数值分析讲义优选.docx
《数值分析讲义优选.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析讲义优选.docx（43页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数值分析讲义优选
第1章数值分析中的误差
一、重点内容
误差设精确值x*的近似值x，差e＝x－x*称为近似值x的误差（绝对误差）。
误差限近似值x的误差限ε是误差e的一个上界，即|e|＝|x－x*|≤ε。
相对误差er是误差e与精确值x*的比值，
。
常用
计算。
相对误差限
是相对误差的最大限度，
，常用
计算相对误差限。
绝对误差的运算：
ε（x1±x2）＝ε（x1）＋ε（x2）
ε（x1x2）≈|x1|ε（x2）＋|x2|ε（x1）
有效数字如果近似值x的误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说x准确到该位。
从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字。
关于有效数字：
（1）设精确值x*的近似值x，
x＝±0.a1a2…an×10m
a1，a2，…，an是0～9之中的自然数，且a1≠0，
|x－x*|≤ε＝0.5×10m－l，1≤l≤n
则x有l位有效数字.
（2）设近似值x＝±0.a1a2…an×10m有n位有效数字，则其相对误差限
（3）设近似值x＝±0.a1a2…an×10m的相对误差限不大于
则它至少有n位有效数字。
（4）要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4位小数。
一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926的数x＝20.7426只有三位准确数字2，0，7。
一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10%的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1%的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1%的量级。
二、实例
例1 设x*＝π＝3.1415926…
近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有
|x－x*|＝0.001526…≤0.5×101－3
即l＝3，故x＝3.14有3位有效数字。
x＝3.14准确到小数点后第2位。
又近似值x＝3.1416，它的误差是0.0000074…，有
|x－x*|＝0.0000074…≤0.5×101－5
即m＝1，l＝5，x＝3.1416有5位有效数字。
而近似值x＝3.1415，它的误差是0.0000926…，有
|x－x*|＝0.0000926…≤0.5×101－4
即m＝1，l＝4，x＝3.1415有4位有效数字。
这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有s位或s－1位有效数字。
例2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：
2.0004－0.0020090009000.00
解因为x1＝2.0004＝0.20004×101，它的误差限0.00005＝0.5×101―5，即m＝1，l＝5，故x1＝2.0004有5位有效数字。
相对误差限
。
x2＝－0.00200，误差限0.000005，因为m＝－2，l＝3，x2＝－0.00200有3位有效数字。
相对误差限εr＝0.000005/0.00200＝0.25%。
x3＝9000，绝对误差限为0.5，因为m＝4，l＝4，x3＝9000有4位有效数字，相对误差限εr＝0.5/9000＝0.0056%。
x4＝9000.00，绝对误差限0.005，因为m＝4，l＝6，x4＝9000.00有6位有效数字，相对误差限为εr＝0.005/9000.00＝0.000056%。
由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。
例3ln2＝0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？
解精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。
ln2≈0.693。
三、练习题
1.设某数x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是。
2.设某数x*，它的精确到10－4的近似值应取小数点后位。
3.（）的3位有效数字是0.236×102。
（A）235.54×10－1（B）235.418
（C）2354.82×10－2（D）0.0023549×103
4.设a*＝2.718181828…，取a＝2.718，则有（），称a有四位有效数字。
（A）|a－a*|≤0.5×10－4（B）|a－a*|≤0.5×101－4
（C）|a－a*|≤10－4（D）|a－a*|≤0.0003
5.设某数x*，对其进行四舍五入的近似值是（），则它有3位有效数字，绝对误差限是0.5×10－4。
（A）0.315（B）0.03150（C）0.0315（D）0.00315
6.以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为0.25×10－3。
（A）0.01234（B）–12.34（C）–2.20（D）0.2200
7.将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。
（1）2.1514
（2）－392.85（3）0.003922
8.已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：
（1）13267er＝0.1%
（2）0.896er＝10%
9.已知各近似值及其绝对误差，试确定各数的有效位数。
（1）0.3941e＝0.25×10－2
（2）293.481e＝0.1
（3）0.00381e＝0.1×10－4
10.已知各近似值及其相对误差，试确定各数的有效位数。
（1）1.8921er＝0.1×10－2
（2）22.351er＝0.15
（3）48361er＝1%
四、练习题答案
1．该数有效数字第四位的一半。
2.五3.（A） 4.（B）5.（C）6.（D）
7.
