高中数学人教版必修二立体几何综合提升卷doc.docx
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高中数学人教版必修二立体几何综合提升卷doc
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高中数学（人教版）必修二《立体几何》综合提升卷
一．选择题（共13小题，满分65分，每小题5分）
1．（5分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA=90°，BC=CA=2，若
该棱柱的所有顶点都在体积为
的球面上，则直线B1
C
与直线
1所成角的余
AC
弦值为（
）
A．B．
C．
D．
2．（5分）设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列4
个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；
④若α∩β=m，β∩γ=l，α∩γ=n，且n∥β，则m∥l．
其中正确命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
3．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．π
4．（5分）如图，平面PAB⊥平面α，AB?
α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I?
α，且l⊥
AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（）
1
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A．B．C．D．3
5．（5分）如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，
已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：
（1）异面直线A1B1与CD1所成的角为45°；
（2）D1C⊥AC1；
（3）在棱DC上存在一点E，使D1E∥平面A1BD，这个点为DC的中点；
（4）在棱AA
上不存在点
，使三棱锥
﹣
的体积为直四棱柱体积的．
1
F
F
BCD
其中正确的个数有（）
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，BD⊥CD．将四边形
ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论：
①A′C⊥BD；
②CA′与平面A′BD所成的角为30°；③∠BA′C=90；°
④四面体A′﹣BCD的体积为．
其中正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD上一点，AB=AD=3，AA1=2，
CE=1，P是AA1上一点，且DP∥平面AEB1，F是棱DD1与平面BEP的交点，则
DF的长为（）
2
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A．1B．C．D．
8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三
视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表面积是（）
A．36πB．48πC．56πD．64π
9．（5分）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C，′MD′是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点．满足PM=PD，则点P的轨迹长度是
（）
A．B．C．D．
10．（5分）如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；
②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图；
③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图．
其中真命题的个数是（）
3
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A．3B．2C．1D．0
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的
距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）
A．1B．2C．D．4
12．（5分）一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原
正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
13．（5分）异面直线a，b成80°角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且
仅有2条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则θ属于集合（）
A．{θ|0°＜θ＜40°}B．{θ|40°＜θ＜50°}C．{θ|40°＜θ＜90°}D．{θ|50°
＜θ＜90°}
二．解答题（共7小题，满分85分）
14．（10分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P在四边形ABCD内及其边界上运动，且点P到点B1的距离为．
4
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（1）要使A1C1⊥平面BB1P，则点P在何位置？
（2）设直线B1P与平面ACD1所成的角为θ，求sinθ的取值范围．
15．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，
∠ACB=∠ACD=．
（Ⅰ）求证：
BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．
16．（10分）如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF
所截而得，已知FA⊥平面ABC，AB=2，BD=1，AF=2，CE=3，O为AB的中点．（Ⅰ）求平面DEF与平面ABC相交所成锐角二面角的余弦值；
（Ⅱ）在DE上是否存在一点P，使CP⊥平面DEF？
如果存在，求出DP的长；若不存在，说明理由．
17．（10分）如图，长方形框架ABCD﹣A′B′C，′三D边′AB、AD、AA′的长分别为
5
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6、8、3.6，AE与底面的对角线B′D垂′直于E．
（1）证明A′E⊥B′D；′
（2）求AE的长．
18．（12分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E、F、G分别是棱AB、AD、D1A1
的中点．
（1）求证：
BG∥平面A1EF：
（2）若P为棱CC
上一点，求当
等于多少时，平面
⊥平面
？
1
A1EF
EFP
19．（15分）ABCD为平行四边形，P为平面ABCD外一点，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2，
AB=1，AC=．
（1）求证：
平面ACD⊥平面PAC；
（2）求异面直线PC与BD所成角的余弦值；
（3）设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，试求tanθ的值．
6
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20．（18分）如图，△ABC各边长均为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC
和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．
（1）证明：
平面ADF⊥平面BCD；
（2）求三棱锥C﹣DEF的体积；
（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？
如果存在，求出的值；如果
不存在，请说明理由．
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高中数学（人教版）必修二《立体几何》综合提升卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题，满分65分，每小题5分）
1．（5分）（2016秋?
小店区校级期中）设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，
∠BCA=90°，BC=CA=2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线
B1C与直线AC1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【考点】LM：
异面直线及其所成的角．
【专题】35：
转化思想；41：
向量法；44：
数形结合法；5F：
空间位置关系
与距离．
【分析】根据题意画出图形，结合图形得出
AB为截面圆的直径，求出
AB的值
以及三棱柱外接球的半径
R；再利用三角形以及空间向量的知识求出向量
与
夹角的余弦值的绝对值即可．
【解答】解：
∵∠BCA=90°，BC=CA=2，
∴AB=2
，且为截面圆的直径；
又三棱柱外接球的体积为
，
3
，
∴π?
