除法中的巧算含答案解析.docx
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除法中的巧算含答案解析
奥数专题——除法中的巧算
（一）学习方法指导
我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。
一般有这样的公式：
或
如：
或
例1.用简便方法计算下列各题。
（1）
（2）
分析：
（1）
（2）可以利用“商不变的性质”去计算。
（1）
想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。
（2）
看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。
在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。
一般公式：
如：
这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。
例2.用简便方法计算。
（1）
（2）
分析：
这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。
（1）
（2）
除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质：
（1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。
一般有：
如：
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。
一般有：
或
如：
或：
例3.计算下面各题。
（1）
（2）
分析：
这两题可以运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。
（1）
（2）
在运算中经常出现乘除混合运算及括号等，怎么办，仍有一些性质：
1.一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。
一般公式：
如：
例5.简便计算下面各题。
（1）
（2）
分析：
利用以上公式计算，发现
（1）被除数÷两个数的积，可以用下面公式计算：
（1）
（2）
2.一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。
一般的有：
如：
例6.简便计算。
（1）
（2）
分析：
以上两题可以利用乘除混合运算“去括号”，或“添括号”的性质进行巧算。
（1）
（2）
3.一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，再乘以商中的除数。
一般有：
如：
例7.简便计算下面各题。
（1）
（2）
分析：
这两题即根据小③性质去做，可“添括号”。
（1）
（2）
以上6题都是利用乘除混合运算去括号，或添括号的性质解决的。
但要注意：
我们在使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是商不能有余数。
如果商有余数，在使用这些运算性质时，余数是会发生变化的。
如：
例8.巧算下面各题。
（1）（3）
（2）（4）
分析：
以上4题，有些算式表面看起来不能进行简便运算时，可把已知数适当分解或转化，从而使计算简便。
另外，在计算时无论题目是否要求简算，都应尽量地使用简便方法，有时可反复使用有关的定律和性质。
（1）
这题我们将39分解为，然后按性质去做。
（2）
此题将125转化为
（3）
………………这一步将99转化为
此题直接利用乘法分配律计算就可以。
（4）
………………再次转化为
对接近100的两位数相乘的速算。
接近100的两位数，用被乘数减去，100减乘数的差，所得的结果作积的前两位；再用100减去被乘数的差与100减乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。
或用乘数减去，100减被乘数的差，所得的结果作积的前两位，再用100减去被乘数的差与100减去乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。
我们用这种方法计算。
例9.计算：
分析：
因为……<1>差对98而言
……<2>差对91而言
所以或
所以
用这种方法，有两种特例需要注意：
特例1.用100分别减去两个因数所得的差相乘之积不足10时，要在这个一位数前添0，否则积变成三位数就错了。
如：
速算为：
（注意8前添0）
发现：
差<1>、差<2>，用第一个因数－差<2>，再用差<2>×差<1>，最后结果是第一个因数×差<2>的结果做为前两位数，差<2>×差<1>的结果做为后两位数。
如果结果为一位数，前面要添0。
特例2.用100分别减去两个因数所得的差相乘之积大于10时，要将百位作为向前进位的数，否则积变成五位数就错了。
如：
速算为：
（注意百位上的1要向前进位）
［答题时间：
30分钟］
练习：
（1）
（2）（3）
（4）（5）（6）
【试题答案】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
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