数值分析实验题华科.docx
《数值分析实验题华科.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析实验题华科.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数值分析实验题华科
数值分析实验题（-华科）
数值分析实验作业
专业：
姓名：
学号：
实验2.1多项式插值的振荡现象
[问题提出]：
考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数，显然Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高，我们自然关心插值多项的次数增加时，Ln（x）是否也更加靠近逼近的函数，Runge给出的例子是极著名并富有启发性的，设区间[-1,1]上函数
[实验内容]：
考虑区间[-1，1]的一个等距离划分，分点为
则拉格朗日插值多项式为
其中，
，i=0,1,2,…,n是n次Lagrange插值函数。
[实验要求]：
（1）选择不断增大的分点数目n=2，3，…画出原函数f（x）及插值多项式函数Ln（x）在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数，
重复上述的实验看其结果如何。
解：
以下的f（x）、h（x）、g（x）的为插值点用“*”表示，朗格朗日拟合曲线用连续曲线表示。
通过三个函数的拉格朗日拟合可以看到，随着插值点的增加，产生Rung现象。
（1）f（x）
（2）h（x）
（3）g（x）
实验3.1最小二乘法拟合
编制以函数
为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表中的数据作三次多项式最小二乘拟合。
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-4.447
-0.452
0.551
0.048
-0.447
0.549
4.552
取权数
求拟合曲线
中的参数
，平方误差
，并作离散数据
的拟合函数
的图形。
解：
三次多项式的拟合曲线为：
此题中权函数
，即W=（1,1,1,1,1,1,1）
利用法方程
求解这个方程组，就可以得到系数a。
解之得：
故拟合的函数为:
平方误差为：
2.176191667187105e-05
拟合的函数图像如下：
实验5.1常微分方程性态和R-K法稳定性试验
[试验目的]：
考察下面的微分方程右端项中函数y前面的参数对方程性态的影响（它可使方程为好条件的或坏条件的）和研究计算步长对R-K法计算稳定性的影响。
[实验题目]：
常微分方程初值问题
其中，
。
其精确解为
[实验要求]：
（1）对于参数
，分别去四个不同的数值：
一个大的正值，一个小的正值，一个绝对值小的负值和一个绝对值大的负值。
取步长
，分别用经典R-K法计算，将四组计算结果画在同一张图上，进行比较并说明相应初值问题的性态。
（2）对于参数
为一个绝对值不大的负值和两个计算步，一个计算步使参数
在经典R-K法的稳定域内，另一个步长在经典的R-K法的稳定域外。
分别用经典R-K法计算并比较计算结果。
取全域等距的10个点上的计算值，列表说明。
解:
对于4阶R-K法绝对稳定区为：
这里
，所以绝对稳定区为：
（1）
对于
，绝对稳定区：
a
2
1
-1
-2
h
0.01
0.01
0.01
0.01
（2）
对于
，稳定区
a
-20
-20
h
0.01
0.15
x
y（精确解）
数值解y1
（a=-20,h=0.01）
y1-y
数值解y2
（a=-20,h=0.15）
y1-y
0.15
0.199787
0.199789
2.35E-06
1.525000
1.325213
0.30
0.302479
0.302479
2.34E-07
2.190625
1.888146
0.45
0.450123
0.450123
1.75E-08
3.049609
2.599486
0.60
0.600006
0.600006
1.16E-09
4.174463
3.574457
0.75
0.750000
0.750000
7.23E-11
5.664886
4.914886
0.90
0.900000
0.900000
4.32E-12
7.657969
6.757969
可见h=0.01时，数值解稳定h=0.15时，数值解不稳定。
程序源代码
functiontestCharpt2_1
%对数值分析实验题第2章第1题进行分析
promps={'输入f为选择f（x）；输入h为选择h（x）；输入g为选择g（x）'};
result=inputdlg（promps,'请选择实验函数'）;
chooseFunction=char（result）;
switchchooseFunction
case'f'
