大学物理21第八章气体动理论习题答案.docx
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大学物理21第八章气体动理论习题答案
大学物理2-1第八章（气体动理论）习题答案
第8章
8-1目前可获得的极限真空为1.33?
10?
11Pa，，求此真空度下1cm3体积内有多少个分子?
（设温度为27℃）
[解]由理想气体状态方程P?
nkT
得P?
故N?
NVkT，N?
?
11PVkT
?
300?
61.33?
10?
1?
101.38?
10?
23?
3.21?
10（个）3
8-2使一定质量的理想气体的状态按p?
V图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的BC段是以横轴和纵轴为渐近线的双曲线。
（1）已知气体在状态A时的温度是TA?
300K，求气体在B、C、D时的温度。
（2）将上述状态变化过程在V?
T图（T为横轴）中画出来，并标出状态变化的方向。
[解]
（1）由理想气体状态方程PV/T＝恒量，可得：
由A→B这一等压过程中
VA
TA
VB
VA?
VBTB2010则TB?
?
TA?
?
300?
600（K）
因BC段为等轴双曲线，所以B→C为等温过程，则
TC?
TB?
600（K）
C→D为等压过程，则VD
TD?
VCTC
TD?
VDVC?
TC?
2040?
600?
300（K）
（2）
403020100）
8-3有容积为V的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m的分子N1和N2个,它们的方均根速率都是?
0，求：
（1）两部分的分子数密度和压强各是多少?
（2）取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少?
[解]
（1）分子数密度n1?
N1V1?
2N1V
8-1n2?
N2V2?
2N2V
由压强公式：
P?
13
nmV
2
，
13
2mN1V0
3V
NV?
2
可得两部分气体的压强为P1?
n1mV0?
2
P2?
13
n2mV0?
2
2mN2V0
3V
2
（2）取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为n?
N1?
N2
V
混合后的气体，由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为：
P?
13nmV0?
2
（N1?
N2）mV0
3V
2
8-4在容积为2.5?
10?
3m3的容器中，储有1?
1015个氧分子，4?
1015个氮分子，3.3?
10?
7g氢分子混合气体，试求混合气体在433K时的压强。
[解]由P?
nkT
n?
N1?
N2?
N3
V3.3?
10
2
?
7
23
N3?
?
6.02?
10
则P?
N1?
N2?
N3
V
kT?
0.25（Pa）
8-5有2?
10?
3m3刚性双原子理想气体，其内能为6.75?
102J。
（1）试求气体的压强。
（2）设有5.4?
1022个分子，求分子的平均平动动能及气体，温度。
[解]
（1）理想气体的内能E?
N?
i2
kT
（1）NV
kT
（2）
5
压强P?
nkT?
由
（1）、
（2）两式可得P?
（2）由E?
N?
又w?
32kT?
i232
2E5V
1.35?
10（Pa）
2E5kN
?
362（K）
?
21
kT则T?
?
1.38?
10
?
23
?
362?
7.5?
10
（J）
8-6一容积为10cm3的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为
5?
10
?
6
mmHg的真空，问此时管内有多少个空气分子?
这些分子的总平动动能是多少?
总转
动动能是多少?
总动能是多少?
[解]由理想气体状态方程P?
NV
kT得
8-2
N?
PVkT
?
5?
10
?
6
?
1.013?
10?
10?
10
?
23
5?
6
760?
1.38?
10?
300
?
1.61?
10
12
一个理想气体分子的平均平动动能为：
e1?
所以总的平均动能为：
E1?
N
32kT?
PVkT
?
32kT?
32PV?
35?
102
?
6
i2
kT?
32
kT
?
1.013?
10760
5
?
1.0?
10
?
6
?
1?
10
?
8
（J）
将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，而每一个双原子分子的平均转动动能为：
e2?
r2kT?
22
kT?
kT
所以总的转动动能为：
E2?
Ne2?
PVkT
kT?
PV?
5?
10
?
6
?
1.013?
10760
5
?
10?
10
?
6
?
0.667?
10
?
8
（J）
总动能Ek?
E1?
E2?
1.667?
10?
8（J）
8-7某些恒星的温度可达108K的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在。
试求：
（1）质子的平均动能是多少电子伏?
（2）质子的方均根速率是多少?
[解]质子只有3个平动自由度，所以其平均动能也就是它的平均平动动能
E?
32kT?
32
?
1.38?
10
?
23
?
10/1.602?
10
8?
19
?
1.29?
10（eV）
4
质子的方均根速率为：
p?
2
3kTmp
?
3?
1.38?
10
?
23
?
10
8
1.673?
