北京市各区县以来一模二模中的四边形综合题.docx
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北京市各区县以来一模二模中的四边形综合题
四边形综合题
(2010昌平一模)1.
(1)已知:
如图1,△中,分别以、为一边向△外作正方形和,直线于,若于,于.判断线段的数量关系,并证明;
(2)如图2,梯形中,∥,分别以两腰、为一边向梯形外作正方形和,线段的垂直平分线交线段于点,交于点,若于,于.
(1)中结论还成立吗?
请说明理由.
(2010延庆一模)2.在图25-1至图25-3中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGF和
CDHN都是正方形.AE的中点是M.
(1)如图25-1,点E在AC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,
求证:
FM=MH,FM⊥MH;
(2)将图25-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图25-2,
求证:
△FMH是等腰直角三角形;
(3)将图25-2中的CE缩短到图25-3的情况,△FMH还是等腰直角三角形吗?
(不必说明理由)(相似形)
(2010昌平二模)3.如图1,在菱形中,点分别为边上的动点(都与菱形的顶点不重合),连接、、.
(1)若,且,判断的形状,并说明理由;
(2)在
(1)的条件下,设菱形的边长为,求面积的最小值.
(2010崇文一模)4.在中,,点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD右侧作正方形ADEF。
(1)如果,如图,且点D在线段BC上运动。
试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论。
(2)如果,如图,且点D在线段BC上运动。
(1)中的结论是否成立,为什么?
(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P,设,,,求线段CP的长(用含的式子表示)。
(2010西城一模)5.如图1,在□ABCD中,AE⊥BC于E,E恰为BC的中点,.
(1)求证:
AD=AE;
(2)如图2,点P在BE上,作EF⊥DP于点F,连结AF.
求证:
;
(3)请你在图3中画图探究:
当P为射线EC上任意一点(P不与点E重合)时,作EF⊥DP于点F,连结AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?
直接写出你的结论.
(2011丰台一模)6.已知:
在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:
(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则CD=;
(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则CD=;
(3)如图3,当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
图1图2图3
(2011朝阳二模)7.若△ABC和△ADE均为等边三角形,M、N分别是BE、CD的中点.
(1)当△ADE绕A点旋转到如图①的位置时,求证:
CD=BE,△AMN是等边三角形;
(2)如图②,当∠EAB=30°,AB=12,AD=时,求AM的长.
(2011朝阳一模)8.已知:
△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,点M是CE的中点,连接BM.
(1)如图①,点D在AB上,连接DM,并延长DM交BC于点N,可探究得出BD与BM的数量关系为;
(2)如图②,点D不在AB上,
(1)中的结论还成立吗?
如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.
图②
图①
(2011东城二模)9.如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6.△ECD是△ABC沿CB方向平移得到的,连结AE,AC和BE相交于点O.
(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,并证明你的结论;
(2)如图2,P是线段BC上一动点(不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AE于点Q,QR⊥BD,垂足为点R.
四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?
若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积;
当线段BP的长为何值时,以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似?
(2011中考)10.在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F。
(1)在图1中证明;
(2)若,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若,FG∥CE,,分别连结DB、DG(如图3),求∠BDG的度数。
(2011东城二模)11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,E是AB中点,DE∥AC交BC于D,F在DE的延长线上,并且AF=CE。
(1)求证:
四边形ACEF是平行四边形。
(2)当∠B的大小满足什么条件时,四边形ACEF是菱形?
请证明你的结论。
(3)四边形ACEF有可能是矩形吗?
为什么?
(2011门头沟二模)12.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,且AD=1,AB=2,tan∠DCB=2,对角线AC和BD相交于点O.在等腰直角三角形纸片EBF中,∠EBF=90°,EB=FB.把梯形ABCD固定不动,将三角形纸片EBF绕点B旋转.
(1)如图1,当三角形纸片EBF绕点B旋转到使一边BF与梯形ABCD的边BC在同一条直线上时,线段AF与CE的位置关系是,数量关系是;
(2)将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针继续旋转,旋转角为(),请你在图2中画出图形,并判断
(1)中的两个结论是否发生变化,写出你的猜想并加以证明;
(3)将图1中的三角形纸片EBF绕点B逆时针旋转到一边BF恰好落在线段BO上时,
三角形纸片EBF的另一边EF与BC交于点M,请你在图3中画出图形.