（1）2.15,e＝－0.14×10－2，er＝0.65×10－3；
（2）－393，
e＝－0.15，er＝0.38×10－3；（3）0.00392，e＝－0.2×10－5，er＝
0.51×10－3
8.
（1）e＝0.13×102；
（2）0.9×10－1
9.
（1）2；
（2）3；（3）2
10.
（1）3；
（2）1；（3）2
第15章线性方程组的数值解法
一、重点内容
1.高斯顺序消去法
解线性方程组AX＝b，对增广矩阵
顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。
要求作初等行变换消元过程中，
。
注意：
本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。
2.高斯列主元消去法
在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元
，
（k＝1，2，3，…，n－1）
把第r行作为主方程，做第k次消元。
把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。
3.雅可比迭代法（简单迭代法）
解线性方程组AX＝b的雅可比迭代法公式为
（k＝0，1，2，…）
4.高斯――赛德尔迭代法
解线性方程组AX＝b的高斯――赛德尔迭代法公式为
（i＝1，2，…，n；k＝0，1，2，…）
5．解的收敛性定理
【定理1】高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AX＝b能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0。
【定理4】（迭代法基本定理）
设线性方程组X＝BX＋f对于任意初始向量X（0）及任意f，对应此方程组的迭代公式X（k＋1）＝B（k）X＋f收敛的充分必要条件是
其中λi（i＝1，2，…，n）为迭代矩阵B的特征根。
当λi为复数时，|λi|表示λi的模。
【定理6】（迭代法收敛的充分条件）设线性方程组AX＝b，
（1）若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法收敛；
（2）若A为对称正定矩阵，则高斯――赛德尔迭代法收敛。
注：
设矩阵A＝[aij]n，若
则称矩阵A是严格对角占优矩阵。
二、实例
例1用顺序消去法解线性方程组
解顺序消元
于是有同解方程组
回代得解
x3＝－1，x2＝1，x1＝1，原线性方程组的解为X＝（1，1，－1）T。
例2取初始向量X（0）＝（0，0，0）T，用雅可比迭代法求解线性方程组
解建立迭代格式
（k＝1，2，3，…）
第1次迭代，k＝0
X（0）＝0，得到X
（1）＝（1，3，5）T
第2次迭代，k＝1
X
（2）＝（5，－3，－3）T
第3次迭代，k＝2
X（3）＝（1，1，1）T
第4次迭代，k＝3
X（4）＝（1，1，1）T
例3填空选择题：
1.用高斯列主元消去法解线性方程组
作第1次消元后的第2，3个方程分别为。
解选a21＝2为主元，作行互换，第1个方程变为：
2x1＋2x2＋3x3＝3，消元得到
是应填写的内容。
2.用选主元的方法解线性方程组AX＝b，是为了（）
（A）提高计算速度（B）减少舍入误差
（C）减少相对误差（D）方便计算
答案：
选择（B）
3.用高斯――赛德尔迭代法解线性方程组
的迭代格式中
＝（k＝0，1，2，…）
答案：
解答：
高斯――赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用x1的新值。
4.当a（）时，线性方程组
的迭代解一定收敛。
（A）＞6（B）＝6（C）＜6（D）＞6或＜－6
答案：
（D）
解答：
当|a|＞6时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由教材第10章定理6，迭代解一定收敛。
三、练习题
1.用高斯列主元消去法解线性方程组
2.用高斯――赛德尔迭代法求解线性方程组
取初始值（4.67，7.62，9.05）T，求二次迭代值。
3.证明线性方程组
的迭代解收敛。
4.用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是
5.用列主元消去法解线性方程组
，第1次消元，选择主元为（）
（A）3（B）4（C）－4（D）－9
四、练习题答案
1.X＝（－4，1，2）T
2.（4.66619，7.61898，9.04753）T
3.提示：
系数矩阵是严格对角占优矩阵。
4.线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为0。
5.（C）
第2章函数插值与最小二乘拟合
一、重点内容
1.函数插值
已知函数f（x）的n个函数值yk＝f（xk），k＝0，1，2，…，n。
构造一个多项式P（x），使得P（xk）＝yk。
