高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目.docx
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高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
2012江西财经大学数学建模竞赛
（C题）
住房贷款最优方案研究
参赛队员:
徐蒋军、李立强、涂阳阳、叶罗清雯
参赛队编号：
2012073
2012年5月26日~5月31日
2012江西财经大学数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了江西财经大学数学建模竞赛的竞赛章程。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：
C
我们的参赛队编号为2012073
参赛队员（打印并签名）：
队员1.姓名徐蒋军专业班级10级信息管理与信息系统1班
队员2.姓名李立强专业班级10级信息管理与信息系统1班
队员3.姓名涂阳阳专业班级10级信息管理与信息系统1班
队员4.姓名叶罗清雯专业班级10级信息管理与信息系统1班
日期：
2012年5月31日
2012江西财经大学数学建模竞赛
编号和阅卷专用页
参赛队编号：
2012073
参赛队员填写
参赛队
员姓名
所有数学类与计算机类课程成绩
（意愿参加全国竞赛者填写）
是否选修数学建模课程
是否有意愿参加全国竞赛
徐蒋军
《高等数学（I）》97分《C语言程序设计》94分
《高等数学（II）》92分《C++面向对象设计》93分
《线性代数（I）》86分
是
是
李立强
《高等数学（I）》94分《C语言程序设计》91分
《高等数学（II）》90分《C++面向对象设计》88分
《线性代数（I）》89分
是
是
涂阳阳
《高等数学（I）》85分《C语言程序设计》72分
《高等数学（II）》73分《C++面向对象设计》88分
《线性代数（I）》86分
是
是
叶罗清雯
《高等数学（I）》74分《C语言程序设计》63分
《高等数学（II）》88分《C++面向对象设计》70分
《线性代数（I）》70分
是
是
阅卷填写，参赛者不得填写
评分（百分制）
评阅人
最终得分
小组评价负责人
阅卷
专家
评语
备注
1、是否选修数学建模：
指本学期是否选修了数学建模课程
2、是否有意愿参加全国竞赛：
指参加今年的全国大学生数学建模竞赛，一经选定，不得退赛，否则将建议学生所在学院给予处分。
培训时间：
2012年7月25日开始。
江西财经大学数学建模竞赛组委会
2012年5月15日制定
住房贷款最优方案研究
摘要
随着社会的进步和人民生活的越来越富裕，自己为建筑房子的人越来越少，更多人倾向于直接在城市中购房。
房地产暴热的同时，也把房价给狠狠地提了上去，以至于很多人都拿不出足够的钱去买房子。
正所谓，方法总比问题多。
购房贷款的出现，缓解了人们购房的压力。
住房贷款有三种方式，分别是个人商业性住房贷款、住房公积金贷款和个人住房组合贷款。
购房时使用住房公积金贷款买房最实惠，其贷款的月利率仅约为商业性贷款利率的2/3。
然而更多时候当公积金贷款金额小于所须贷款金额时，这也不得不继续申请商业性住房贷款，这就是我们所称的个人住房组合贷款。
其还款方式又可分为两种，即等额本金还款方式和等额本息还款方式。
在这个问题的解决过程中，我们首先考虑住房公积金贷款方式。
小王夫妇有存款25万元。
由于是购买一套房，所以应交的首付不得低于30%（即21万元）。
当然首付是交的越多越好，这样可以减少贷款的压力。
在最佳条件下，我们可以将25万全部付给首付，这样我们还缺少45万元。
另外，由于住房公积金贷款的金额最高只能是40万元，所以我们必须使用商业贷款额外再贷款5万元，这样是最佳的贷款组合。
当然另外选择最好的还款方案也是非常重要的。
通过还款方式、贷款总额和使还款总额最小，我们可以确定最优的还款方案，如确定最优额月还款金额和还款年限。
当然另外根据你未来收入的预测情况，你还可以直接选定某种还款方式。
等额本金还款相对等额本息还款而言,总的利息支出较低,但是前期支付的本金和利息较多,还款负担逐月递减。
这种方式很适合目前收入较高，但是已经预计到将来收入会减少的人群。
对于年终的奖金发放，我们还可以考虑通过提前还款的方法来减少贷款和利息。
这样可以减少还款总额。
由于在有些地方提前还款可能会涉及到违约金的问题，在此文中我们将不考虑违约金问题。
另外，有很多因素都会影响到我们的贷款计划，所以我们都应该考虑周到。
关键词：
购房贷款公积金贷款商业贷款组合贷款等额本金还款等额本息还款提前还款
一、问题重述：
2010年春节以后，在整体房价上涨、通货膨胀的预期影响下，投机、投资及自住型购房三管齐下，房产市场出现抢购潮，价格也随之扶摇直上，高烧不退，部分城市因房价上涨快，百姓怨声载道，生活安定感全无，如政府继续坐视不管，将直接导致社会不稳定局面的发生。
1－4月份，经过近几天量的交易量以后，政府出手的时机到了。
抑制房价过快增长已经不是经济问题而直接是政治问题了。
因此国家领导决定推出房产新政，核心内容主要是以下几点：
1、提高二套房首付比例。
2、提高贷款利率的优惠门槛。
3、提高异地置业的投资门槛。
以上三条，其引导目标明确，直指房产投机或投资。
小王计划购买一套总房价为70万元的住房，小王夫妇两人年均收入约为18万，其中月收入1万2千元，年底有3万6千元的年终奖，月均开支约为4500元，另外小王夫妇有25万元的存款。
现要求根据小王夫妇的实际情况建立适当的数学模型，解决如下问题：