R
=
解得外接球的半径为R=2；
△ABC1中，AB⊥BC1，AB=2，AC1=2R=4，
∴BC1
=2
；
=
8
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又=+，=+=﹣﹣，
∴?
=?
（﹣）﹣?
﹣﹣?
=0﹣0﹣﹣0
=﹣8，
||=||==；
∴异面直线B1C与AC1所成的角θ的余弦值为：
cosθ=||=||=．
故选：
B．
【点评】本题考查了异面直线所成角的计算问题，解题时可以利用两向量所成的角进行计算，是综合性题目．
2．（5分）（2014?
红岗区校级模拟）设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示
不同的平面，给出下列4个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；
④若α∩β=m，β∩γ=l，α∩γ=n，且n∥β，则m∥l．
其中正确命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【考点】LO：
空间中直线与直线之间的位置关系；2K：
命题的真假判断与应用；
LP：
空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】16：
压轴题．
【分析】本题考查的是直线之间，直线与平面之间的位置关系，可借助图象解答．【解答】解：
易知命题①正确；在命题②的条件下，直线l可能在平面α内，故命题为假；在命题③的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题④中，由α∩γ=n知，n?
α且n?
γ，由n?
α及∥βα∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，命题④正确．
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故答案选B．
【点评】本题主要考查了直线与直线间的位置关系，以及直线与平面间的位置关系，注意二者的联系与区别．
3．（5分）（2016?
永州模拟）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体
积为（）
A．B．C．D．π
【考点】L!
：
由三视图求面积、体积．
【专题】17：
选作题；31：
数形结合；44：
数形结合法；5F：
空间位置关系与距离．
【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：
左边是半个圆锥，右边是四分之一个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，
【解答】解：
根据三视图可知几何体是一个组合体：
左边是半个圆锥，右边是四分之一个圆柱（斜切半圆柱），
且圆柱的底面半径是1、母线长是2；圆锥的底面半径、高都是1，
∴几何体的体积V=
==，
故选：
C．
【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关
键，考查空间想象能力．
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4．（5分）（2017?
宁波模拟）如图，平面PAB⊥平面α，AB?
α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于
点Q，I?
α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（）
A．B．C．D．3
【考点】LM：
异面直线及其所成的角．
【专题】15：
综合题；35：
转化思想；41：
向量法；53：
导数的综合应用；
5G：
空间角．
【分析】由题意画出图形，建立空间直角坐标系，设AB=2，∠OAD=θ（0＜θ＜π），
把异面直线所成角的余弦值化为含有θ的三角函数式，换元后利用导数求最值．
【解答】解：
如图，不妨以CD在AB前侧为例．
以O为原点，分别以OB、OP所在直线为y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=2，∠OAD=θ（0＜θ＜π），则P（0，0，），
D（2sinθ，﹣1+2cosθ，0），
∴Q（，，0），
∴，
设α与AB垂直的向量，则PQ与l所成角为α．
则|cosα|=||=||==．
令t=cosθ（﹣1＜t＜1），则s=，s′=，
令s′=0，得t=8﹣，
∴当t=8﹣时，s有最大值为16﹣6．
则cosα有最大值为，此时最小值最小为．
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∴正切值的最小值为=．
故选：
B．
【点评】本题考查异面直线所成角，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量及导数求最值，属难题．
5．（5分）（2013?
浙江模拟）如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD
﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：
（1）异面直线A1B1与CD1所成的角为45°；
（2）D1C⊥AC1；
（3）在棱DC上存在一点E，使D1E∥平面A1BD，这个点为DC的中点；
（4）在棱AA1上不存在点
，使三棱锥
﹣
的体积为直四棱柱体积的．
F
F
BCD
其中正确的个数有（
）
A．1B．2C．3D．4
【考点】LS：
直线与平面平行的判定；LF：
棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：
异面
直线及其所成的角；LX：
直线与平面垂直的性质．
【专题】11：
计算题；14：
证明题；16：
压轴题．
【分析】直接利用已知条件推出异面直线所成的角判断
（1）的正误；通过直线
12
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与平面的位置关系判断
（2）的正误；通过直线与平面的平行判断（3）的正误；
几何体的体积判断（4）的正误即可．
【解答】解：
（1）由题意可知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，所以△DD1C1
是等腰直角三角形，A1B1∥C1D1，异面直线A1B1与CD1所成的角为45°，所以
（1）
正确．
（2）由题意可知，AD⊥平面DD1C1C，四边形DD1C1C是正方形，所以D1C⊥DC1，可得D1C⊥AC1；
（2）正确；
对于（3）在棱DC上存在一点E，使D1E∥平面A1BD，这个点为DC的中点，因
为
DC=DD1=2AD=2AB，如图HG
，所以E为中点，正确．
（4）设AB=1，则棱柱的体积为：
=，当F在A1时，1﹣
BCD
的体
A
积为：
=，显然体积比为
，所以在棱AA1上存在点
，使
F
三棱锥F﹣BCD的体积为直四棱柱体积的
，所以（4）不正确．
正确结果有
（1）、
（2）、（3）．
故选C．
【点评】本题考查棱柱的结构特征，几何体的体积的求法，直线与平面的位置关系的判断，考查空间想象能力计算能力．
6．（5分）（2011?
