2．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 图中阴影部分表示可行域，
要求可行域内包含y＝x－1上的点，只需要可行域的边界点（－m，m）在y＝x－1下方，也就是m<－m－1，即m<－.故选C.
3．（2017·山东日照一模）已知变量x，y满足
则z＝（）2x＋y的最大值为（ ）
A.B．2
C．2D．4
答案 D
解析 作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令m＝2x＋y，则当m取得最大值时，z＝（）2x＋y取得最大值．由图知直线m＝2x＋y经过点A（1,2）时，m取得最大值，所以zmax＝（）2×1＋2＝4，故选D.
4．已知实数x，y满足条件则
z＝|2x－3y＋4|的最大值为（ ）
A．3B．5
C．6D．8
答案 C
解析 不等式组
表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A（2,1），B（1，4）．设t＝2x－3y，平移直线y＝x，则直线经过点B时，t＝2x－3y取得最小值－10，直线经过点A时，t＝2x－3y取得最大值1，所以－6≤t＋4≤5，所以0≤z≤6.所以z的最大值为6，故选C.
5．（2018·石家庄质检）若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为（ ）
A.B.
C．1D．2
答案 D
解析 若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分别交于A（2,4），B，mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝，当m＝时，经检验不符合题意，故m＝2，选D.
6．若变量x，y满足约束条件则z＝（x－1）2＋y2的最大值为（ ）
A．4B.
C．17D．16
答案 C
解析 z＝（x－1）2＋y2表示点（x，y）与点P（1,0）间距离的平方．画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知P（1,0）与A（2,4）间的距离最大，因此zmax＝（2－1）2＋42＝17.故选C.
7．（2017·邢台模拟）当x，y满足不等式组时，－2≤kx－y≤2恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．[－1,1]B．[－2,0]
C.D.
答案 D
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z＝kx－y，由得
即B（－2,2），由得即C（2,0），由得即A（－5，－1），要使不等式－2≤kx－y≤2恒成立，则
即所以－≤k≤0，故选D.
8．（2018·南昌十校一模）已知不等式组
则z＝的最大值与最小值的比值为（ ）
A．－2B．－
C．－D．－
答案 C
解析 如图所示，不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分，易知z＝表示平面区域内的点与定点P（－1,0）连线的斜率．由可得故A（2,2），由可得故B（3，－1），数形结合知AP的斜率最大，此时z＝最大，故zmax＝；BP的斜率最小，zmin＝－.故z＝的最大值与最小值的比值为－，故选C.
9．（2017·江西模拟）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：
亩）分别为（ ）
A．50,0B．30,20
C．20,30D．0,50
答案 B
解析 设种植黄瓜x亩，种植韭菜y亩，因此，原问题转化为在条件
下，
求z＝0.55×4x＋0.3×6y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x，y取的交点B（30,20）时，z取得最大值．故选B.
10．（2018·石家庄质检）在平面直角坐标系中，不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝的最小值为（ ）
A．－1B．－
C.D．－
答案 D
解析
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知πr2＝π，解得r＝2.z＝＝1＋，表示可行域内的点与点P（－3,2）连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k（x＋3），即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0（舍去），所以zmin＝1－＝－，故选D.
二、填空题
11．（2018·银川质检）设x，y满足约束条件
则z＝2x－y的最大值为________．
答案 8
解析 画出不等式组
表示的可行域，如图中阴影部分所示，将z＝2x－y化为y＝2x－z，－z是直线y＝2x－z的纵截距，由
得
∴B的坐标为（5,2），则y＝2x－z过点B（5,2）时，z＝2x－y有最大值10－2＝8.
12．（2018·广州模拟）已知x，y满足约束条件
若z＝x－ay（a＞0）的最大值为4，则a＝________.
答案 3
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则A（2,0），B（－2，－2）．显然直线z＝x－ay过A时不能取得最大值4，若直线z＝x－ay过点B时取得最大值4，则－2＋2a＝4，解得a＝3，此时，目标函数为z＝x－3y，作出直线x－3y＝0，平移该直线，当直线经过点B时，截距最小，此时，z的最大值为4，满足条件．
13．（2017·山西五校3月联考）不等式组表示的平面区域为Ω，直线x＝a（a＞1）将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z＝ax＋y的最大值为________．
答案 9
解析 如图，平面区域Ω为△ABC及其内部，作直线x＝a（114．（2017·河北衡水中学3月模拟）已知点P（x，y）的坐标满足则的取值范围为________．
答案 （－，1]
解析 解法一：
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B（－1，－1），C（0,1）．
设A（1,1），P（x，y），向量，的夹角为θ，
∵·＝x＋y，||＝，
∴cosθ＝＝＝×，
由图可知∠AOC≤θ＜∠AOB，
即45°≤θ＜180°，
∴－1＜cosθ≤，
即－1＜×≤，
∴－＜≤1.
解法二：
作出不等式组
表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
其中B（－1，－1），C（0,1），
设P（x，y），θ＝∠POx，则
＝cosθ，＝sinθ.θ∈，
∴＝cosθ＋sinθ＝sin.
∵θ∈，
∴θ＋∈，
∴sin∈.
∴∈（－，1]．
三、解答题
15．某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲，乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
解 设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z＝1600x＋2400y.由题意，得x，y满足约束条件
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为
P（5,12），Q（7,14），R（15,6）．
由图可知当直线z＝1600x＋2400y经过可行域的点P时，直线z＝1600x＋2400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．
16．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
并求出此最大利润．
解
（1）由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
（2）设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为（20,24）．所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
答：
生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
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