第三章逻辑代数基础作业题参考答案.docx
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第三章逻辑代数基础作业题参考答案
第三章逻辑代数基础
（BasisofLogicAlgebra）
1．知识要点
逻辑代数（LogicAlgebra）的公理、定理及其在逻辑代数化简时的作用；逻辑函数的表达形式及相互转换；最小项（Minterm）和最大项（Maxterm）的基本概念和性质；利用卡诺图（KarnaughMaps）化简逻辑函数的方法。
重点：
1．逻辑代数的公理（Axioms）、定理（Theorems），正负逻辑（PositiveLogic,NegativeLogic）的概念与对偶关系（DualityTheorems）、反演关系（ComplementTheorems）、香农展开定理，及其在逻辑代数化简时的作用；
2．逻辑函数的表达形式：
积之和与和之积标准型、真值表（TruthTable）、卡诺图（KarnaughMaps）、最小逻辑表达式之间的关系及相互转换；
3．最小项（Minterm）和最大项（Maxterm）的基本概念和性质；
4．利用卡诺图化简逻辑函数的方法。
难点：
利用卡诺图对逻辑函数进行化简与运算的方法
（1）正逻辑（PositiveLogic）、负逻辑（NegativeLogic）的概念以及两者之间的关系。
数字电路中用电压的高低表示逻辑值1和0，将代数中低电压（一般为参考地0V）附近的信号称为低电平，将代数中高电压（一般为电源电压）附近的信号称为高电平。
以高电平表示1，低电平表示0，实现的逻辑关系称为正逻辑（PositiveLogic），相反，以高电平表示0，低电平表示1，实现的逻辑关系称为负逻辑（NegativeLogic），两者之间的逻辑关系为对偶关系。
（2）逻辑函数的标准表达式
积之和标准形式（又称为标准和、最小项和式）：
每个与项都是最小项的与或表达式。
和之积标准形式（又称为标准积、最大项积式）：
每个或项都是最大项的或与表达式。
逻辑函数的表达形式具有多样性，但标准形式是唯一的，它们和真值表之间有严格的对应关系。
由真值表得到标准和的具体方法是：
找出真值表中函数值为1的变量取值组合，每一组变量组合对应一个最小项（变量值为1的对应原变量，变量值为0的对应反变量），将这些最小项相或，即得到标准和表达式。
由真值表得到标准积的具体方法是：
找出真值表中函数值为0的变量取值组合，每一组变量组合对应一个最大项（变量值为1的对应反变量，变量值为0的对应原变量），将这些最大项相与，即得到标准积表达式。
每个真值表所对应的标准和与标准积表达方式是唯一的。
（3）利用卡诺图化简逻辑函数
卡诺图是真值表的图形表示，利用卡诺图对逻辑函数进行化简的原理是反复使用公式AB+AB′=A，对应到卡诺图上，即为相邻的小方格可以合并。
通常：
2个相邻的方格可以合并，并可消去1个变量；4个相邻的方格可以合并，并可消去2个变量；8个相邻的方格可以合并，并可消去3个变量……
在相邻方格合并的过程中，通常采用画圈的方法进行标记。
利用卡诺图化简，圈1的结果是得到最简和的表达式，圈0的结果是得到最简积的表达式。
利用卡诺图化简的步骤（以最简和为例）：
①填卡诺图；
②找出全部质主蕴含项；
③找到奇异1单元，圈出对应的质主蕴含项；
④若未圈完所有1方格，则从剩余的主蕴含项中找出最简的；
⑤写出各圈所对应的与项表达式（取值发生变化的变量不写，取值无变化的变量保留，取值为0写反变量，取值为1写原变量）。
⑥将所得到的与项相或，即为化简结果。
化简的原则是：
圈1不圈0，1至少圈1次，圈数越少越好，圈越大越好。
（4）利用卡诺图对逻辑函数进行运算
利用卡诺图可以完成逻辑函数的逻辑加（或）、逻辑乘（与）、反演（非）、异或等运算。
进行这些运算时，要求参加运算的两个卡诺图具有相同的维数（即变量数相同）。
①卡诺图相加
两函数做逻辑加（或）运算时，只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按逻辑加的规则相或，而得到的卡诺图应包含每个相加卡诺图所出现的全部1项。
②卡诺图相乘
两函数做逻辑乘（与）运算时，只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按逻辑乘的规则相与，所得到的卡诺图中的1方格，是参加相乘的卡诺图中都包含的1格。
③反演
卡诺图的反演（非），是将函数F的卡诺图中各个为1的方格变换为0，将各个为0的方格变换为1。
④卡诺图异或
两函数做异或运算，只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按异或运算的规则进行运算，所得到的卡诺图中的1方格，是进行异或运算的卡诺图中取值不同的方格。
2．Exercises
Provetheorems（X+Y）（X+Z）=X+Y·Zusingperfectinduction.