（1）制定一套合适小王夫妇的贷款计划。
（2）考虑到小王夫妇的未来收入会增长的情况，制定出相应的贷款计划。
（3）若小王夫妇有一个3岁的小孩，未来要面临上幼儿园、小学、中学等问题，做出调整该夫妇的贷款计划。
（4）分析其它影响贷款计划的因素。
二、模型假设：
1、小王夫妇是买第一套房。
2、小王夫妇是在月末时购房，首付可以是25万。
3、夫妻俩在贷款期限内月收入、年底年终奖和生活基本开支均不变。
4、小王夫妇除去生活基本开支外，工资均可用来还贷。
5、小王夫妇的月工资和年终奖金不用纳税。
6、小王夫妇每个月都会准时还贷款，而不会被罚违约金。
7、不考虑国家在贷款利率方面的调整因素。
8、夫妻俩的住房公积金缴存比例均为12%，并且享有住房公积金贷款的权力。
9、夫妻俩的住房公积金贷款最高额度为40万元。
10、不涉及提前还款的问题。
三、变量说明：
A1表示公积金贷款总额（单位：
万元）
A2表示商业性贷款总额（单位：
万元）
m表示贷款期限（单位：
月）
r表示月贷款利率
β1表示公积金贷款月利率
β2表示商业性贷款月利率
Xn表示第n个月公积金月还款额（单位：
万元）
Yn表示第n个月商业性贷款月还款额（单位：
万元）
Sn表示第n个月还款额（单位：
万元）
S表示每个月还款额（单位：
万元）
Pn表示第n个月的公积金贷款的利息（单位：
万元）
Qn表示第n个月的商业性贷款的利息（单位：
万元）
Z表示最终还款总额（单位：
万元）
四、问题一：
如何确定贷款计划
1.问题分析
在上面的假设情况下，由于买的是一套房，首付比例只要不低于30%就可以了，而银行存款有25万元大于房款的30%（21万元），首付可以多付点，这样贷款金额就可以尽可能的少，也减少利息费用。
因此首付可以是25万元。
这样贷款只需要45万元。
购房贷款有三种方式：
商业性个人住房贷款、住房公积金贷款、个人住房组合贷款。
由于前面我们假设小王夫妇享有住房公积金贷款的优惠，所以可以优先考虑住房公积金购房贷款。
贷款的还款又可分为等额本息还款和等额本金还款两种还款方式。
1.等额还款法：
即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。
2.等额本金还款：
又称利随本清、等本不等息还款法。
贷款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。
等额本金相对等额本息而言,总的利息支出较低,但是前期支付的本金和利息较多,还款负担逐月递减。
这种方式很适合目前收入较高，但是已经预计到将来收入会减少的人群。
常用计算公式：
当月利息=上月剩余本金×月利率
月还款额=当月本金还款+当月利息
当月剩余本金=上月剩余本金-当月本金还款
月利率=年利率÷12。
由于住房公积金贷款的利率明显低于个人商业性住房贷款的利率，因此我们可得出定理1。
定理1：
对于贷款购房问题，使用住房公积金贷款优于使用个人商业性住房贷款。
定理2：
贷款年限越高，所还款的利息就越多，即归还的钱越多。
由于公积金贷款最多只能贷款40万元。
根据定理1可得，所以我们可用公积金贷款40万元，其余5万元使用商业性贷款。
小王夫妇月工资为1万2千元，月基本均开支为4500元，所以每月可以有7500元钱用来还贷款。
2.模型建立与求解
（1）采用等额本金还款方式：
首先，我们计算公积金的还款额，等额本金还款，即每月还款本金相同，利息逐年减少。
Pn表示第n个月应付的公积金利息，则Xn表示第n个月应付的公积金月还款额。
第一个月应付的公积金利息为：
P1=A1*β1=400000β1
第一个月应付的公积金还款额：
X1=A1/m+P1=400000/m+400000β1
第二个月应付的公积金利息为：
P2=[A1-（A1/m）*1]*β1=[400000-（400000/m）]β1
第二个月应付的公积金还款额：
X2=A1/m+P2=400000/m+[400000-（400000/m）]β1
第三个月应付的公积金利息为：
P3=[A1-（A1/m）*2]*β1=[400000-（400000/m）*2]β1
第三个月应付的公积金还款额：
X3=A1/m+P3=400000/m+[400000-（400000/m）*2]β1
……
第m个月应付的公积金利息为：
Pm=[A1-（A1/m）*（m-1）]*β1=[400000-（400000/m）*（m-1）]β1
第m个月应付的公积金还款额：
Xm=A1/m+Pm=400000/m+[400000-（400000/m）*（m-1）]β1
所以公积金还款模型为：
MinX1+X2+X3+……+Xm
P1=A1*β1=400000β1
X1=A1/m+P1=400000/m+400000β1
P2=[A1-（A1/m）*1]*β1=[400000-（400000/m）]β1
X2=A1/m+P2=400000/m+[400000-（400000/m）]β1
P3=[A1-（A1/m）*2]*β1=[400000-（400000/m）*2]β1
X3=A1/m+P3=400000/m+[400000-（400000/m）*2]β1
……
Pm=[A1-（A1/m）*（m-1）]*β1=[400000-（400000/m）*（m-1）]β1
Xm=A1/m+Pm=400000/m+[400000-（400000/m）*（m-1）]β1
同理可计算出商业性贷款的模型：
MinY1+Y2+Y3+……+Ym
Q1
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