4a²c²+4abc-4ac=0
∵4ac≠0∴ac+b-1=0∴ac=1-b
∴b²-4ac=b²-4（1-b）=b²+4b-4=（b+2）²-8
∴当b=-2时，b²-4ac的最小值为-8
***已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a=0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是
要过程！
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详细点儿！
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解：
x^2+a2x+a=0
（x+a）^2-a^2+a=0
a^2+a=0a=0或a=-2
x+a=0x=-ax=2
不晓得作对没，错了给我说下，有正确的也给我说下
***a＜0，b≤0，c＞0，且√b2-4ac=b-2ac，求b2-4ac的最小值。
要过程！
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解：
∵√b²-4ac=b-2ac
∴两边平方得：
b²-4ac=（b-2ac）²
∴4a²c²+4abc-4ac=0
∵4ac≠0∴ac+b-1=0∴ac=1-b
∴b²-4ac=b²-4（1-b）=b²+4b-4=（b+2）²-8
∴当b=-2时，b²-4ac的最小值为-8
***绝对值用（）表示。
y=（x-1）+（x-2）+……+（x-2003）取最小值是，实数x的值为？
？
？
解：
显然当x=1002时y最小。
证明如下：
解：
y=[（x-1）+（x-2003）]+[（x-2）+（x-2002）]+...+[（x-1001）+（x-1003）]+（x-1002）
显然，当x=（1，2003）时[此时的（）表示区间],[（x-1）+（x-2003）]取最小值；
当x=（2，2002）时，[（x-2）+（x-2002）]取最小值；...
......
当x=（1001，1003）时，[（x-1001）+（x-1003）]取最小值；
当x=1002时，（x-1002）取最小值。
所以当y取最小值时，x满足x属于（1，2003）且x属于（2，2002）...且x属于（1001，1003），且x=1002.
所以此时x=1002
***已知a为实数，且使关于x的二次方程x2+a2x+a=0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是
要过程！
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详细点儿！
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解x^2+a2x+a=0
（x+a）^2-a^2+a=0
a^2+a=0a=0或a=-2
x+a=0x=-ax=2
不晓得作对没，错了给我说下，有正确的也给我说下
***a＜0，b≤0，c＞0，且√b2-4ac=b-2ac，求b2-4ac的最小值。
要过程！
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解：
∵√b²-4ac=b-2ac
∴两边平方得：
b²-4ac=（b-2ac）²
∴4a²c²+4abc-4ac=0
∵4ac≠0∴ac+b-1=0∴ac=1-b
∴b²-4ac=b²-4（1-b）=b²+4b-4=（b+2）²-8
∴当b=-2时，b²-4ac的最小值为-8
***锐角三角形ABC的三边是a，b，c，它的外心到二边的距离分别为m，n，p，那么m:
n:
p等于A1/a:
1/b:
1/cB.a:
b:
cC.cosA:
cosB:
cosCD.sinA:
sinB:
sinC
选择什么？
为什么？
解：
选择C
m=r*cosA，
n=r*cosB
P=r*cosC
***1讨论求二次函数y=x^+mx+m（-3<=x<=-1）的最小值
答案：
看图像，易知二次函数开口向上。
可根据对称轴的位置分三类讨论：
（1）对称轴在x=-3与x=-1之间，即-3<=-m/2<=-1,即-2<=m<=6。
此时最小值在x=-m/2时取到，代入得y（min）=m-（m^2）/4
（2）对称轴大于-1，即-m/2>-1,即m<2。
根据图像知此时最小值在x=-1时取到，代入得y（min）=1（3）对称轴小于-3，即-m/2<-3,即m>6。
同样根据图像知最小值在x=-3时取到，y（min）=9-2m
2.抛物线y=x^+px+q有一点M（Xo，Yo）位于x轴下方
（1）求证：
已知抛物线必与x轴有两个交点A（X1，0）B（X2,0）
其中X1（2）求证：
X1（3）当点M为（1，-1999）时求整数X1,X2
<=就是小于等于
答案：
2.