P（x）就是插值多项式，f（x）就是被插函数，xk就是插值节点。
误差R（x）＝f（x）－P（x）。
2.拉格朗日多项式
称n次多项式Pn（x）＝y0l0＋y1l1＋…＋ynln＝
为拉格朗日插值多项式，其中基函数
（i＝0，1，2，…，n）
当n＝1时，线性插值P1（x）＝yklk（x）＋yk+1lk+1（x）
其中基函数
。
当n＝2时，得到二次多项式，就是二次插值。
拉格朗日插值多项式的余项为:
其中ξ∈（a，b）
注意：
过n＋1个互异点，所得的多项式应该是次数不超过n的多项式。
3.均差与牛顿插值多项式
函数值与自变量的差商就是均差，
一阶均差
（或记作f[x0，x1]）；
二阶均差
（或记作f[x0，x1，x2]）
均差有两条常用性质：
（1）均差用函数值的线性组合表示；
（2）均差与插值节点顺序无关。
用均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式
Nn（x）＝f（x0）＋f[x0，x1]（x－x0）＋f[x0，x1，x2]（x－x0）（x－x1）＋
…＋f[x0，x1，x2，…，xn]（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn-1）
牛顿插值多项式的余项为：
Rn（x）＝f（x）－Nn（x）
＝f[x，x0，x1，x2，…，xn]（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）
4.分段线性插值
已知n＋1个互异节点x0，x1，…，xn构造一个分段一次的多项式P（x），且满足：
（1）P（x）在[a，b]上连续；
（2）P（xk）＝yk（k＝0，1，2，…，n）；（3）P（x）在[xk，xk+1]上是线性函数。
分段线性插值函数
其中lk（x）（k＝0，1，2，…，n）是分段线性插值基函数。
（i＝1，2，…，n－1）
5.三次样条插值函数
（k＝0，1，2，…，n－1）（xk≤x≤xk＋1）
其中S"（xk）＝mk（k＝0，1，2，…，n），hk＝xk+1－xk（k＝0，1，2，…，n－1），m0，m1，…，mn满足的方程组是
（*）
其中：
，
（k＝1，2，…，n－1）
（1）当已知S'（x0）＝y'0，S'（xn）＝y'n时，（*）式中μ0＝1，λn＝1，
（2）当已知S"（x0）＝y"0＝m0，S"（xn）＝y"n＝mn时，（*）式化为
6.最小二乘法
用ϕ（x）拟合数据（xk，yk）（k＝1，2，…，n），使得误差的平方和
为最小，求ϕ（x）的方法，称为最小二乘法。
（1）直线拟合若
，a0，a1满足法方程组
（2）二次多项式拟合若
，a0，a1，a2满足法方程组
二、实例
例1已知函数y＝f（x）的观察数据为
xk
－2
0
4
5
yk
5
1
－3
1
试构造拉格朗日多项式Pn（x），并计算P（－1）。
[只给4对数据，求得的多项式不超过3次]
解先构造基函数
所求三次多项式为
P3（x）=
＝
P3（－1）＝
例2已知函数y＝f（x）的数据如表中第1，2列。
计算它的各阶均差。
解依据均差计算公式，结果列表中。
k
xk
f（xk）
一阶均差
二阶均差
三阶均差
四阶均差
0
0.40
0.41075
1
0.55
0.57815
1.11600
2
0.65
0.69675
1.16800
0.28000
3
0.80
0.88811
1.27573
0.35893
0.19733
4
0.90
1.20152
1.38410
0.43348
0.21300
0.03134
计算公式为
一阶均差
（k＝0，1，2，3）
二阶均差
（k＝0，1，2）
三阶均差
（k＝0，1）
四阶均差
例3设x0，x1，x2，…，xn是n＋1个互异的插值节点，lk（x）（k＝0，1，2，…，n）是拉格朗日插值基函数，证明：
（1）
；
（2）
（m＝0，1，2，…，n）
证明
（1）Pn（x）＝y0l0＋y1l1＋…＋ynln＝
∴
当f（x）≡1时，
1＝
由于
，故有
（2）对于f（x）＝xm，m＝0，1，2，…，n，对固定xm（0≤m≤n），作拉格朗日插值多项式，有
当n＞m－1时，f（n+1）（x）＝0，Rn（x）＝0，所以
注意：
对于次数不超过n的多项式
，
利用上结果，有
=
=
可见，Qn（x）的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n＋1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。
例4已知函数e－x的下列数据，用分段线性插值法求x＝0.2的近似值。
x
0.10
0.15
0.25
0.30
e－x
0.904837
0.860708
0.778801
0.740818
解用分段线性插值，先求基函数。
所求分段线性插值函数为
所以，e－0.2＝P（0.2）＝－0.81907×0.2＋0.983569＝0.819755