10
?
27
?
1.58?
10（ms）
6
8-8容器内某理想气体的温度T?
273K，压强P?
1.00?
10?
3atm,密度为1.25g/m3,求：
（1）气体分子的方均根速率；
（2）气体的摩尔质量，是何种气体?
（3）气体分子的平均平动动能和转动动能；（4）单位体积内气体分子的总平动动能；
（5）气体的内能。
设该气体有0.3mol。
[解]
（1）由P?
nkT得n?
所以m?
?
n?
PkT
?
kT
P?
3kT
3P
3?
1.00?
10
?
3
所以2
?
3kTm
?
kT
?
P?
?
?
?
1.013?
10
?
3
?
3
1.25?
10
?
493（ms）
（2）气体的摩尔质量Mmol?
N0m?
N0
?
kT
p
?
6.02?
10
23
?
1.25?
10
?
3
?
1.38?
10
?
3
?
23
?
273
5
1.00?
108-3
?
1.013?
10
?
0.028?
kgmol?
所以该气体是N2或CO
（3）气体分子的平均平动动能
?
3
2kT?
3
2?
1.38?
10?
23?
273?
5.65?
10?
21?
J?
气体分子的转动动能
2?
22kT?
1.38?
10?
23?
273?
3.77?
10?
21?
J?
（4）单位体积内气体分子的总平动动能
E?
n1?
pkT?
3
2kT?
3
2p?
3
2?
1.00?
10?
3?
1.013?
105?
1.52?
102?
Jm-3?
（5）该气体的内能
E?
0.3Emol?
0.3?
i2RT?
0.3?
5
2?
8.31?
273?
1.701?
103?
J?
8-9容积为10?
10?
3m3的容器以速率200ms匀速运动,容器中充有质量为50g，温度为18℃的氢气。
设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与外界没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?
压强增加了多少?
氢分子视为刚性分子。
[解]由能量守恒定律知
M
M
mol12Mv2?
?
Ek又因?
Ek?
Mi22RT?
2MM?
mol52RT?
274mol
所以?
T?
由p?
N
V
V5Rv?
mv5k3.35?
10?
4?
10?
235?
1.38?
10?
1.9?
K?
kTk?
?
T?
Mk?
T
mV?
50?
10?
3
?
p?
N?
1.38?
10
?
27?
23?
1.9?
33.35?
10?
10?
10?
3.95?
104?
Pa?
8-10一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几（不计振动自由度）?
[解]由水的分解方程知，1mol水蒸气分解为1mol氢气和
1mol水蒸气的内能E1?
1mol氢气的内能E2?
1
2625212RT?
3RTRT?
5
2RT?
5
4RT12mol氧气。
设温度为T，mol氧气的内能E3?
所以?
E?
E2?
E3?
E1?
34RT
8-4
所以内能增加的百分比为
?
EE1
?
100%?
25%
8-11求速度与最概然速率之差不超过最概然速率1%的分子数占分子总数的百分比。
[解]根据题意，由麦克斯韦分布定律
?
NN
?
4?
m?
?
?
2kT?
?
3e
?
mv
2
2kT
v?
v
2
又vp?
2kTm
4
?
v?
?
?
?
?
v?
?
p?
2
所以
?
NN
?
vpe
?
3
v?
v?
2
4?
v?
?
?
vpvp?
?
?
?
e?
?
2
?
v?
?
?
?
?
v?
?
p?
2
?
vvp
?
?
?
v?
?
?
0.02vpv?
在vp附近，v?
vp?
v?
?
?
p100?
?
p100?
?
?
?
?
?
vp?
?
NN
?
4
?
e
?
1
?
0.02?
1.66%
8-12速率分布函数的物理意义是什么?
试说明下列各量的意义：
（1）f（?
）d?
；
（2）Nf（?
）d?
；（3）
?
?
2
?
1
f（?
）d?
；（4）?
Nf（?
）d?
；（5）?
?
f（?
）d?
。
?
1
?
1
?
2?
2
[答]f（?
）表示在热力学温度T时，处于平衡状态的给定气体中，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。
（1）f（?
）d?
表示某分子的速率在v~v+dv间隔内的概率；或者说速率在v~v+dv间隔内的分子数占总分子数的百分比；
（2）Nf（?
）d?
表示分子速率在v~v+dv间隔内的分子数；
（3）
?
?
2
?
1
f（?
）d?
表示分子速率在v1~v2间隔内的概率，或者说该分子速率在v1~v2间隔内
的分子数占总分子数的百分比；
（4）（5）
?
?
?
2
?
1?
2
Nf（?
）d?