f=inline（'1./（1+25*x.^2）'）;
a=-1;
b=1;
nameFuc='f（x）';
case'h'
f=inline（'x./（1+x.^4）'）;
a=-5;
b=5
nameFuc='h（x）'
case'g'
f=inline（'atan（x）'）;
a=-5;
b=5
nameFuc='g（x）'
end
%promps2={'n='};
%nNumble=inputdlg（promps2,'请输入分点数n'）;
nNumble=[2:
11]
fori=1:
length（nNumble）
x=linspace（a,b,nNumble（i）+1）;
y=feval（f,x）;
xx=a:
0.1:
b;
yy=lagrange（x,y,xx）
figure
fplot（f,[a,b],'*'）
holdon
plot（xx,yy,'LineWidth',2）
xlabel（'x'）
ylabel（'y'）
legend（nameFuc,'lagrange（x）'）
nameTitle=['多项式求值的振荡现象','n=',num2str（nNumble（i））]
title（nameTitle,'FontSize',14）;
gridon
end
functionyy=lagrange（x,y,xx）
%s实现拉格朗日插值
%输入参数x，y分别为已知插值点的自变量和因变量
%输入参数xx为拟合点的自变量值
%输出参数yy为对应自变量xx的拟合值
xLength=length（x）;
xxLength=length（xx）;
fori1=1:
xxLength
yy（i1）=0;
fori2=1:
xLength
p=1;
fori3=1:
xLength
if（i2~=i3）
p=p*（xx（i1）-x（i3））/（x（i2）-x（i3））;
end
end
yy（i1）=yy（i1）+p*y（i2）;
end
end
functiontestCharpt3_1（）
%对数值分析实验题第3章第1题进行分析
%输入参数：
自变量x，因变量y
%输入参数：
多项式拟合次数n
clc
clear
formatlong
x=[-1.0,-0.5,0.0,0.5,1.0,1.5,2.0]
y=[-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552]
n=3
A=[];
fori=1:
length（x）
A=[A;1x（i）x（i）^2x（i）^3]
end
A2=A'*A;
a=inv（A2）*A'*y'%多项式的系数
%a=roundn（a,-6）
yy=a
（1）+a
（2）*x+a（3）*x.^2+a（4）*x.^3;
r=（y-yy）*（y-yy）'%平方误差
clf
holdon
plot（x,y,'or'）;
x2=-1:
0.01:
2;
y2=a
（1）+a
（2）*x2+a（3）*x2.^2+a（4）*x2.^3;
plot（x2,y2,'LineWidth',2）;
legend（'离散值','拟合曲线'）
xlabel（'x'）;
ylabel（'y'）;
title（['3次多项式拟合,平方误差=',num2str（r）],'FontSize',14）;
gridon
functiontestCharpt5_1
%对数值分析实验题第3章第1题进行分析
%输入参数：
参数a，步长h
%精确解和数值解图形对比
%%第1问输入
a=[21-1-2]%输入a的取值
h=[0.010.010.010.01]%输入h的取值
%%第2问输入
%a=[-20-20]%输入a的取值
%h=[0.010.15]%输入h的取值
%%
func=inline（'1+（y-x）.*a'）;%定义函数
fori=1:
length（a）
x=0:
h（i）:
1;%求解区间
y=x;
N=length（x）;
y
（1）=1;
forn=1:
N-1
k1=func（a（i）,x（n）,y（n））;
k2=func（a（i）,x（n）+h（i）/2,y（n）+k1*h（i）/2）;
k3=func（a（i）,x（n）+h（i）/2,y（n）+k2*h（i）/2）;
k4=func（a（i）,x（n）+h（i）,y（n）+k3*h（i））;
y（n+1）=y（n）+h（i）*（k1+2*k2+2*k3+k4）/6;%数值解
end
y0=exp（a（i）*x）+x;%精确解
%figure（）%如果叠绘图去掉此句命令
plot（x,y0）
holdon
plot（x,y,'*'）
legend（'精确解','数值解'）
xlabel（'x'）;
ylabel（'y'）;
title（['微分方程数值解,a=',num2str（a（i））,',h=',num2str（h（i））],'FontSize',14）;
gridon
end
升级会员 