上饶校级模拟）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，
BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面
BCD，则下列结论：
①A′C⊥BD；
②CA′与平面A′BD所成的角为30°；
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③∠BA′C=90°；
④四面体A′﹣BCD的体积为．
其中正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】LM：
异面直线及其所成的角；L3：
棱锥的结构特征；LF：
棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】11：
计算题；16：
压轴题．
【分析】根据题意，依次分析命题：
对于①可利用反证法说明真假，若①成立可
得BD⊥A'D，产生矛盾；对于②由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知②的真假；对于③△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，根据线面垂直可知∠BA′C=90°，对于④利用等体积法求出所求体积进行判定即可，综合可得答案．
【解答】解：
若①成立可得BD⊥A'D，产生矛盾，故①不正确；由CA'与平面A'BD所成的角为∠CA'D=45°知②不正确；
由题设知：
△BA'D为等腰Rt△，CD⊥平面A'BD，得BA'⊥平面A'CD，于是③正确；
，④不正确．
其中正确的有1个
故选D．
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及三棱锥的体积的计算，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，解题的关键是须对每一个进行逐一判定．
7．（5分）（2017春?
保定期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CD上
一点，AB=AD=3，AA1=2，CE=1，P是AA1上一点，且DP∥平面AEB1，F是棱DD1
与平面BEP的交点，则DF的长为（）
14
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A．1B．C．D．
【考点】L2：
棱柱的结构特征．
【专题】31：
数形结合；49：
综合法；5F：
空间位置关系与距离．
【分析】在棱AB上取点M，使得BM=1，
过点M作MN∥BB1，交AB1于N，连接EM、EN，
证明平面EMN∥平面ADD1A1，求出MN的值，
由AP=MN得出DP∥平面AEB；
再取DG=AP，连接CG，利用平行关系求出DF的长．
【解答】解：
在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB上取点M，使得BM=1，过点M作MN∥BB1，交AB1于N，连接EM、EN，如图所示；则平面EMN∥平面ADD1A1；
∵BB1=2AM=2BM，∴MN=，
∴当AP=MN=时，DP∥EN，
即DP∥平面AEB；
∵F是棱DD1与平面BEP的交点，∴EF∥BP；
取DG=AP=，连接CG，则CG∥BP，
∴EF∥CG，
∴DF=DG=．
故选：
B．
15
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【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了求线段长的
应用问题，是综合题．
8．（5分）（2016?
丹东二模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O表面上，则球O的表
面积是（）
A．36πB．48πC．56πD．64π
【考点】L!
：
由三视图求面积、体积；LG：
球的体积和表面积．
【专题】15：
综合题；31：
数形结合；46：
分割补形法；58：
解三角形；5F：
空间位置关系与距离．
【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出球心O到平面ABC的距离d、边AB和AC的值，在△ABC中，由余弦定理求出cos∠ACB后，求出∠ACB和sin∠ACB，由正弦定理求出△ABC的外接圆的半径r，由勾股定理求出球O的半径，由球的表面积公式求解．【解答】解：
根据三视图知几何体是：
三棱锥D﹣ABC为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：
∵该多面体的所有顶点都在球O，且球心O是正方体的中心，∴由正方体的性质得，球心O到平面ABC的距离d=2，
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由正方体的性质可得，
AB=BD==，AC=，
设△ABC的外接圆的半径为r，
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠ACB===，
∴∠ACB=45°，则sin∠ACB=，
由正弦定理可得，2r===2，则r=，
即球O的半径R==，
∴球O的表面积S=4πR2=56π，
故选：
C．
【点评】本题考查三视图求几何体外接球的表面积，正弦定理、余弦定理，以及
正方体的性质，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．
9．（5分）（2016?
衢州模拟）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A′B′C，′MD′是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点．满足PM=PD，则
点P的轨迹长度是（）
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A．B．C．D．
【考点】L2：
棱柱的结构特征．
【专题】15：
综合题；35：
转化思想；49：
综合法；5F：
空间位置关系与距离．
【分析】满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，根
据P是△A′C′D内（包括边界）的动点，可得点P的轨迹是两平面的交线ST．T
在中点，S在4等分点，利用余
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