1505 C.docx
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1505C
第四届“互动出版杯”数学中国
数学建模网络挑战赛
承诺书
我们仔细阅读了第四届“互动出版杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们允许数学中国网站（）公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。
我们的参赛队号为：
参赛队员（签名）：
队员1：
张宇
队员2：
刘姿欢
队员3：
李蒙
参赛队教练员（签名）：
参赛队伍组别：
本科组
第四届“互动出版杯”数学中国
数学建模网络挑战赛
编号专用页
参赛队伍的参赛队号：
（请各个参赛队提前填写好）：
1505
竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：
竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：
2011年第四届“互动出版杯”数学中国
数学建模网络挑战赛第二阶段
题目基于概率分布模型的车辆保险奖罚系统和风险评估系统的设计与分析
关键词伽马分布负二项分布泊松分布ParetoDistribution概率分布模型
摘要：
随着汽车保有量的增长，汽车保险的地位也在中国的市场中占据了越来越重要的地位。
汽车保险业带来高额利润的同时也带来了激烈的竞争。
为了再竞争中获得有利地位，各个公司推出了保险浮动优惠政策。
因此，一个好的保险浮动方案成为一个亟待研究的问题。
我们对表格中数据进行简单分析，了解到对保险浮动的影响因素主要有车辆的出险次数，车辆的使用性质和车辆的险种。
由于市场上险种的不同导致政策的不同，所以对这两个险种分开讨论，在此基础上分别对车辆使用性质和车辆出险次数进行了详细的分析，应用负二项分布，泊松分布，伽马分布和Pareto分布的方法，运用概率分布模型对保险浮动做了分析。
机动车辆保险经营风险没有引起足够的重视,没有采取相应措施控制保险经营风险的发生。
所以一个良好的风险评估系统成为评定公司业绩好坏的标准。
车辆的风险同样分为商车险和交强险两个方向考虑，并根据各个车辆的使用性质对风险性进行细致分析，得出风险评估结果，并根据结果对该公司今后的风险控制制定出建议。
参赛队号1505
所选题目C
英文摘要（选填）
（此摘要非论文必须部分，选填可加分，加分不超过论文总分的5%）
Alongwiththegrowthofautopossession,autoinsuranceinChina'sstatusinthemarketoccupiesamoreandmoreimportantrole.Autoinsuranceprofitsatthesametimealsobringbroughtcompetition.Inordertoobtainadvantageouspositionincompetitionagain,eachcompanylaunchedinsurancefloatpreferentialpolicies.Therefore,agoodinsurancefloatschemebecomesaproblemdemandingpromptstudy.
Wesummarizefromtheofferedform,understandtoinsurancefloatingwithfactorsvehiclesbeorgetoutofdanger,theuseofcarsoftennatureandvehicleisplanted.Duetothedifferentplantedonthemarket，thepolicyisdifferent,soforthetwodiscussedplantedapart,onthebasisofvehicleuserespectivelynatureandcarbeorgetoutofdangertimesareanalyzedindetail,andapplicationofnegativeBinomialDistribution,Poissondistribution,GammaDistributionandPoissondistributionmethod,usingprobabilitydistributionmodelareanalyzedtoinsurancefloat.
Motorvehicleinsurancebusinessriskwasnotcauseenoughattention,noadoptcorrespondingmeasurestocontroltheinsurancebusinessriskoccurs.Soagoodriskassessmentsystembecomethestandardqualityevaluationcompanyperformance.Alsoariskofvehiclesintobusinesscarinsuranceandinsurancetwodirectionconsideredaccordingtoeachvehicleusepropertiesofriskwereanalyzedcarefully,drawriskassessmentresultsandbasedontheresultsofthecompany'sfurtherriskcontrolmakecorrespondingSuggestions.
