高等数学课后习题答案同济版高等数学课后习题答案.docx
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高等数学课后习题答案同济版高等数学课后习题答案
高等数学课后习题答案,同济版高等数学课后习题答案
习题8-1
1.设有1个面薄板(不计其厚度),占有xOy面上的闭区域D,薄板上分布有面密度为μ=μ(x,y)的电荷,且μ(x,y)在D上连续,试用二重积分表达该板上的全部电荷Q.
解用一组曲线将D分成n个小闭区域Δσi,其面积也记为Δσi(i=1,2,?
?
n).任取一点
(ξi,ηi)∈Δσi,则Δσi上分布的电量ΔQ≈μ(ξi,ηi)Δσi.通过求和、取极限,便得到该板上的全部电荷为
Q=lim∑μ(ξi,ηi)Δσi=∫∫μ(x,y)dσ,
λ→0
i=1
D
n
其中λ=max{Δσi的直径}.
1≤i≤n
2.设I1=∫∫(x2+y2)3dσ其中D1={(x,y)?
1≤x≤1,?
2≤y≤2};又I2=∫∫(x2+y2)3dσ
D1
D2
其中D2={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤2}.试利用二重积分的几何意义说明I1与I2之间的关系.
顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体Ω1的解由二重积分的几何意义知,I1表示底为D1、
体积;I2表示底为D2、顶为曲面z=(x2+y2)3的曲顶柱体Ω2的体积.由于位于D1上方的曲面z=(x2+y2)3关于yOz面和zOx面均对称,故yOz面和zOx面将Ω1分成4个等积的部分,其中位于第一卦限的部分即为Ω2.由此可知I1=4I2.
3.利用二重积分定义证明:
(1)∫∫dσ=σ
D
(其中σ为D的面积);
(其中k为常数);
1
2
(2)(∫∫kfx,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ
D
D
(3)
∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ,其中D=D∪D
D
D1
D2
,D1、D2为2个无公共
内点的闭区域.
证
(1)由于被积函数f(x,y)≡1,故由二重积分定义得
∑f(ξ,η)Δσ∫∫dσ=limλ
D
→0
i
i
i=1
n
n
i
=lim∑Δσi=limσ=σ.
λ→0
i=1
n
λ→0
(2)∫∫kf(x,y)dσ=lim∑kf(ξi,ηi)Δσi=klim∑f(ξi,ηi)Δσi=k∫∫f(x,y)dσ.
D
n
λ→0
i=1
λ→0
i=1
D
(3)因为函数f(x,y)在闭区域D上可积,故不论把D怎样分割,积分和的极限总是不变的,因此在分割D时,可以使D1和D2的公共边界永远是一条分割线。
这样f(x,y)在
D1∪D2上的积分和就等于D1上的积分和加D2上的积分和,记为
D1∪D2
∑f(ξi,ηi)Δσi=∑f(ξi,ηi)Δσi+∑f(ξi,ηi)Δσi.
D1
D2
令所有Δσi的直径的最大值λ→0,上式两端同时取极限,即得
D1∪D2
∫∫f(x,y)dσ=∫∫f(x,y)dσ+∫∫f(x,y)dσ.
D1
D2
4.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:
(1)∫∫(x+y)2dσ与∫∫(x+y)3dσ,其中积分区域D是由x轴、y轴与直线x+y=1所
D
D
围成;
(2)成;
∫∫(x+y)dσ与∫∫(x+y)dσ,其中积分区域D是由圆周(x?
2)
D
D
232
+(y?
1)2=2所围
(3)
∫∫ln(x+y)dσ
D
与
∫∫[ln(x+y)]dσ
D
2
,其中D是三角形闭区域,三顶点分别为
(1,0),(1,1),(2,0);
(4)∫∫ln(x+y)dσ与∫∫[ln(x+y)]2dσ,其中D={(x,y)3≤x≤5,0≤y≤1}.
D
D
解
(1)在积分区域D上,0≤x+y≤1,故有(x+y)3≤(x+y)2,根据二重积分的性质4,可得∫∫(x+y)3dσ≤∫∫(x+y)2dσ.
D
D
故在D上有(x+y)2≤(x+y)3.从
(2)由于积分区域D位于半平面{(x,y)|x+y≥1}内,而∫∫(x+y)2dσ≤∫∫(x+y)3dσ.
D
D
(3)由于积分区域D位于条形区域{(x,y)|1≤x+y≤2}内,故知D上的点满足0≤ln(x+y)≤1,从而有[ln(x+y)]2≤ln(x+y).因此∫∫[ln(x+y)]2dσ≤∫∫ln(x+y)dσ.
D
D
(4)由于积分区域D位于半平面{(x,y)|x+y≥e}内,故在D上有ln(x+y)≥1,从而有[ln(x+y)]2≥ln(x+y).因此∫∫[ln(x+y)]2dσ≥∫∫ln(x+y)dσ.
D
D
5.利用二重积分的性质估计下列积分的值:
(1)I=∫∫xy(x+y)dσ其中D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤1};
D
(2)I=∫∫sin2xsin2ydσ其中D={(x,y)0≤x≤π,0≤y≤π};
D
(3)I=∫∫(x+y+1)dσ其中D={(x,y)0≤x≤1,0≤y≤2};
D
(4)I=∫∫(x2+4y2+9)dσ其中D={(x,y)x2+y2≤4}.
D
解
(1)在积分区域D上,0≤x≤1,0≤y≤1,从而0≤xy(x+y)≤2,又D的面积等
于1,因此0≤∫∫xy(x+y)dσ≤2.