（1）配方：
y=（x+p/2）^2+q-（p^2）/4.将M（Xo,Yo）代入得Yo=（Xo+p/2）^2+q-（p^2）/4<0,所以q-（p^2）/4<0，即p^2>4q,由判别式知x^+px+q=0有两根
（2）设y=（x-x1）（x-x2）,将xo代入，则yo=（xo-x1）（xo-x2）<0，于是（xo-x1）>0且（xo-x2）<0，或（xo-x1）<0且（xo-x2）>0,因为x1***已知y=x^-绝对值（x）-12的图像与x轴两点A、B另一抛物线y=ax^+bx+c过点A、B顶点为PAPB是等腰直角三角形求a、b、c
答案：
当y=0时|x|²-|x|-12=0解得|x|1=4,|x|2=-3（舍去）
所以该函数与x轴的交点为A（-4,0）和B（4,0）
过P点作PC⊥AB与点C,因为P是顶点他在对称轴上所以PC垂直平分AB,满足APB是等腰三角形，要满足他是直角三角形则PC=二分之一AB=4（三角形一边上的中线等于这条边的一半是直角三角形）P在对称轴上则P（0,4）或P（0,-4）
若P（0,4）则该抛物线解析式为y=ax²+4，将B点代入得16a+4=0,a=-0.25
所以a=-0.25,b=0,c=4
若P（0,-4）则该抛物线解析式为y=ax²-4，将B点代入得16a-4=0,a=0.25
所以a=0.25,b=0,c=-4
***已知a+b+c=2,abc=4.
求（1.）a,b,c中最大数的最小值。
（2.）（a的绝对值+b的绝对值+c的绝对值）的最小值
我需要详细的过程，谢谢
答案：
不妨设a最大,
（1）由题意b+c=2-a,bc=4/a,故b,c是方程x^2-（2-a）x+4/a=0的两根
则△=（a-2）^2-4*4/a≥0
因a最大,必有a>0,去分母得a^3-4a^2+4a-16≥0,（a-4）（a^2+4）≥0
所以a≥4,即a,b,c,中最大者的最小值为4
（2）显然b,c均为负,|a|+|b|+|c|=a-b-c=2a-2,
当且仅当a取最小值4时,|a|+|b|+|c|最小,最小值为6
：
***已知4（x的平方）-2（根号2）mx+m=0关于X的两根是直角三角形两锐角的正弦求M的值并求两锐角已知：
2（sinA的平方）-5sinA*cosA+4（cosA的平方）=3A为锐角求tanA的值要详细过程
答案：
由题意，得x1^2+x^2=（x1+x2）^2-2x1x2=1x1+x2=（根号2）m/2,x1x2=m/4m^2/2-m/2=1,m^2-m-2=0，m=-1或2当m-1时，两根之和小于0，不满足所以m=2,方程的解是x=（根号2）/2所以两锐角都是45度。
2（sinA的平方）-5sinA*cosA+4（cosA的平方）=（2（sinA的平方）-5sinA*cosA+4（cosA的平方））/（sinA的平方+cosA的平方）=（2（tanA的平方）-5tanA+4）/（tanA的平方+1）=3所以2（tanA的平方）-5tanA+4=3tanA的平方+3tanA的平方+5tanA-1=0因为A为锐角所以tanA的值是（根号29-5）/
***如图ABC在l上且AB=2BC点M在l外角AMB=90度角BMC=45度求sinMBA的值（图在下面）
答案设：
BC=x,则AB=2x由斯特瓦尔特定理可得：
MB²=（MA²*BC+MC²*AB）/AC-AB*BC化简，得：
MA²-MC²=3x²再由正弦定理得：
BC/sin45°=MC/sinMBCAB/sin90°=AM/sinMBAsinMBA=sinMBC两式相除，得：
MA=根号2*MC结合上式：
MA=根号6*xsinMBA=MA/AB=（根号6）/2案：
***.已知4（x的平方）-2（根号2）mx+m=0关于X的两根是直角三角形两锐角的正弦求M的值并求两锐角
答案：
易知x1²+x2²=1由韦达定理知：
x1+x2=（根号2）/2*m①x1*x2=m/4②①²-2*②：
m²-m+2=0m1=2,m2=-1当m1=2时：
x1=x2=根号2/2所以两锐角皆为45°当m2=-1时：
x1=（根号2+根号6）/4x2=（根号2-根号6）/4所以两锐角为75°和15°
***.已知：
2（sinA的平方）-5sinA*cosA+4（cosA的平方）=3A为锐角求tanA的值
答案：
把右式的3化为3sinA²+3cosA²
化简，得：
-sinA²-5sinA*cosA+cosA²=0
然后有个很重要的技巧：
两边同除以cosA²
然后化简：
tanA²+5tanA-1=0
又因为A是锐角所以tanA=（-5+根号29）/2
***函数y=根号（x^2+9）+根号（x^2-8x+17）的最小值。
求过程
答案：
y=√（x²+9）+√[（（x-4）²+1]
可以看成是：
x轴上的点（x，0）到点（0，3）和到点（4，1）的距离和。
点（0，3）关于x轴的对称点为（0，-3）
点（0，-3）到点（4，1）的距离为最小值
=√（4²+4²）=4√2
***A、B、C、D四点共圆，另一圆圆心在AB上，且与四边形ABCD其余三边都相切，求证：
AD+BC=AB（AB和CD是对边）
答案：
这道题先画个图。
设出来∠B和∠C。
然后根据四点共圆说明对角和为180°。
因为圆心O向BC,CD,DA作的垂线的垂足设为E,F,G。
那么∠EOF+∠C=180°。
∠FOG+∠B=180°。
那么有∠EOF=∠A，∠FOG=∠D。
下面我设内切圆半径为r，一方面知道AB=AO+BO=r/sin∠A+r/sin∠D.