目录
一问题重述·····························································1
二问题背景·····························································1
三模型假设·····························································1
四符号说明·····························································2
五模型建立及求解·······················································2
问题一·······························································2
1．对索赔次数的讨论···············································2
2.对索赔总额的分析················································4
3.对车辆用途的分析················································6
4.问题一总结······················································7
问题二·······························································8
风险评估方案······················································8
出险系数分析···················································9
赔款与签单保费的影响···········································9
保额与签单保费的影响··········································12
未决件数的影响················································16
风险评估建议······················································16
六参考书籍······························································17
七附录··································································17
基于概率分布模型的车辆保险奖罚系统和风险评估系统的设计与分析
一.问题重述
问题一：
汽车保险公司为了降低车辆出险率，鼓励保户续保，发展潜在保户，通常都会对满足一定要求的保户或者投保人给与一定比例的保费浮动优惠，请结合数据，建立合理的数学模型，以及第一阶段中对于影响续保率因素的分析，给出一套较为合理的保费浮动方案。
问题二：
公司每年要对分公司的业绩情况进行考核，一些分公司为了提高自己的考核成绩，会使用受理一些风险较大的投保或者故意拖延理赔的处理时间等方法。
因此，很多保险公司开始考虑引入风险评估机制来对分公司进行考核，潜在风险较低的分公司会得到较高的考核成绩，请建立合理的模型对参考数据中的汽车保险公司进行潜在风险的评估，并通过对模型的深入分析对该公司今后的风险控制提出建议。
二．问题背景
近几年，国内汽车销售市场异常火爆，汽车保险已经与我们如影随形。
汽车保险是财产保险中的主要险种。
自2006年7月1日，交强险实施以来，车险与广大车主间有了更加亲密的关系。
除了交强险，各个保险公司有自己的商业车险产品，种类繁多。
在我国保险业，汽车保险有着不可撼动的地位。
随着汽车公司的增加竞争也越来越激烈。
各个公司为了吸引更多的客户同时获取更多的利润，在市场中脱颖而出都对客户推出了一系列的优惠政策，对保费浮动做出了相应的调整，从而获取更大的利润值。
市场竞争的激烈引导着人才的竞争，一些大型的保险公司要在全国很多地区设立分公司。
总公司每年要对分公司的业绩情况进行考核，考核结果直接影响分公司领导班子的去留。
所以一些分公司为了稳定自己的工作，提高自己的考核成绩，会使用受理一些风险较大的投保或者故意拖延理赔的处理时间等方法。
而这些是传统的考核方法不能顾及到的。
因此，很多保险公司开始考虑引入风险评估机制来对分公司进行考核，潜在风险较低的分公司会得到较高的考核成绩。
三．模型假设
1.所有保险公司提供相同的服务，即不考虑不同公司之间因为各种因素所造成的差异。
2.假设题目中的数据符合问题的实际，能够准确反映问题的现状。
3．影响车辆保费的变量因子主要是车辆出现次数，车辆用途时间，赔款额度这三个度量因子。
4.在数据中，有些车辆虽然出险，但是未向公司索赔，所以以索赔次数作为标准。
5.假设市场上的保险只存在交强险和商车险两种情况，其他的保险情况并不在考虑范围内。
6.在模型中，车辆的价格，车辆的用途和车辆的使用性质对保险浮动情况影响比较解接近，都归为车辆的使用用途中考虑。
7．因为已拖欠保单费用和理赔费用最终均由保险公司支付，因此与财务赔款一项合并。
四．符号说明
1．
：
表示在变量因子
取值为
时所得到的保费浮动率系数。
2.
表示在时间
内的索赔次数综合。
表示第
年的索赔次数。
3.
表示车辆的使用用途为第
种。
其中
取值为出租、租赁车，党政机关、事业团体，家庭自用车，企业非营业用车，营业货车，营业特种车。
4.
表示总数为
时每次的索赔额。
因此
5.
表示第
种使用类型的未决件数
6．将车险各种使用类型数量化，得到如此下与
对应关系
使用性质
家庭自用车
营业用车
非营业用车
党政机关、事业团体用车
出租、租赁用车
特种车
1
2
3
4
5
6
那么最终的保费浮动率
便可以表示为
五．模型建立及求解
问题一：
为了说明不同因素对保费浮动的影响力不同，对保险的类别分开讨论，即商车险和交强险分别讨论。
考虑到车辆出险次数和车辆使用性质对保费浮动的不同影响，所以分别在商车险和交强险的基础上分析这两个因素的影响度。
1．对于索赔次数的讨论。
假定给定群体的保单索赔次数服从参数为
的泊松分布，如果有关于
的分布选取参数为
的伽马分布，那么可以得出索赔次数的绝对分布，可以用一个负二项分布替代，即
对提供的数据中的交强险和商车险筛选，其次对各个车的使用性质分类，统计车险次数在各个使用性质中的数量得到下列表格：
对于交强险：
索赔次数
出租、租赁用车
营业用车
特种车
家庭自用车
非营业用车
党政机关、事业团体用车
总数
0
95
911
72
2346
393
126
3943
1
38
228
5
451
60
21
804
2
22
55
1
71
11
0
162
3
8
10
0
11
1
0
33
4
3
0
0
2
0
0
4942
对于商车险：
索赔次数
出租、租赁车
党政机关、事业团体
家庭用车
企业非营业用车
营业货车
营业特种车
总数
0
42
