一元一次不等式和不等式组易错题精讲.docx

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一元一次不等式和不等式组易错题精讲

一元一次不等式和不等式组易错题精讲

一．选择题（共9小题）

1．（2003•盐城）若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（　　）

A．

a＜1＜

B．

a＜

＜1

C．

＜a＜1

D．

1＜

＜a

2．若m＞n，则下列不等式中成立的是（　　）

A．

m+a＜n+b

B．

ma＜nb

C．

ma2＞na2

D．

a﹣m＜a﹣n

3．下列不等式一定成立的是（　　）

A．

5a＞4a

B．

x+2＜x+3

C．

﹣a＞﹣2a

D．

4．已知a＜b，下列四个不等式中不正确的是（　　）

A．

a（c2+1）＜b（c2+1）

B．

a﹣4＜b﹣4

C．

a﹣b＜0

D．

＜1

5．若|a﹣2|=2﹣a，则数a在数轴上的对应点在（　　）

A．

表示数2的点的左侧

B．

表示数2的点的右侧

C．

表示数2的点或表示数2的点的左侧

D．

表示数2的点或表示数2的点的右侧

6．若a＜b，则下列不等式中正确的是（　　）

A．

a﹣2＞b﹣2

B．

﹣2a＜﹣2b

C．

2﹣a＞2﹣b

D．

m2a＞m2b

7．百货商场有一种商品的合格率为97%，已知该商品有400件，请问该商场至少还需准备（　　）件商品供消费者更换．

A．

9个

B．

15个

C．

12个

D．

13个

8．某药液的说明书上，贴有如图所示的标签，则一次性服用这种药品的剂量范围是（　　）

A．

10mg～20mg

B．

15mg～30mg

C．

15mg～20mg

D．

10mg～30mg

9．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜

，则nx﹣m＜0的解集是（　　）

A．

x＞3

B．

x＜3

C．

x＞﹣3

D．

x＜﹣3

二．填空题（共21小题）

10．某初级中学八年级

（1）班若干名同学星期天去公园游览，公园售票窗口标明票价：

每人10元，团体票25人以上（含25人）8折优惠，他们经过核算，买团体票比买单人票便宜，则他们至少有　_________　人．

11．一位老师说，他班学生的一半在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有　_________　人．

12．“a是不大于2的数”用不等式表示为　_________　．

13．用适当的符号表示：

x的5倍与3的和比x的8倍大　_________　．

14．不等式3x﹣3m≤﹣2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是

　_________　

15．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是　_________　．

16．如果不等式2x﹣3≤m的正整数解有4个，则m的取值范围是　_________　．

17．不等式2x＜a的正整数解是1、2，则a的范围为　_________　．

18．不等式

﹣

（4﹣3x）≥

（7x﹣6）的非正整数解　_________　．

19．如果不等式3x﹣m＜0的正整数解为1，2，3，那么m的范围是　_________　．

20．若不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是　_________　．

21．a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算

=ad﹣bc，则不等式

＜1的解为　_________　．

22．若关于x的不等式2m一1＜x＜m+l无解，则m的取值范围是　_________　．

23．（2009•乌鲁木齐）在平面直角坐标系中，点A（x﹣1，2﹣x）在第四象限，则实数x的取值范围是　_________　．

24．如图，如果不等式组

的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）共有　_________　个．

25．不等式的

自然数解有　_________　个．

26．如果关于x的不等式（a﹣1）x＜a+5和2x＜4的解集相同，则a的值为　_________　．

（1）一变：

如果

的解集是x＜2，则a的取值范围是　_________　；

（2）二变：

如果

的解集是1≤x＜2，则a的取值范围是　_________　．

27．若

无解，则a的取值范围是　_________　．

28．若不等式组

无解，则m的取值范围是　_________　．

29．已知关于x的不等式组

无解，则a的取值范围是　_________　．

30．（2006•贺州）已知不等式组

无解，则a的取值范围是　_________　．

一元一次不等式和不等式组易错题精讲

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．（2003•盐城）若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（　　）

