概率论与数理统计考试题.docx
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概率论与数理统计考试题
《概率论与数理统计》考试题
一、填空题（每小题2分，共计60分）
1、A、B是两个随机事件，已知p（A）0.5,p（B）0.3，则
a）、若A,B互斥，则p（A-B）;b）若A,B独立,则p（AB）;
c）、若p（AB）0.2,则p（AB）3/7.
2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，
（1）从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：
7/15。
（2）若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为：
21/50。
（3）若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为：
21/55.
3、设随机变量X服从泊松分布（）,p{X7}P{X8}，则EX8.
4、设随机变量X服从B（2，0.8）的
二项分布,则pX2,Y服从B（8，0.8）的二项分布,且X与Y相互独
立，则P{XY1}=1-，E（XY）8。
5设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N（75，25），则该学校学生的及
格率为，成绩超过85分的学生占比P{X85}为。
其中标准正态分布函数值
（1）0.8413,
（2）0.9772,（3）0.9987.
YX
01
-1
1
a
的容
6、设二维随机向量（X,Y）的分布律是有
则a，X的数学期望E（X），
X与Y的相关系数xy。
7、设X1,...,X16及Y1,...,Y8分别是总体N（8,16）
量为16，8的两个独立样本，X,Y分别为样本均值，S12,S22分别为样本方差
则：
X~N（8,1），XY~N（0,，pXY21.5=
（1）0.8413,
（2）0.9772,（3）0.9987
8、设X1,.X2,X3是总体X的样本，下列的统计量中，A，B，C是E（X）的无偏
统计量，E（X）的无偏统计量中统计量C最有效。
1
A.X1X2X3B.2X1X3C.（X1X2X3）D.
3
X1X2
9.
X的样本，
设某商店一天的客流量X是随机变量,服从泊松分布（）,X1,...,X7为总体
E（X）的矩估计量为X，160，168，152，153，159，167，161为
样本观测值，则E（X）的矩估计值为160
H0成立的条件下拒绝
10、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指：
H0的错误,也成为弃真错误。
Y2X
1）求（X，Y）的联合概率密度为：
f（x,y）
（2）计算概率值p
解:
（1）X，Y相互独立，可见（X，Y）的联合概率密度为f（x，y）fX（x）f（Yy）,
1'
四、（8分）
3e11
从总体X~N（u,2）中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本
X80,S29
t0.025（24）2.0639,x02.975（24）12.4,x02.025（24）39.36
求u的置信度为的置信区间和2的置信度为的置信区间。
解:
（1）n=25,置信水平10.95,/20.025,t0.025（24）2.0639,
X80,S29由此u的置信水平为的置信区间为
3
（802.0639）,即（801.238）4'
25
（2）n=25,置信水平10.95,/20.025,x02.975（24）12.4,x02.025（24）39.36
S29由此2的置信水平为的置信区间为:
249249
（2249,2249）（5.49,17.42）4'
02.025（24）02.975（24）
五、（8分）设总体X服从均匀分布U（a,b）,X1,,Xn是X的一个样本，求a,b的矩估计量
1n1n
解:
设X的一阶样本矩、二阶样本矩分别为A11Xk,A21Xk2，
nk1nk1
22
X的一阶矩、二阶矩分别为E（X）ab,E（X2）abab,令
23
E（X）
a2bA1,
E（X2）
22
a2b2ab
A2
32
2'
可
解出
b?
2
3（A2A12）A1
a?
A13（A2A12）
2'
六、（8分）某地区参加外语统考的学生成绩近似服从正态分布N（u,2）,u,2未知,该校校长声称学生平均成绩为70分，现抽取16名学生的成绩，得平均分为68分，标准差为3分，请在显着水平0.05下，检验该校长的断言是否正
确。
（此题中t0.025（15）
2.1315）
解:
按题意学生成绩X~
N（u,2）,u,
2未知,现取
0.05检验假设
H0:
uu070,
H1：
uu0
70
2
用t检验,现有n16，
0.05，t0.025（15）2.1315,拒绝域为:
2
t值在拒绝域内,故拒绝H0,认为该校长的断言不正确.1
七、（8分）设某衡器制造厂商的数显称重器读数近似服从正态分布N（u,2）,2,u未知,现他声称他的数显称重器读数的标准差为不超过10克,现
检验了一组16只数显称重器,得标准差12克，试检验制造商的言是否正确（取
2
0.05），此题中02.05（15）24.996。
解:
按题意数显称重器读数X~N（u,2）,u,2未知,现取0.05检验假设
H0:
10,H1：
10
10克.