①判断
(1)中的两个结论是否发生变化,直接写出你的猜想,不必证明;
②若,求BM的长.
(2011平谷二模)13.已知:
如图①,正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,
过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:
EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
通过观察你还能得出什么结论?
(均不要求证明)
(2011燕山二模)14.已知:
如图1,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B和∠D都是直角.
⑴求证:
BC=CD.
⑵若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽
为“∠B和∠D互为补角”,其余条件不变,猜想:
BC边
和邻边CD的长度是否一定相等?
请证明你的结论.
⑶探究:
在⑵的情况下,如果再限制∠BAD=60°,
那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么
确定的数量关系?
需说明理由.
(2012石景山一模)15.
(1)如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC,M是AB的中点.直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系;
(2)如图2,若四边形ABCD是平行四边形,AB=2BC,M是AB的中点,过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E.
①若∠A为锐角,则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系,并证明你的结论;
②当时,上述结论成立;
当时,上述结论不成立.
(2012西城一模)16.已知:
在如图1所示的锐角三角形ABC中,CH⊥AB于点H,点B关于直线CH的对称点为D,AC边上一点E满足∠EDA=∠A,直线DE交直线CH于点F.
(1)求证:
BF∥AC;
(2)若AC边的中点为M,求证:
;
(3)当AB=BC时(如图2),在未添加辅助线和其它字母的条件下,找出图2中所有与BE相等的线段,并证明你的结论.
图1图2
(2012延庆一模)17.如图1,已知:
已知:
等边△ABC,点D是边BC上一点(点D不与点B、点C重合),
求证:
BD+DC>AD
下面的证法供你参考:
把绕点A瞬时间针旋转得到,连接ED,
则有,DC=EB
∵AD=AE,
∴是等边三角形
∴AD=DE
在中,BD+EB>DE
即:
BD+DC>AD
实践探索:
(1)请你仿照上面的思路,探索解决下面的问题:
如图2,点D是等腰直角三角形△ABC边上的点(点D不与B、C重合),
求证:
BD+DC>AD
(2)如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时,BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系?
直接写出结论.
创新应用:
(3)已知:
如图3,等腰△ABC中,AB=AC,且∠BAC=(为钝角),D是等腰△ABC外一点,且∠BDC+∠BAC=180º,BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系?
写出你的猜想,并证明.
(2012门头沟一模)18.阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题:
如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为DC、BC边上的点,∠EAF=45°,连结EF,求证:
DE+BF=EF.
小伟是这样思考的:
要想解决这个问题,首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法,发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG(如图2),此时GF即是DE+BF.
请回答:
在图2中,∠GAF的度数是.
参考小伟得到的结论和思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(AD>BC),
∠D=90°,AD=CD=10,E是CD上一点,若∠BAE=45°,
DE=4,则BE=.
(2)如图4,在平面直角坐标系xOy中,点B是x轴上一
动点,且点A(,2),连结AB和AO,并以AB为边向上作
正方形ABCD,若C(x,y),试用含x的代数式表示y,
则y=.
(2012怀柔一模)19.探究:
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果:
;
(2)如图2,若把
(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD”,则
(1)问中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;
(3)在
(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,
如图3所示,其它条件不变,则
(1)问中的结论是否发生变化?
若变化,请给出结论并予以证明..
(2012东城一模)20.如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60°,M是BC的中点.
(1)求证:
△MDC是等边三角形;
(2)将△MDC绕点M旋转,当MD(即MD′)与AB交于一点E,MC(即MC′)同时与AD交于一点F时,点E,F和点A构成△AEF.试探究△AEF的周长是否存在最小值.如果不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF周长的最小值.
(2012朝阳一模)21.阅读下面材料:
问题:
如图①,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°,DC=2.求BD的长.
小明同学的解题思路是:
利用轴对称,把△ADC进行翻折,再经过推理、计算使问题
得到解决.
(1)请你回答:
图中BD的长为;
(2)参考小明的思路,探究并解答问题:
如图②,在△ABC中,D是BC边上的一点,若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°,DC=2,求BD和AB的长.
(2012密云二模)22.定义:
到凸四边形一组对边距离相等,到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图1,,,则点就是四边形的准内