A．

a＜1＜

B．

a＜

＜1

C．

＜a＜1

D．

1＜

＜a

考点：

不等式的性质．

分析：

代入一个特殊值计算比较即可．

解答：

解：

当a=时，

=2，故选A．

点评：

代入特殊值进行比较可简化运算．

2．若m＞n，则下列不等式中成立的是（　　）

A．

m+a＜n+b

B．

ma＜nb

C．

ma2＞na2

D．

a﹣m＜a﹣n

考点：

不等式的性质．

分析：

看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号．

解答：

解：

A、不等式两边加的数不同，错误；

B、不等式两边乘的数不同，错误；

C、当a=0时，错误；

D、不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，都加a，不等号的方向不变，正确；

故选D．

点评：

不等式的性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

3．下列不等式一定成立的是（　　）

A．

5a＞4a

B．

x+2＜x+3

C．

﹣a＞﹣2a

D．

考点：

不等式的性质．

分析：

根据不等式的性质分析判断．

解答：

解：

A、因为5＞4，不等式两边同乘以a，而a≤0时，不等号方向改变，即5a≤4a，故错误；

B、因为2＜3，不等式两边同时加上x，不等号方向不变，即x+2＜x+3正确；

C、因为﹣1＞﹣2，不等式两边同乘以a，而a≤0时，不等号方向改变，即﹣a≤﹣2a，故错误；

D、因为4＞2，不等式两边同除以a，而a≤0时，不等号方向改变，即

，故错误．

故选B．

点评：

主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

4．已知a＜b，下列四个不等式中不正确的是（　　）

A．

a（c2+1）＜b（c2+1）

B．

a﹣4＜b﹣4

C．

a﹣b＜0

D．

＜1

考点：

不等式的性质．

专题：

计算题．

分析：

a＜b，不等式两边同除以b，而b未确定正数，负数，0，因此不一定能得出

＜1．

解答：

解：

∵a＜b，

∴根据不等式的基本性质可得：

四个不等式中不正确的是：

＜1；

故本题选D．

点评：

解决本题的关键是认识到b未确定正数，负数，0，无法判断

的大小．

5．若|a﹣2|=2﹣a，则数a在数轴上的对应点在（　　）

A．

表示数2的点的左侧

B．

表示数2的点的右侧

C．

表示数2的点或表示数2的点的左侧

D．

表示数2的点或表示数2的点的右侧

考点：

不等式的性质；数轴；绝对值．

分析：

根据绝对值的性质，求出a的取值范围，进而确定点a在数轴上的位置．

解答：

解：

∵|a﹣2|=2﹣a，

∴a﹣2≤0，即a≤2．

所以数a在数轴上的对应点为表示数2的点或表示数2点的左侧．

故选C．

点评：

此题主要考查绝对值的性质：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

6．若a＜b，则下列不等式中正确的是（　　）

A．

a﹣2＞b﹣2

B．

﹣2a＜﹣2b

C．

2﹣a＞2﹣b

D．

m2a＞m2b

考点：

不等式的性质．

分析：

看各不等式是加（减）什么数，或乘（除以）哪个数得到的，用不用变号．

解答：

解：

A、不等式两边都减2，不等号的方向不变，错误；

B、不等式两边都乘﹣2，不等号的方向改变，错误；

C、不等式两边都乘﹣1，不等号的方向改变，都加2后，不变，正确；

D、m=0时，错误；

故选C．

点评：

不等式的性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

7．百货商场有一种商品的合格率为97%，已知该商品有400件，请问该商场至少还需准备（　　）件商品供消费者更换．

A．

9个

B．

15个

C．

12个

D．

13个

考点：

一元一次不等式的应用．

分析：

解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．

解答：

解：

设至少还准备x件商品供消费者更换，

依题意可得（400+x）×97%≥400

解得：

x≥12

，又因为x取整数，则x最小是13．

故选D．

点评：

本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

8．某药液的说明书上，贴有如图所示的标签，则一次性服用这种药品的剂量范围是（　　）

A．

10mg～20mg

B．

15mg～30mg

C．

15mg～20mg

D．

10mg～30mg

考点：

一元一次不等式的应用．

分析：

根据：

≤一次用药的剂量≤

，列出不等式进行求解即可．

解答：

解：

依题意得：

一次用药剂量的最大值=

=

=30mg

一次用药剂量的最小者=

=

=10mg

故：

一次性服用这种药品的剂量范围是10mg～30mg

故应选D

点评：

本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

9．已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x＜

，则nx﹣m＜0的解集是（　　）

A．

x＞3

B．

x＜3

C．

x＞﹣3

D．

x＜﹣3

考点：

解一元一次不等式．

专题：

计算题．

分析：

第一个不等式的方向改变，说明不等式两边除以的m小于0，由解集是x＜

，可以继续判断n的符号；就可以得到第二个不等式的解集．

解答：

解：

由mx+n＞0的解集为x＜

，不等号方向改变，

∴m＜0且﹣

=

，

∴

=﹣

＜0，

∵m＜0．

∴n＞0；

由nx﹣m＜0得x＜

=﹣3，

所以x＜﹣3；

故选D．

点评：

当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．