不在拒绝域内,故接受H0,认为读数的标准差不显着超过
八、（6分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显着性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。
（已知Z0.051.645，提示用中心极限定理）
解总体X服从p为参数的0-1
分布，
H0:
pp00.9,H1:
p
p00.9
在H0成立条件下，选择统计量
p0（1p0）
Zp0，由中心极限定理，z近似服从标准正态分布，则拒绝域为
zz0.05
经计算该体z2z0.05，即得Z在拒绝域内,故拒绝H0，认为这个供应商
提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求
东莞理工学院（本科）试卷（B卷）
2006-2007学年第二学期
一、填空题（每小题2分，共计50分）
1、A、B是两个随机事件，已知p（A）0.25,p（B）0.5,P（AB）0.125，则
p（A-B）
p（AB）
p（AB）
2、袋子中有大小相同的5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只
211
（1）4只中恰有2只白球1只红球1只黑球的概率为：
C5C44C3.C142
（2）4只中至少有2只白球的概率为：
314
1C8C4C8.1C4.
C12
（3）4只中没有白球的概率为：
C74
C142
3、设随机变量X服从泊松分布（）,p{X5}P{X6}，则EX64、设随机变量X服从B（2，0.6）的二项分布,则pX2,Y服从B（8，
0.6）的二项分布,且X与Y相互独立，则P{XY1}=，E（XY）6。
5设某学校外语统考学生成绩X服从正态分布N（70，16），则该学校学生的及格率为，成绩超过74分的学生占比P{X74}为。
其中标准正态分布函数值
（1）0.8413,
（2）0.9772,（2.5）0.9938.6、有甲乙两台设备生产相同的产品，甲生产的产品占60%，次品率为10%；乙生产的产品
占40%，次品率为20%。
（1）若随机地从这批产品中抽出一件,抽到次品的概率为
（2）若随机地从这批产品中抽出一件，检验出为次品，则该产品是甲设备生产的概率是3/7.
7、设X1,...,X10及Y1,...,Y15分别是总体N（20,6）的容量为10，15的两个独立样本，
X,Y分别为样本均值，
S12,S22分别为样本方差。
则：
X~N（20,3/5）
8、设X1,.X2,X3是总体X的样本，下列的E（X）统计量中，C最有效
9.设某商店一天的客流量X是随机变量,服从泊松分布（）,X1,...,X7为总体
X的样本，E（X）的矩估计量为X，15,16,18,14,16,17,16为样本观测值，
则E（X）的矩估计值为16
10、在假设检验中，往往发生两类错误，第一类错误是指H0成立的条件下拒绝
H0的错误,第二类错误是指H1成立的条件下拒绝H1的错误,显着水平是指控制第一类错误的概率小于.
解:
（1）
由
f（x）dx1,得a
2
2
（2）
p（1
3
X3）=
f（x）dx
3212
2dx
2
1
01x23
0
x0
（3）
F（x）
arctanx
2
0x
2
2y,0y1,
fY（y）20y,0,y其1,它，且随机变量X，Y相互独立
1）求（X，Y）的联合概率密度为：
f（x,y）
2）计算概率值pYX2
四、（8分）从总体X~N（u,2）中抽取容量为25的一个样本，样本均值和样本
S29由此2的置信水平为的单侧置信下限为:
202.045（294）4
五、（8分）设总体X服从N（u,2）,2已知,u未知。
X1,,Xn是X的一个样本，求u的极大似然估计量，并证明它为u的无偏估计。
解:
样本X1,...,Xn的似然函数为:
E（u?
）
E（1n
nk1
Xk）
它为u的无偏估计量
L（x1,...,xn,u）
n
n/212
（2）n/2exp[（xiu）2]
2k1
六、（8分）一工厂生产化学制品的日产量（以吨计）近似服从正态分布,当设备正常时一天产800吨,现测得最近5天的产量分别为:
785,805,790,790，802，问是否可以认为日产量显着不为800吨。
（取0.05），此题中t0.025（4）2.7764。
t值不在拒绝域内,故接受H0,认为日产量没有显着变化.1
七、（8分）设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布N（u,2）,2,u未知,现他声称他的温度计读数的标准差为不超过,现检验了一
组16只温度计,得标准0。
7度，试检验制造商的言是否正确（取0.05），此
题中02.05（15）24.996。
解:
按题意温度计读数X~N（u,2）,u,2未知,现取0.05检验假设:
H0:
0.5,
H1：
0.5
1
用2
检验,现有
n5，
0.05，t0.025（4）
2.7764,拒绝域为
2
（n1）s2>
0.52>
02.05（15）
24.996
1
算得:
2（n
2
1）s215
2
0.729.4
24.996
2
0.520.52
在拒绝域内,故拒绝H0,认为温度计读数的标准差为显着超过.
八、（6分）某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显
着性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。
（已知Z0.051.645，提示用中心极限定理）
解：
总体X服从p为参数的0-1分布，H0:
pp00.9,H1:
pp00.92'
X1,...,X100为总体X的样本，在H0成立条件下，选择统计量
zz0.05
经计算该体z2z0.05，即得Z在拒绝域内,故拒绝H0，认为这个供应商提供的元件的一级品率没有达到该厂方的的要求。
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