114
961
380
479
43
2019
1
11
24
393
96
187
2
713
2
10
3
250
24
62
2
351
3
4
6
134
11
13
0
168
4
1
4
70
7
4
0
86
5
0
2
36
1
0
0
39
5次以上
1
0
35
0
0
0
36
分析数据可以看出服从一定的数学分布，分别利用泊松分布和二项分布对以上数据进行计算拟合从而得到下表
Num
t
0
1
2
3
4
5
6
0
1.000
1
0.977
1.132
1.286
1.441
1.596
1.751
1.906
2
0.954
1.106
1.257
1.408
1.560
1.711
1.862
3
0.933
1.081
1.229
1.377
1.525
1.673
1.821
4
0.913
1.057
1.202
1.347
1.491
1.636
1.781
5
0.893
1.035
1.176
1.318
1.460
1.601
1.743
6
0.874
1.013
1.152
1.290
1.429
1.568
1.706
7
0.856
0.992
1.128
1.264
1.400
1.535
1.671
8
0.839
0.972
1.105
1.238
1.372
1.505
1.638
9
0.826
0.953
1.084
1.214
1.345
1.475
1.605
10
0.807
0.935
1.064
1.191
1.319
1.446
1.574
可以发现，泊松分布的拟合结果不如负二项分布的拟合度好，因此采用负二项分布模型来设计保费浮动方案。
同时也可以得到出险次数对保险浮动的影响力度比较强，在出险次数为1到2次时，保险优惠基本相同，且维持再一个较高的水平上，但是随着出险次数的增加，保险优惠浮动逐渐减小，当车辆出险次数超过5次之后，由于一些公司的拒保导致该车辆投保所出的钱会高于浮动前保额。
根据上述表格和数据分析，对上述结果进行Pareto分布拟合得到以下出险次数与优惠浮动系数表为：
Num
0
1
2
3
4
5
6次以上
0.60
0.85
1.02
1.35
1.58
2.55
3.79
2.对于索赔总额的分析。
的条件分布服从参数为
的指数分布，同样假设
是服从参数为
的伽马分布，其中
>0为形状参数，
>0为规模参数，即
则索赔数量的非条件分布为：
因此索赔数量的非条件分布为参数为
的帕累托分布，故
，
可以得出期望索赔数量
的后验分布是
的密度函数，因此索赔总额服从帕累托分布，
，
首先对表格中的险种进行分类统计，在交强险和商车险的前提下对各个车辆的使用性质进行分类统计，同时根据求概率方法得到下列表格：
对于交强险：
索赔次数
出租、租赁用车
企业用车
特种车
家庭自用车
非营业用车
党政机关、事业团体用车
1
37539.39
815562.7
9413.71
671920.6
59992.6
14785.4
2
35379.39
96298.32
3105
95358.64
23776.41
0
3
47717.32
780800.5
0
26963.89
380
0
4
15289
0
0
1713
0
0
对于商车险：
索赔次数
出租、租赁车
党政机关、事业团体
家庭用车
企业非营业用车
营业货车
营业特种车
1
0
125765.09
1261323.83
318951.48
1375724.04
30500
2
571
11031.89
1367986.28
61381.25
831879.26
40580
3
2000
15411.6
873965.87
244370.75
229600.2
0
4
0
17398.19
456923.8
124162.35
60379.51
0
5
0
11140.6
316223.07
6111.9
0
0
5次以上
0
0
429436.94
0
0
0
观察统计得到的数据，可以看出这些数据服从一定的数学分布，利用数学方法对这些数据进行帕累托拟合的数据分析，结合现实社会中的状况可以得到：
Money（100元）
t
2以下
2--10
10--20
20--50
50--100
100--1000
1000以上
0
1.000
1
0.935
1.02
1.344
1.564
1.697
1.887
1.989
2
0.878
1.01
1.201
1.359
1.548
1.651
1.956
3
0.828
0.99
1.023
1.204
1.436
1.441
1.876
4
0.783
0.978
0.997
1.069
1.325
1.354
1.749
5
0.743
0.958
0.978
0.998
1.263
1.287
1.556
6
0.706
0.912
0.956
0.978
1.102
1.136
1.382
7
0.673
0.854
0.934
0.968
0.998
1.099
1.224
8
0.643
0.816
0.903
0.936
0.976
0.974
1.080
9
0.616
0.755
0.854
0.904
0.951
0.960
0.998
10
0.591
0.707
0.796
0.868
0.942
0.955
0.978
从以上的表格中可以看出，对于交强险来说，出租、租赁用车，企业用车和家庭自用车索赔总额会比较高，随着时间的推移，赔款总额在相对的减少，分析可能由于时间增长，驾驶员对车辆的熟悉程度增加，从而交通事故发生的次数逐渐减少。
而且大部分赔款金额分布再中间阶段，分析可能和车辆的使用用途有一定的关联。
根据上述表格和分析，并对数据根据负二项分布拟合得出结果列出索赔额的决定本年优惠系数表为：
Money（100元）
2以下
2--10
10--20
20--50
50--100
100--1000
1000以上
0
1
0.981
0.967
0.901
0.879
0.841
0.799
3.对车辆用途的分析.
用来表示车辆的使用性质。
包括有出租、租赁车，党政机关、事业团体，家庭自用车，企业非营业用车，营业货车和营业特种车这几种。
对于交强险：
出租、租赁用车
企业用车
特种车
家庭自用车
非营业用车
党政机关、事业团体用车
总盈利
总利润
132094.9
1513791
103961.3
1962749
384245.9
120997.6
4217840
比率
0.031318139
0.358902
0.024648
0.465345
0.0911
0.028687
1
对于商车险：
出租、租赁车
党政机关、事业团体
家庭用车
企业非营业用车
营业货车
营业特种车
总盈利
总利润
2571
191888
5451520
761089.6
2497583
71080
8975731
比率
0.00029
0.02138
0.607362
0.084794
0.27826
0.007919
1
以上是对各个使用性质对车利润的分析数据。
对于每种车的使用性质，签单之前的优惠政策影响下的数据统计结果为如下表格：
优惠折扣
出租、租赁用车
营业用车
特种车
家庭自用车
非营业用车
党政机关、事业团体用车
总数
>1
升级会员 