AD+BC=AG+GD+CF+EB而AG=rcot∠A,GD=rtan（1/2*∠D）,CF=rtan（1/2*∠A）,
EB=rcot∠D.这样用半角公式知道左边=右边。
证毕。
这是我直接的想法。
其实就是AO=AG+FC,BO=BE+DF。
当然可以转换成欧式几何的语言来说明，
将△OFC绕O点旋转，使得G与F'重合并且AG与旋转后的FC（F'C'）在一条直线上。
那么我们考虑△AOC'，∠OC'A=90°-1/2*∠A那么有AO=AO=AG+FC.同理
BO=BE+DF。
又由于DF=DG,CF=CE,所以有AB=AD+BC。
***△ABC中，角A=45度，D、E为AB的三等分点，a,b,c,分别为角A，角B，角C的对边，在AC上有一动点P，则DP，EP的距离和最小值为多少
答案：
过A点做AB的垂线L，可以在L上找到一点F，使得AF=AD。
显然AC是角DAB的角平分线，连接EF，与AC的交点即为所求的P点。
最短距离为（2/3*c）^2+（1/3*c）^2=5/9*c^2.再开方。
根号5/3*c即为最短距离。
***若|2008-x|+√（根号）x-2009=x求x-2008的二次方
答案：
若|2008-x|+√（x-2009）=x
求x-2008²
解：
要使√（x-2009）有意义
则：
x-2009≥0
故：
x≥2009
故：
|2008-x|=x-2008
因为：
|2008-x|+√（x-2009）=x
故：
x-2008+√（x-2009）=x
故：
√（x-2009）=2008
故：
x-2009=2008²
故：
x-2008²=2009
***关于x的一元二次方程x2-x+a（1-a）=0有两个不相等的正根则a可取值为？
答案：
解：
因为有两个不相等的实根
所以△>0
即1-4a（1-a）=（1-2a）^2>0
所以a≠0.5
又因为有不相等的正根
所以（1±|1-2a|）/2>0
即|1-2a|<1
解之，得0所以0***首项系数不相等的两个二次方程（a-1）x*x-（a*a+2）x+（a*a+2a）=0及（b-1）x*x-（b*b+2）x+（b*b+2b）=0（其中a、b为非负整数）有一个公共根.求a和b
答案：
方程1：
（a-1）x*x-（a*a+2）x+（a*a+2a）=[（a-1）x-（a+2）]（x-a）=0x=a或x=（a+2）/（a-1）=1+3/（a-1）同理方程2：
x=b或x=（b+2）/（b-1）=1+3/（b-1）因为两方程的首项系数不相等所以a≠b所以1+3/（a-1）≠1+3/（b-1）而两方程有公共根所以a=1+3/（b-1）或b=1+3/（a-1）由于对称性，我们只需考虑a=1+3/（b-1）即可又因为a、b为非负整数所以（b-1）|3所以b=2，4，0而b=0时，a=-2，不符合要求，舍弃所以a=2，b=4；a=4，b=2
***在三个等圆上上各自有一条劣弧AB,CD,EF,如果弧AB+弧CD=弧EF
那么AB+CD与EF的大小关系是什么求详细过程
答案：
把两个小狐拼到一起，就是大弧
于是有AB+CD>EF
因为三角形两边之和大于第三边嘛
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