IfX=0,Left=（0+Y）（0+Z）=Y·ZRight=0+Y·Z=Y·Z∴Left=Right
IfX=1,Left=（1+Y）（1+Z）=1·1=1Right=1+Y·Z=1∴Left=Right
AccordingtoDeMorgan’stheorem,thecomplementofWX+YZisW′+X′Y′+Z′.Yetbothfunctionsare1forWXYZ=1110.Howcanbothafunctionanditscomplementbe1forthesameinputcombinationWhat’swronghere
Themistakeisthattheoriginaloperationpriorityhasbeenchanged.
ThecomplementofWX+YZshouldbe（W′+X′）（Y′+Z′）
Usethetheoremsofswitchingalgebratosimplifyeachofthefollowinglogicfunctions:
（1）F=WXYZ（WXYZ′+WX′YZ+W′XYZ+WXY′Z）
（2）F=AB+ABC′D+ABDE′+A′BC′E+A′B′C′E
（3）F=MRP+QO′R′+MN+ONM+QPMO′
（1）F=W·X·Y·Z·（W·X·Y·Z'+W·X'·Y·Z+W'·X·Y·Z+W·X·Y'·Z）
=W·X·Y·Z·W·X·Y·Z'+W·X·Y·Z·W·X'·Y·Z+W·X·Y·Z·W'·X·Y·Z+W·X·Y·Z·W·X·Y'·Z
=0
（2）F=A·B·（1+C'·D+D·E'）+A'·C'·E·（B+B'）=A·B+A'·C'·E
（3）F=M·R·P+Q·O'·R'+M·N+Q·P·M·O'=M·P·R+Q·O'·R'+M·P·Q·O'+M·N=M·P·R+Q·O'·R'+M·N
Writethetruthtableforeachofthefollowinglogicfunctions:
（1）F=AB′+B′C+CD′+CA′
（2）F=（A′+B+C′）（A′+B′+D）（B+C+D′）（A+B+C+D）
（3）F=AB+AB′C′+A′BC
（4）F=XY′+YZ+Z′X
（1）
A
B
C
D
F
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
（2）
A
B
C
D
F
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
（3）
A
B
C
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
（4）
X
Y
Z
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Writethecanonicalsumandproductforeachofthefollowinglogicfunctions:
（1）F
（2）F=
（3）F=
（4）F=A′B+B′C+A
（1）F=∑X,Y（1,2）=X'·Y+X·Y'（标准和）
=∏X,Y（0,3）=（X+Y）·（X'+Y'）（标准积）
（2）F=∏A,B（0,1,2）=（A+B）·（A+B'）·（A'+B）（标准积）
=∑A,B（3）=A·B（标准和）
（3）F=∑A,B,C,D（1,2,5,6）=A'·B'·C'·D+A'·B'·C·D'+A'·B·C'·D+A'·B·C·D'（标准和）
=∏A,B,C,D（0,3,4,7,8,9,10,11,12,13,14,15）
=（A+B+C+D）·（A+B+C'+D'）·（A+B'+C+D）·（A+B'+C'+D'）·（A'+B+C+D）·（A'+B+C+D'）·（A'+B+C'+D）（A'+B+C'+D'）·（A'+B'+C+D）·（A'+B'+C+D'）·（A'+B'+C'+D）·（A'+B'+C'+D'）（标准积）
（4）F=A'·B+B'·C+A=A'·B·（C+C'）+（A+A'）·B'·C+A·（B+B'）·（C+C'）
=A'·B·C+A'·B·C'+A·B'·C+A'·B'·C+A·B·C+A·B·C'+A·B'·C+A·B'·C'
=A'·B·C+A'·B·C'+A·B'·C+A'·B'C+A·B·C+A·B·C'+A·B'C'（标准和）
F=A'·B+B'·C+A=A+B+C（标准积）
Ifthecanonicalsumforann-inputlogicfunctionisalsoaminimalsum,howmanyliteralsareineachproducttermofthesumMighttherebeanyotherminimalsumsinthiscase
若某函数的标准和也是最小和，说明其卡诺图中的1都不相邻，无法合并。
此时，标准和=最小和=完全和，其和式中的乘积项必有n个变量，无法化简。
UsingKarnaughmaps,findaminimalsum-of-productsexpressionforeachofthefollowinglogicfunctions.Indicatethedistinguished1-cellsineachmap.
（1）F=
（2）F=
（3）F=
（4）F=
（1）
F=
00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
1
Z
XY
F=X·Y+Z（图中灰色块为奇异1单元）
（2）
F=
F=B+A·D'+A'·C·D（图中灰色块为奇异1单元）
（3）
F=
F=XY’+XZ’+W’Y’Z+WX’YZ（图中灰色块为奇异1单元）
（4）
F=
00
01
11
10
0
0
0
1
0
0
C
AB
F=AB’+B’C’+A’BC（图中灰色块为奇异1单元）
Provethat（X+Y）（X′+Z）=XZ+X′Ywithoutusingperfectinduction.
