高中物理第2章研究圆周运动习题课圆周运动学案沪科版必修2.docx

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高中物理第2章研究圆周运动习题课圆周运动学案沪科版必修2

高中物理第2章研究圆周运动习题课圆周运动学案沪科版必修2

[学习目标]1.熟练掌握圆周运动各物理量的关系以及向心力、向心加速度的公式.2.会分析圆周运动所需向心力来源.3.会分析圆锥摆在水平面内的圆周运动.4.会分析汽车过拱（凹）形桥问题．

一、描述圆周运动的各物理量间的关系

例1　如图1所示，光滑的水平面上固定着一个半径逐渐减小的螺旋形光滑水平轨道，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，下列物理量中数值将减小的是（　　）

图1

A．周期B．线速度

C．角速度D．向心加速度

答案　A

解析　轨道对小球的支持力与速度方向垂直，轨道的支持力只改变速度的方向不改变速度的大小，即小球的线速度大小不变，故B错误；根据v＝ωR，线速度大小不变，转动半径减小，故角速度变大，故C错误；根据T＝，角速度增大，故周期减小，故A正确；根据a＝，转动半径减小，故向心加速度增大，故D错误．

1．线速度v、角速度ω以及周期T之间的关系：

v＝＝ωR.

2．角速度ω与转速n的关系：

ω＝2πn（注：

n的单位为r/s）．

这些关系不仅在物体做匀速圆周运动中适用，在变速圆周运动中也适用，此时关系中各量是瞬时对应的．

二、分析圆周运动问题的基本方法

例2　如图2所示，两根长度相同的轻绳（图中未画出），连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？

图2

答案　3∶2

解析　对两小球受力分析如图所示，设每段绳子长为l，对球2有F2＝2mlω2

对球1有：

F1－F2＝mlω2

由以上两式得：

F1＝3mlω2

由牛顿第三定律得，＝.

分析圆周运动问题的基本方法：

（1）首先要明确物体做圆周运动的轨道平面、圆心和半径．

（2）其次，准确受力分析，弄清向心力的来源，不能漏力或添力（向心力）．

（3）然后，由牛顿第二定律F＝ma列方程，其中F是指向圆心方向的合外力，a是向心加速度．

针对训练1　（多选）如图3所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则（　　）

图3

A．物块始终受到三个力作用

B．物块受到的合外力始终指向圆心

C．在c、d两个位置，支持力N有最大值，摩擦力f为零

D．在a、b两个位置摩擦力提供向心力，支持力N＝mg

答案　BD

解析　物块在竖直平面内做匀速圆周运动，受到的重力与支持力在竖直方向上，c、d两点的向心力可以由重力和支持力的合力提供，其他时候要受到摩擦力的作用，故A错误；物块在竖直平面内做匀速圆周运动，匀速圆周运动的向心力指向圆心，故B正确．

设物块做匀速圆周运动的线速度为v，物块在c、d两位置摩擦力f为零，在c点有Nc＝mg－，在d点有Nd＝mg＋，故在d位置N有最大值，C错误．

在b位置受力如图，因物块做匀速圆周运动，故只有向心加速度，所以有N＝mg，f＝.同理a位置也如此，故D正确．

三、水平面内的常见圆周运动模型

例3　如图4所示，已知绳长为L＝20cm，水平杆长为L′＝0.1m，小球质量m＝0.3kg，整个装置可绕竖直轴转动．（g取10m/s2）问：

（结果均保留三位有效数字）

图4

（1）要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？

（2）此时绳子的张力多大？

答案　

（1）6.44rad/s　

（2）4.24N

解析　小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r＝L′＋Lsin45°.对小球受力分析，设绳对小球拉力为T，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．

对小球利用牛顿第二定律可得：

mgtan45°＝mω2r①

r＝L′＋Lsin45°②

联立①②两式，将数值代入可得ω≈6.44rad/s

T＝≈4.24N.

1．模型特点：

（1）运动平面是水平面．

（2）合外力提供向心力，且沿水平方向指向圆心．

2．常见装置：

运动模型

飞机在水平面内做圆周运动

火车转弯

圆锥摆

向心力的来源图示

运动模型

飞车走壁

汽车在水平路面转弯

水平转台

向心力的来源图示

四、汽车过桥问题

例4　如图5所示，质量m＝2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，g取10m/s2，则：

图5

（1）汽车允许的最大速度是多少？

（2）若以

（1）中所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？

答案　

（1）10m/s　

（2）1.0×105N

解析　

（1）汽车在凹形桥最低点时存在最大允许速度，由牛顿第二定律得：

N－mg＝m，由题意知N＝3.0×105N，

代入数据解得v＝10m/s.

（2）汽车在凸形桥最高点时对桥面有最小压力，由牛顿第二定律得：

mg－N1＝，

代入数据解得N1＝1.0×105N.

由牛顿第三定律知，汽车对桥面的最小压力等于1.0×105N.

1.汽车过拱形桥（如图6）

图6

汽车在最高点满足关系：

mg－N＝m，即N＝mg－m.