D
(2)在积分区域D上,0≤sinx≤1,0≤siny≤1,从而0≤sin2xsin2y≤1,又D的面积等于π2,因此0≤∫∫sin2xsin2ydσ≤π2.
D
(3)在积分区域D上,0≤x+y+1≤4,D的面积等于2,因此2≤∫∫(x+y+1)dσ≤8.
D
(4)在积分区域D上,0≤x2+y2≤4,从而9≤x2+4y2+9≤4(x2+y2)+9≤25,,又D的面积等于4π,因此36π≤∫∫(x2+4y2+9)dσ≤100π.
D
习题8-2
1.计算下列二重积分:
(1)
∫∫(x
DD
2
+y2)dσ,其中D={(x,y)||x|≤1,|y|≤1};
(2)(3∫∫x+2y)dσ,其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域;(3)
∫∫(x
DD
3
+3x2y+y3)dσ,其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1};
(4)∫∫xcos(x+y)dσ其中D是顶点分别为(0,0),(π,0)和(π,π)的三角形闭区域.
1?
2y3?
28解
(1)∫∫(x+y)dσ=∫dx∫(x+y)dy=∫?
xy+?
dx=∫(2x2+)dx=.
?
1?
1?
1?
13?
?
133?
D
2
2
1
1
2
2
1
1
(2)D可用不等式表示为0≤y≤3?
x,0≤x≤2,于是
∫∫(3x+2y)dσ=∫dx∫
D
02
22?
x
2?
x
(3x+2y)dy=∫[3xy+y2]0dx
2
20
=∫(4+2x?
2x2)dx=.03
(3)
323323
∫∫(x+3xy+y)dσ=∫dy∫(x+3xy+y)dxD
1
1
11?
x4?
=∫?
+x3y+y3x?
dy=∫(+y+y3)dy=1.
004?
4?
0
1
1
(4)D可用不等式表示为0≤y≤x,0≤x≤π,于是
x
∫∫xcos(x+y)dσ=∫xdx∫cos(x+y)dy=∫x[sin(x+y)]0dxD
π
x
π
=∫
π
3
x(sin2x?
sinx)dx=?
π.
2
2.画出积分区域,并计算下列二重积分:
(1)
∫∫D
σ,其中D
是由两条抛物线y=,y=x2所围成的闭区域;
(2)
∫∫xy2dσ,其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;D
(3)e∫∫x+y
dσ,其中D={(x,y)||x|+|y|≤1};
D
(4)
∫∫(x
2
+y2?
x)dσ,其中D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域.
D
解
(1)D
可用不等式表示为x2≤y≤0≤x≤
1,于是
∫∫σ=1
=2D
∫xd3∫10x?
3y?
y2
?
dx=2∫17(x4-x4)dx=60
x.
?
?
x23055
(2)D
可用不等式表示为0≤x≤?
2≤y≤
2,于是
∫∫xy2
dσ=∫2
y2
dydx=
122∫?
2y2(4?
y2)dy=64
15
.D
?
2
(3)D=D1∪D2,其中D1={(x,y)|?
x?
1≤y≤x+1,?
1≤x≤0},
D1={(x,y)|x?
1≤y≤?
x+1,0≤x≤1},于是
∫∫e
x+y
dσ=D∫∫ex+ydσ+∫∫ex+ydσ
D1
D2
=∫0exdx∫
x+1?
1?
x?
1
eydy+∫1exx+1
0dx∫
x?
1
eydy
=∫0
(e2x+1?
e?
1)dx+∫1?
1
(e?
e2x?
1)dx=e?
e?
1.
(4)D可用不等式表示为
y
2
≤x≤y,0≤y≤2,于是∫∫(x2+y2?
x)dσ=∫2
dy∫y
y(x2+y2
?
x)dxD
2
2
?
x3y
=∫
?
3
+y2
x?
x2?
?
2dy=2?
19?
y3?
3y2?
y∫0?
?
248?
?
dy=136.23.化二重积分
I=∫∫f(x,y)dσ
D
为二次积分(分别列出对2个变量先后次序不同的2个二次积分),其中积分区域D是:
(1)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域;
(2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y≥0)所围成的闭区域;(3)由直线y=x,x=2及双曲线y=
1
x
(x0)所围成的闭区域;(4)环形闭区域{(x,y)|1≤x2+y2≤4}.
解
(1)直线y=x及抛物线y2=4x的交点为(0,0)和(4,4)
,于是
I=∫4dx4y
x
f(x,y)dy或I=∫0
dy∫y2f(x,y)dx
4
(2)将D
用不等式表示为0≤y≤?
r≤x≤r,于是可将I
化为
I=∫r
?
r
dx0
f(x,y)dy;
如将D
用不等式表示为≤x≤0≤y≤r,于是可将I
化为
I=∫r
dy0
f(x,y)dx.
(3)3个交点为(1,1)、(2,1
2x2和(2,2),于是I=∫1dx1f(x,y)dy或
x
I=∫1222
1dy∫1f(x,y)dx+∫dy∫f(x,y)dx.
2
y
1y
(4)将D
划分为4块,得
I=∫?
1
1
?
2dyf(x,y)dx+∫?
1dy∫
f(x,y)dx
+∫1
2
?
1
dyf(x,y)dx+∫1
dyf(x,y)dx.
或
I=∫?
1
?
2dxf(x,y)dy+∫1
?
1dyf(x,y)dy
+∫1
dy2?
1
∫
f(x,y)dy+∫1
dyf(x,y)dy.