排队论及其应用.docx

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排队论及其应用

排队系统的符号表述

描述符号：

①/②/③/④/⑤/⑥

各符号的意义：

①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号：

M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布；

D——表示定长输入；

EK——表示K阶爱尔朗分布；

G——表示一般相互独立的随机分布。

②——表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。

③——表示服务台（员）个数：

“1”表示单个服务台，“s”（s>1）表示多个服务台。

④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。

如系统有K个等待位子，则，0

K=∞时为等待制系统，此时一般∞省略不写。

K为有限整数时，表示为混合制系统。

⑤——表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，一般∞也可省略不写。

⑥——表示服务规则，常用下列符号

FCFS：

表示先到先服务的排队规则；

LCFS：

表示后到先服务的排队规则；

PR：

表示优先权服务的排队规则。

二、排队系统的主要数量指标

描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：

1．队长和排队长（队列长）

队长是指系统中的顾客数（排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和）；排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。

队长和排队长一般都是随机变量。

2．等待时间和逗留时间

从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间。

等待时间是个随机变量。

从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。

3.忙期和闲期

忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。

这是个随机变量，是服务员最为关心的指标，因为它关系到服务员的服务强度。

与忙期相对的是闲期,即服务机构连续保持空闲的时间。

在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。

4．数量指标的常用记号

（1）主要数量指标

L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值；

Lq——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待服务的顾客数的期望值；

W——平均逗留时间，即（在任意时刻）进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；

Wq——平均等待时间，即（在任意时刻）进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。

（2）其他常用数量指标

s——系统中并联服务台的数目；

λ——平均到达率；

1／λ——平均到达间隔；

μ——平均服务率；

1/μ——平均服务时间；

N――稳态系统任一时刻的状态（即系统中所有顾客数）；

U――任一顾客在稳态系统中的逗留时间；

Q――任一顾客在稳态系统中的等待时间；

ρ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，—般有ρ=λ／（sμ），这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ趋近于0时，表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地说是很大的。

这时，等待时间一定很短，服务台有大量的空闲时间；如服务强度ρ趋近于1，那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。

我们一般都假定平均服务率μ大于平均到达率λ，即λ/μ<1,否则排队的人数会越来越多，以后总是保持这个假设而不再声明。

李特尔公式

在系统达到稳态时，假定平均到达率为常数λ，平均服务时间为常数1/μ，则有下面的李特尔公式：

L=λW

Lq=λWq

W=Wq+1/μ

L=Lq+λ/μ

排队系统运行情况的分析

排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n（有n个顾客）的概率Pn，再进行计算其主要的运行指标：

①系统中顾客数（队长）的期望值L；

②排队等待的顾客数（排队长）的期望值Lq；

③顾客在系统中全部时间（逗留时间）的期望值W；

④顾客排队等待时间的期望值Wq。

第三节M／M／1模型

模型的条件是：

1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从普阿松分布，且是平稳的；

2、排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服务；

3、服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的指数分布。

第四节     M/M/S模型

●此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个服务台，各服务台的工作相互独立，服务率相等，如果顾客到达时，S个服务台都忙着，则排成一队等待，先到先服务的单队模型。

●整个系统的平均服务率为sμ，ρ*＝λ/sμ，（ρ*<1）为该系统的服务强度。

几个连续型分布—定长

●定长分布（记为D）

若顾客到达间隔时间（或服务时间）为一常量a，此时称输入（服务）分布为定长分布，用T表示此时间，则

P（T=a）=1

用分布函数表示有

F（t）=P（T£t）=0t

1t³a

●概率特征：

方差为0

●主要应用：

–周期性到达事件

–定长服务系统（例如ATM网络）

几个连续型分布—负指数

几个连续型分布—负指数

●无记忆性

P（T>t+x|T>t）=P（T>x）

●定理1.1

负指数分布具有无记忆性.即设T是随机变量,服从负指数分布,参数为l>0,设t,x>0,则

P（T>t+x|T>t）=P（T>x）=e-x

●定理1.2

设随机变量T是非负的连续型变量，它的分布具有无记忆性，则T服从负指数分布

●连续型随机变量分布中，只有负指数分布具有无记忆特性

几个连续型分布—爱尔兰

●定理1.3

爱尔兰分布和负指数分布的关系

设T1,T2,…,Tk,是独立同负指数分布的随机变量，参数为l，则T=T1+T2+…+Tk,服从k阶爱尔兰分布

●主要应用

–描述多级服务系统

–描述平滑（规则）随机事件流

几个离散型分布

●离散时间的排队理论在计算机通讯中有着广泛的应用。

因为机械动作是间断的，用离散理论可以得到更精确的结果。

●排队论中常用的最重要的离散分布是几何分布和负二项分布，实际上可以把它们看作是负指数分布、爱尔兰分布离散化而得到的分布，因此它们也应具有负指数分布、爱尔兰分布的类似性质。

几个离散型分布—几何

●几何分布可以用来描述某一顾客的到达间隔或服务持续时间

–每单位时间执行一次贝努力试验，“失败”则继续，成功则完成

–首次“成功”之前需要持续的时间就可以看成是相应的到达间隔或服务持续时间

几个离散型分布—几何

●定理1.4

几何分布具有无记忆性，即

P（T>n+m|T>n）=P（T>m）

或P（T=n+m|T>n）=P（T=m）

●定理1.5

在离散型分布中，几何分布是唯一具有无记忆性的分布

几个离散型分布—负二项

●定理1.5

负二项分布与几何分布的关系

设T1，T2，…，Tk是独立同几何分布的离散型随机变量，则T=T1+T2…+…Tk服从负二项分布（参数为k）

二项分布

二项分布即重复n次独立的伯努利试验。

在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。

2概念

二项分布（BinomialDistribution），即重复n次的伯努利试验（BernoulliExperiment），用ξ表示随机试验的结果。

二项分布公式

如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是

应用条件

1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。

2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。

二项分布公式

3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。

如要求疾病无传染性、无家族性等。

泊松分布

1命名原因

泊松分布实例

泊松分布（Poissondistribution），台译卜瓦松分布，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discreteprobabilitydistribution）。

泊松分布是以18～19世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-DenisPoisson）命名的，他在1838年时发表。

但是这个分布却在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

就像当代科学史专家斯蒂芬·施蒂格勒（StephenStigler）所说的误称定律（theLawofMisonomy），数学中根本没有以其发明者命名的东西。

2分布特点

泊松分布的概率函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为

特征函数为

3关系

泊松分布与二项分布

泊松分布

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。

通常当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。

事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。

4应用场景

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P（λ）。

因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。

5应用示例

泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。

如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

[1]

观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示：

称为泊松分布。

例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。

实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式：

……

是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。

由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此

就意味着全部死亡的概率。

[2]

指数分布的分布函数为：

数学期望E（X）=1/λ，方差为D（X）=1/λ2。

指数分布的分布函数图象如下图所示：