二．填空题（共21小题）

10．某初级中学八年级

（1）班若干名同学星期天去公园游览，公园售票窗口标明票价：

每人10元，团体票25人以上（含25人）8折优惠，他们经过核算，买团体票比买单人票便宜，则他们至少有　21　人．

考点：

一元一次不等式的应用．

分析：

本题可设至少有x人．则买团体票需要的钱数是：

25××10，买单人票需要的钱数是：

10x，根据买团体票比买单人票便宜，就可以列出不等式，解出x的取值．

解答：

解：

设至少有x人．

则25××10＜10x

x＞20

因此他们至少有21人

点评：

本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时要注意够团体票即至少要买25张票，因此x若小于25也要按25张票的价钱来计算．

11．一位老师说，他班学生的一半在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足6名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有　28　人．

考点：

一元一次不等式的应用．

专题：

应用题．

分析：

本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等关系式即可求解．

解答：

解：

设这个班的学生最多共有x人，依题意得：

x﹣

x﹣

x﹣

x＜6

解之得：

x＜56

又∵x为2、4、7的公倍数，

∴这个班的学生最多共有28人．

点评：

解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．

12．“a是不大于2的数”用不等式表示为　a≤2　．

考点：

由实际问题抽象出一元一次不等式．

分析：

“a是不大于2的数”意思是a是小于或等于2的数，由此可列得相关式子．

解答：

解：

“a是不大于2的数”用不等式表示为a≤2．

点评：

解决本题的关键是理解“不大于”应用符号表示为“≤”．

13．用适当的符号表示：

x的5倍与3的和比x的8倍大　5x+3＞8x　．

考点：

由实际问题抽象出一元一次不等式．

分析：

x的5倍表示为5x，与3的和表示为5x+3，比x的8倍大即表示为5x+3＞8x．

解答：

解：

由题意得：

x的5倍与3的和比x的8倍大表示为5x+3＞8x．

点评：

列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“和”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．

14．不等式3x﹣3m≤﹣2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是

　12≤m＜15　

考点：

一元一次不等式的整数解．

专题：

计算题．

分析：

先求出不等式的解集，然后根据其正整数解求出m的取值范围．

解答：

解：

不等式3x﹣3m≤﹣2m的解集为x≤

m，

∵正整数解为1，2，3，4，

∴m的取值范围是4≤

m＜5，即12≤m＜15．

故答案为：

12≤m＜15．

点评：

本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：

（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

15．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，则a的取值范围是　﹣1≤a＜﹣

　．

考点：

一元一次不等式的整数解．

专题：

计算题；分类讨论．

分析：

首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．注意当x的系数含有字母时要分情况讨论．

解答：

解：

不等式ax+3≥0的解集为：

（1）a＞0时，x≥﹣

，

正整数解一定有无数个．故不满足条件．

（2）a=0时，无论x取何值，不等式恒成立；

（3）当a＜0时，x≤﹣

，则3≤﹣

＜4，

解得﹣1≤a＜﹣

．

故a的取值范围是﹣1≤a＜﹣

．

点评：

本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：

（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．当x的系数含有字母时要分情况讨论．

16．如果不等式2x﹣3≤m的正整数解有4个，则m的取值范围是　5≤m＜7　．

考点：

一元一次不等式的整数解．

分析：

先把m当作已知，求出x的取值范围，再根据不等式有4个正整数解列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．

解答：

解：

解不等式2x﹣3≤m得，x≤

，

∵此不等式的正整数解有4个，

∴不等式的正整数解为1，2，3，4，

∴4≤

＜5，

∴m的取值范围是5≤m＜7．

点评：

此题比较简单，根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再由x的正整数解列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．

17．不等式2x＜a的正整数解是1、2，则a的范围为　4＜a≤6　．

考点：

一元一次不等式的整数解．

分析：

先把a当作已知，求出x的取值范围，再根据不等式的正整数解列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可．

解答：

解：

解不等式2x＜a得，x＜

，

∵此不等式的正整数解是1、2，

∴2＜

≤3．

解得，4＜a≤6．

故答案为：

4＜a≤6．

点评：

此题比较简单，根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再由x的正整数解列出关于a的不等式组，求出a的取值范围即可．