表示分子速率在v1~v2间隔内的分子数；
?
1
?
f（?
）d?
无直接明显的物理意义，只能表示在v1~v2间隔内分子对速率算术平均
值的贡献。
8-13由N个粒子组成的系统，其速率分布曲线如图所示，当?
>2?
0时，f（?
）?
0，求：
（1）常数a；
（2）速率大于?
0和小于?
0的粒子数；
8-5
（3）分子的平均速率。
[解]
（1）由归一化条件知曲线下的面积S?
所以
32
v0a?
1得到a?
12
v0a?
v0a?
1
23v0
12
13
13
（2）v<v0时，曲线下的面积S1?
v>v0时，曲线下的面积S2?
（3）?
23
v0a?
，所以粒子数为N1?
23N0
N0
，所以粒子数为N2?
?
2v0
vf?
v?
dv?
av0
?
v0
vf1?
v?
dv?
?
2v0
v0
vf2?
v?
dv
由图知f1?
v?
?
vf2?
v?
?
a
所以?
?
v0
v
2
av0
dv?
?
2v0
v0
avdv?
av03
2
?
3a2
v0?
2
116
av0?
2
119
v0
8-14容积为30?
10?
3m3的容器中，贮有20?
10?
3kg的气体，其压强为50.7?
103Pa。
求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。
[解]设容器内气体分子总数为N，则有N?
MN
kTpV
pVkT
该气体分子质量为m?
最概然速率为vp?
2kTm
?
2kTpVM
kT
?
M
?
2pVM
?
2?
50.7?
10?
30?
10
20?
10
?
3
3?
3
?
3.89?
10
2
?
ms?
平均速率为?
8kT
?
1.60
kTm
?
1.60
pVM
?
1.60?
50.7?
10?
30?
10
20?
10
?
3
3
?
3
?
m
?
4.39?
10
2
?
ms?
方均根速率
v
2
?
3kTm
?
1.73
kTm
?
1.73
pVM
?
1.73?
50.7?
10?
30?
10
20?
10
?
3
3?
3
?
4.77?
10
2
?
m?
8-15质量为6.2?
10?
14kg的粒子悬浮于27℃的液体中，观测到它的方均根速率为
1.40cm/s。
（1）计算阿佛加德罗常数。
8-6
（2）设粒子遵守麦克斯韦分布律，求粒子的平均速率。
[解]
（1）由方均根速率公式
v
2
?
3RTM
mol
得到Mmol?
3?
8.31?
300
3RTv
2
阿佛加德罗常数为N0?
M
mol
M
?
3RTvm
2
?
?
1.4?
10?
?
2
2
?
6.2?
10
?
17
?
6.15?
10
23
?
mol?
（2）?
8RT
?
M
?
1.60
RTM
mol
mol
而
v
2
?
3RTM
mol
?
1.73
RTM
mol
所以?
1.601.73
v
2
?
1.601.73
?
1.40?
10
?
2
?
1.30?
10
?
2
?
ms?
?
1?
1?
8-16由麦克斯韦分布律求速率倒数的平均值?
?
。
（?
xe?
bxdx?
）。
02b?
?
?
2
?
m?
[解]f?
v?
?
4?
?
?
2kT?
?
?
1?
?
?
?
?
v?
?
32
e
?
mv
2
2kT
v
2
?
1v
f?
v?
dv?
?
?
1
?
m?
4?
?
?
v2kT?
?
32
e
?
mv
2
2kT
?
m?
vdv?
4?
?
?
2kT?
?
2
32kT
?
2m?
?
?
?
2m?
kT?
?
1
8-17大气压强随高度的变化规律为p?
p0exp（?
M
mol
gh
RT
）。
拉萨海拔约3600m，设大气温
度为27℃，而且处处相同，求拉萨的大气压是多少?
空气的摩尔质量是29?
10?
3kg/mol。
海平面处大气压为1atm。
[解]拉萨大气压强为p?
1?
e
?
2p?
10
?
3
?
9.8?
3600
8.31?
300
atm=0.663atm
8-18实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m，大气压约降低1mmHg，试用恒温度气压公式证明此结果（海平面处大气压按760mmHg计，温度取273K）。
[证明]因为大气压强随高度变化规律为p1?
p0exp?
?
?
g?
h?
?
h?
?
?
RT?
?
Mgh?
?
RT?
mol
升高?
h后大气压为p2?
p0exp?
?
?
g?
h?
?
h?
?
?
RT?
?
M
mol
?
M
p2?
p0exp?
?
?
mol
8-7
所以
?
Mmolgh
?
p?
p2?
p1?
p0exp?