例5已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。
解计算列入表中。
k
xk
yk
xkyk
1
1
4
1
4
2
2
4.5
4
9
3
3
6
9
18
4
4
8
16
32
5
5
8.5
25
42.5
∑
15
31
55
105.5
n＝5。
a0，a1满足的法方程组是
解得a0＝2.45，a1＝1.25。
所求拟合直线方程为y＝2.45＋1.25x
例6选择填空题
1.设y＝f（x），只要x0，x1，x2是互不相同的3个值，那么满足P（xk）＝yk（k＝0，1，2）的f（x）的插值多项式P（x）是（就唯一性回答问题）
答案：
唯一的
解答：
因为过3个互异节点，插值多项式是不超过2次的。
设P（x）＝a2x2＋a1x＋a0，其中a2，a1，a0是待定数。
P（xk）＝yk，即
这是关于a2，a1，a0的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式
所以，不超过2次的多项式是唯一的。
2.通过四个互异节点的插值多项式P（x），只要满足（）,则P（x）是不超过一次多项式。
（A）初始值y0＝0（B）一阶均差为0
（C）二阶均差为0（D）三阶均差为0
答案：
（C）
解答：
因为二阶均差为0，那么牛顿插值多项式为N（x）＝f（x0）＋f[x0，x1]（x－x0）
它是不超过一次的多项式。
3.拉格朗日插值多项式的余项是（），牛顿插值多项式的余项是（）
（A）
（B）f[x，x0，x1，x2，…，xn]（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）
（C）
（D）f[x，x0，x1，x2，…，xn]（x－x0）（x－x1）（x－x2）…（x－xn－1）（x－xn）
答案：
（A），（D）。
见教材有关公式。
4.数据拟合的直线方程为y＝a0＋a1x，如果记
那么系数a0，a1满足的方程组是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：
（B）
解答：
因为法方程组为
由第1个方程得到
，将其代入第2个方程得到
整理得
故（B）正确。
三、练习题
1.已知函数y＝f（x），过点（2，5），（5，9），那么f（x）的线性插值多项式的基函数为。
2.过6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数l4（x）＝。
3.已知多项式P（x），过点（0，0），（2，8），（4，64），（11，1331），（15，3375），它的3阶均差为常数1，一阶，二阶均差均不为0，那么P（x）是（）
（A）二次多项式（B）不超过二次的多项式（C）三次多项式（D）四次多项式
4.已知y＝f（x）的均差
，
，
，
。
那么f[x4，x2，x0]＝（）
（A）5（B）9（C）14（D）8
5.求数据拟合的直线方程y＝a0＋a1x的系数a0，a1是使最小。
6.求过这三个点（0，1），（1，2），（2，3）的拉格朗日插值多项式。
7.构造例2的函数f（x）的牛顿插值多项式，并求f（0.596）的近似值。
8.设l0（x）是以n＋1个互异点x0，x1，x2，…，xn为节点的格朗日插值基函数
试证明：
9.已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。
x
1
2
3
y
2
4
12
y'
1
－1
10.已知数据对（7，3.1），（8，4.9），（9，5.3），（10，5.8），（11，6.1），（12，6.4），（13，5.9）。
试用二次多项式拟合这组数据。
四、练习题答案
1.
2.
3.C4.B 5.
6.x＋1
7.给定五对点，牛顿多项式是不超过4次的多项式。
N4（x）＝0.41075＋1.11600（x－0.40）＋0.28000（x－0.40）（x－0.55）
＋0.19733（x－0.40）（x－0.55）（x－0.65）
＋0.03134（x－0.40）（x－0.55）（x－0.65）（x－0.80）
将x＝0.596代入牛顿多项式N4（x）中，得到：
f（0.596）≈N（0.596）＝0.63192
8.提示：
求l0（x）的牛顿插值多项式。
9.
10.y＝－0.145x2＋3.324x－12.794
第4章数值积分与微分
一、重点内容
1.m次代数精度求积公式
对于任意不超过m次的代数多项式都准确成立，而对某一个m＋1次代数多项式不成立。
2.牛顿――科茨求积公式：
截断误差
（1）科茨系数：
（k＝0，1，2，…，n），有两条性质。
（2）牛顿――科茨求积公式的求积系数：
Ak＝
（k＝0，1，2，…，n）
（3）常见牛顿――科茨求积公式
梯形公式
截断误差：
R1[f]＝
复化梯形公式
截断误差：
，M2＝
抛物线公式
复化抛物线公式
升级会员 