18．不等式

﹣

（4﹣3x）≥

（7x﹣6）的非正整数解　无解　．

考点：

一元一次不等式的整数解．

专题：

计算题．

分析：

先解出不等式的解集，再求其非正整数解．

解答：

解：

去分母得6（3x+2）﹣15（4﹣3x）≥5（7x﹣6）

去括号得18x+12﹣60+45x≥35x﹣30

移项合并同类项得x≥

≈

所以不等式没有非正整数解．

点评：

本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：

（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

19．如果不等式3x﹣m＜0的正整数解为1，2，3，那么m的范围是　9＜m≤12　．

考点：

一元一次不等式的整数解．

专题：

计算题．

分析：

首先确定不等式的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．

解答：

解：

∵不等式3x﹣m＜0的解集是x＜

，它的正整数解为1，2，3，

∴3＜

≤4

解得9＜m≤12．

点评：

正确解出不等式的解集，确定

的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：

同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

20．若不等式3x﹣m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是　9≤m＜12　．

考点：

一元一次不等式的整数解．

专题：

计算题．

分析：

先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．

解答：

解：

不等式3x﹣m≤0的解集是x≤

，

∵正整数解是1，2，3，

∴m的取值范围是3≤

＜4即9≤m＜12．

点评：

考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：

同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

21．a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算

=ad﹣bc，则不等式

＜1的解为　x＞﹣10　．

考点：

解一元一次不等式．

专题：

新定义．

分析：

按照新的运算

=ad﹣bc，则不等式

＜1可化为[

]＜1，化简即可求得x的取值．

解答：

解：

由题意可知：

不等式

＜1可化为：

[

]＜1，

化简得：

3x﹣4（x+1）＜6，即﹣x＜10，

即x＞﹣10，

所以，不等式的解集为x＞﹣10．

点评：

本题考查关于x的一元一次不等式的解法，先移项，再化简．

22．若关于x的不等式2m一1＜x＜m+l无解，则m的取值范围是　m≥2　．

考点：

解一元一次不等式．

分析：

先根据原不等式无解列出关于m的不等式，再根据不等式的基本性质求出m的取值范围即可．

解答：

解：

∵关于x的不等式2m一1＜x＜m+l无解，

∴m+1≤2m﹣1，

解得，m≥2．

点评：

此题比较简单，解答此题的关键是根据不等式无解的条件列出关于m的不等式，在解不等式时要根据不等式的基本性质．

23．（2009•乌鲁木齐）在平面直角坐标系中，点A（x﹣1，2﹣x）在第四象限，则实数x的取值范围是　x＞2　．

考点：

点的坐标；解一元一次不等式组．

分析：

在第四象限的点的特点为：

横坐标＞0，纵坐标＜0，然后根据横纵坐标的特点列不等式组求值即可．

解答：

解：

∵点A（x﹣1，2﹣x）在第四象限，∴

，解得：

x＞2．

点评：

本题考查了平面直角坐标系中第四象限内点的特征及不等式组的解法，有的同学解不等式2﹣x＜0，忘了变号，而解成x＜2，因此将答案错误的写成1＜x＜2．

24．如图，如果不等式组

的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a，b的有序数对（a，b）共有　72　个．

考点：

一元一次不等式组的整数解．

专题：

分类讨论．

分析：

此题要注意数形结合，先判断出a和b的取值范围，然后确定其具体整数值的个数，再进行组合．

解答：

解：

由不等式组得：

，由于其整数解仅为1，2，3，结合图形得：

，a的整数值共有9个；

，b的整数值共8个，则整数a，b的有序数对（a，b）共有8×9=72个．

点评：

本题的难点是确定数的取值范围，在确定范围时要结合图形，便于理解和计算．

25．不等式的

自然数解有　8　个．

考点：

一元一次不等式组的整数解．

分析：

先根据不等式的基本性质把不等式去分母、去括号、移项、合并同类项求出x的取值范围，再求出符合条件的x的取值即可．

解答：

解：

去分母得，8﹣x＞0，

移项得，﹣x＞﹣8，

系数化为1得，x＜8，

故此不等式的自然数解有0，1，2，3，4，5，6，7共8个．

点评：

此题比较简单，解答此题的关键是熟知不等式的基本性质及自然数的定义，解答此题时要注意0是自然数，这是需要注意的重点问题．

26．如果关于x的不等式（a﹣1）x＜a+5和2x＜4的解集相同，则a的值为　7　．

（1）一变：

如果

的解集是x＜2，则a的取值范围是　1≤a≤7　；

（2）二变：

如果

的解集是1≤x＜2，