Showthatann-inputANDgatecanbereplacedbyn12-inputANDgates.CanthesamestatementbemadeforNANDgatesJustifyyouranswer.
（1）证明与门的情况
考察：
2输入与门表达式：
F2=In1·In2（共1个2输入与门）
3输入与门表达式：
F3=In1·In2·In3=F2·In3（共2个2输入与门）
则n输入与门表达式：
Fn=In1·In2·In3·...Inn=Fn-1·Inn（比Fn-1增加1个2输入与门）
∴n输入与门可以用n-1个2输入与门来实现。
（2）证明与非门的情况
考察三输入与非门的实现：
用一个3输入与非门实现：
F3=（In1·In2·In3）'=（In1·In2）'+In3'
用2个2输入与非门实现：
G3=（（In1·In2）'·In3）'=In1·In2+In3'
∵F3≠G3
∴n输入与非门不可以用n-1个2输入与非门来实现。
Rewritethefollowingexpressionusingasfewinversionsaspossible（complementedparenthesesareallowed）:
B′C+ACD′+A′C+EB′+E（A+C）（A′+D′）
Proveordisprovethefollowingpropositions:
（1）LetAandBbeswitching-algebravariables.ThenAB=0andA+B=1impliesthatA=B′.
（2）LetXandYbeswitching-algebraexpressions.ThenXY=0andX+Y=1impliesthatX=Y′.
（1）
（2）
Whatisthelogicfunctionofa2-inputXNORgatewhoseinputsaretiedtogetherHowmighttheoutputbehaviordifferfromarealXNORgateGivetheanswerbasedonthepointofviewofswitchingalgebra.
F=A⊙B=A·B+A'·B'可见，当输入A和B相同时，输出F为1，否则为0。
若A=B，则F=A⊙A=A·A+A'·A'=A+A'=1（T3',T5）可见，无论输入A为0或1，F恒等于1。
Anysetoflogic-gatetypesthatcanrealizeanylogicfunctioniscalledacompletesetoflogicgates.Forexample,2-inputANDgates,2-inputORgates,andinvertersareacompleteset,becauseanylogicfunctioncanbeexpressedasasumofproductsofvariablesandtheircomplements,andANDandORgateswithanynumberofinputscanbemadefrom2-inputgates.Do2-inputNANDgatesformacompletesetoflogicgatesProveyouranswer.
2输入与非门可以构成逻辑门的完备集。
如下图所示，1个与非门可构成1个非门，1个与非门加1个非门可构成1个与门，2个非门加1个与非门可构成1个或门，从而可构成“与、或、非”完备集。
Somepeoplethinkthattherearefourbasiclogicfunctions,AND,OR,NOT,andBUT.FigureX3-1isapossiblesymbolfora4-input,2-outputBUTgate.Inventauseful,nontrivialfunctionfortheBUTgatetoperform.Thefunctionshouldhavesomethingtodowiththename（BUT）.Keepinmindthat,duetothesymmetryofthesymbol,thefunctionshouldbesymmetricwithrespecttotheAandBinputsofeachsectionandwithrespecttosections1and2.DescribeyourBUT’sfunctionandwriteitstruthtable.
FigureX3-1logiccircuitofexercise
【注】图中的符号不是两个“与门”符号，而是BUT门的首字母“B”。
关于BUT的描述可以有多种，须满足输入A和B对称（可互换），部分1和部分2对称（可互换）。
比如：
当A1和B1同时为1，但A2和B2不同时为1时，Z1为1，其他情况Z1为0。
当A2和B2同时为1，但A1和B1不同时为1时，Z2为1，其他情况Z1为0。
A1
B1
A2
B2
Z1
Z2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
WritelogicexpressionsfortheZ1andZ2outputsoftheBUTgateyoudesignedintheprecedingexercise,anddrawacorrespondinglogicdiagramusingANDgates,ORgates,andinverters.
Z1=A1·B1·A2'+A1·B1·B2'
=（（A1·B1·A2'）'·（A1·B1·B2'）'）'（与非-与非结构）
Z2=A2·B2·A1'+A2·B2·B1'
=（（A2·B2·A1'）'·（A2·B2·B1'）'）'（与非-与非结构）
参照教材中74系列的图来选择器件，逻辑电路图如下：
3.16Aself-duallogicfunctionisafunctionFsuchthatF=FDWhichofthefollowingfunctionsareself-dual
（1）F=X
（2）F=
（3）F=X′YZ′+XY′Z′+XY
（1）F=X=FD∴F是自对偶函数
（2）∵F=∑X,Y,Z（1,2,5,7）
∴FD=∏X,Y,Z（0,2,5,6）=∑X,Y,Z（1,3,4,7）≠F
∴F不是自对偶函数
（3）∵F=X’YZ’+XY’Z’+XY=X’YZ’+XY’Z’+XY（Z+Z’）=∑X,Y,Z（2,4,6,7）
∴FD=∏X,Y,Z（0,1,3,5）=∑X,Y,Z（2,4,6,7）=F
∴F是自对偶函数
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