?
RT?
?
?
760?
1?
?
exp
?
?
3
?
?
?
?
exp?
?
?
?
Mmolg?
h?
?
?
?
?
1?
RT?
?
?
?
?
?
?
1?
?
0.95mmHg?
?
?
?
29?
10?
9.8?
10
?
?
?
8.31?
273?
8-19重力场中粒子按高度的分布为n?
n0e?
mgh/kT。
设大气中温度随高度的变化忽略不计，在27℃时，升高多大高度，大气压强减为原来的一半。
[解]由p?
nkT知，当大气压强减为原来的一半时，n?
n02由n?
n0e?
mgh/kT得，e?
mgh/kT?
即h?
ln2?
kTmg
?
ln2?
RTM
mol
12
g
?
ln2?
8.31?
30029?
10
?
3
?
9.8
?
6080m
8-20试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率。
取分子的有效直径为
3.5?
10
?
10
m，空气平均摩尔质量为29?
10
?
3
kg/mol。
[解]平均自由程
?
?
12?
dn
2
?
kT2?
dp
2
?
1.38?
10
?
23
?
273
2?
3.14?
?
3.5?
10
?
10
?
2
?
1.013?
10
5
?
6.9?
10
?
8
?
m?
平均碰撞频率
Z?
2?
dn?
2
2?
d
2
8RT
?
M
?
10
?
pkT
?
2?
dn?
8.31?
27329?
10
?
3
2
2?
d1.60
2
RTM
5mol
?
pkT
9
mol
?
2?
3.14?
?
3.5?
10?
?
1.60?
?
1.013?
101.38?
10
?
23
?
273
?
6.2?
10
?
s?
?
1
8-21一定量的理想气体贮于固定体积的容器中，初态温度为T0，平均速率为?
0，平均碰撞频率为Z0，平均自由程为?
0。
若温度升高为4T0时，求?
、z和?
各是多少?
[解]平均速率?
8RT
?
M
mol
故当T?
4T0时，?
2
8RT0
?
M
?
2v0
mol
平均碰撞频率Z?
?
d2n
因为容器体积不变，分子数密度不变，所以Z?
?
d2?
2?
d2v0n?
2Z0
8-8
平均自由程?
?
1
2?
dn2
由于n不变，所以?
?
?
0
8-22设气体放电管中气体分子数密度为n。
电子不断与气体分子碰撞，因电子速率远大于气体分子的平均速率，所以气体分子可以认为是不动的，设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径d来可忽略不计。
求电子与气体分子碰撞的平均自由程。
[解]因为电子的有效直径可以忽略不计，所以电子与气体分子碰撞的有效班级功能为d2，所以一秒钟时间内电子和其他分子碰撞的平均次数为
21?
d?
2Z?
?
?
?
n?
?
dn4?
2?
所以平均自由程为?
?
Z?
4
?
dn2
8-23在质子回旋加速器中，要使质子在1?
105km的路径上不和空气分子相撞，真空室内的压强应为多大?
设温度为300K，空气分子的有效直径为3.5?
10?
10m，质子的有效直径可忽略不计，空气分子可认为静止不动。
[解]空气分子的有效直径为3?
10?
10m，因为质子的有效直径可以忽略不计，所以质子与空气分子碰撞的有效半径为d2，碰撞的有效面积为?
?
d2?
2
按题意，要求在体积V?
?
?
d2?
l?
l?
1?
105km?
最多有一个分子才能满足条件，所2
以单位体积内空气分子数为n?
1
V?
44?
dlkT?
24?
1.38?
10
3.14?
?
3.5?
10?
23?
10所以空气压强为p?
nkT?
?
300?
dl2?
2?
108?
4.3110?
10?
Pa?
8-24真空管的线度为10?
2m，其中真空度为1.33?
10?
3Pa，设空气分子的有效直径为
?
103?
10m，求27℃时单位体积内的分子数，平均自由程和平均碰撞频率。
[解]由p?
nkT知
n?
p
kT?
1.33?
10
1.38?
10?
23?
3?
300?
3.21?
1017?
m?
3
平均自由程?
?
1
2?
dn2?
12?
3.14?
?
3?
10?
10?
2?
3.21?
1017?
m?
10?
2?
m?
>10?
2?
m?
而真空管的线度为10?
2m，所以分子间很难碰撞，空气分子与器壁碰撞，所以其自由程为10?
2m。
平均碰撞频率由?
?
Z知
8-9
Z?
?
?
8RT1
?
Mmol?
?
8?
8.31?
3003.14?
29?
10?
3?
102?
4.68?
104?
s?
?
1
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