（1）当v＝时，N＝0.

（2）当0≤v<时，0

（3）当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险．

2.汽车过凹形桥（如图7）

图7

汽车在最低点满足关系：

N－mg＝，即N＝mg＋.

由此可知，汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥．

针对训练2　在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了．把这套系统放在电子秤上做实验，如图8所示，关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是（　　）

图8

A．玩具车静止在拱形桥顶端时的示数小一些

B．玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数大一些

C．玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态

D．玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大（未离开拱桥），示数越小

答案　D

解析　玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－N＝m，即N＝mg－m

1.（圆周运动各物理量之间的关系）（多选）如图9所示，一小物块以大小为a＝4m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1m，则下列说法正确的是（　　）

图9

A．小物块运动的角速度为2rad/s

B．小物块做圆周运动的周期为πs

C．小物块在t＝s内通过的位移大小为m

D．小物块在πs内通过的路程为零

答案　AB

解析　因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2rad/s，周期T＝＝πs，选项A、B正确；小物块在s内转过，通过的位移大小为m，在πs内转过一周，通过的路程为2πm，选项C、D错误．

2．（水平面内的圆周运动）两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图10所示，A运动的半径比B的大，则（　　）

图10

A．A所需的向心力比B的大

B．B所需的向心力比A的大

C．A的角速度比B的大

D．B的角速度比A的大

答案　A

解析　小球的重力和悬线的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，则F＝mgtanθ＝mω2lsinθ，θ越大，向心力F越大，所以A对，B错；而ω2＝＝，故两者的角速度相同，C、D错．

3．（汽车过桥问题）城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图11所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则（　　）

图11

A．小汽车通过桥顶时处于失重状态

B．小汽车通过桥顶时处于超重状态

C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为N＝mg－m

D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于

答案　A

解析　由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向竖直向下，由牛顿第二定律得mg－N＝m，解得N＝mg－m＜mg，故其处于失重状态，A正确，B错误；N＝mg－m只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，C错误；由mg－N＝m，N≥0解得v1≤，D错误．

4．（圆周运动中的受力分析）质量为25kg的小孩坐在质量为5kg的秋千板上，秋千板离拴绳子的横梁2.5m．如果秋千板摆动经过最低点的速度为3m/s，这时秋千板所受的压力是多大？

每根绳子对秋千板的拉力是多大？

（g取10m/s2）

答案　340N　204N

解析　把小孩作为研究对象对其进行受力分析知，小孩受重力G和秋千板对他的的支持力N两个力，故在最低点有：

N－G＝m

所以N＝mg＋m＝250N＋90N＝340N

由牛顿第三定律可知，秋千板所受压力大小为340N.

设每根绳子对秋千板的拉力为T，将秋千板和小孩看作一个整体，则在最低点有：

2T－（M＋m）g＝（M＋m）

解得T＝204N.

一、选择题

考点一　圆周运动各物理量之间的关系

1．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）

A．由a＝可知，a与R成反比

B．由a＝ω2R可知，a与R成正比

C．由v＝ωR可知，ω与R成反比

D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比

答案　D

解析　物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关．但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比．对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论．正确选项为D.

2．如图1所示，A、B是两个摩擦传动轮（不打滑），两轮半径大小关系为RA＝2RB，则两轮边缘上的（　　）

图1

A．角速度之比ωA∶ωB＝2∶1

B．周期之比TA∶TB＝1∶2

C．转速之比nA∶nB＝1∶2

D．向心加速度之比aA∶aB＝2∶1

答案　C

解析　两轮边缘上的线速度相等，由ω＝知，ωA∶ωB＝RB∶RA＝1∶2，A错．由T＝知，TA∶TB＝ωB∶ωA＝2∶1，B错．由ω＝2πn知，nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，C对．由a＝知，aA∶aB＝RB∶RA＝1∶2，D错．

【考点】与向心加速度有关的传动问题分析

【题点】与向心加速度有关的皮带（或齿轮）传动问题

3．如图2所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是（　　）

图2

A．小齿轮和后轮的角速度大小之比为16∶1

B．大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4

C．大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶4

D．大齿轮和小齿轮边缘的向心加速度大小之比为4∶1

答案　B

解析　小齿轮和后轮共轴，角速度相同，故A错误；大齿轮和小齿轮边缘上的点线速度大小相等，根据ω＝可知，大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4，故B正确；小齿轮和后轮共轴，根据v＝ωR可知，小齿轮边缘和后轮边缘的线速度之比为1∶16，则大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶16，故C错误；大齿轮和小齿轮边缘的线速度大小相等，根据a＝可知，大齿轮和小齿轮的向心加速度大小之比为1∶4，故D错误．

考点二　水平面内的圆周运动

4．如图3所示，一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于（重力加速度为g）（　　）

图3

A．mB．m

C．mD．mg

答案　A

解析　对老鹰进行受力分析，其受力情况如图所示，老鹰受到重力mg、空气对老鹰的作用力F.由题意可知，力F沿水平方向的分力提供老鹰做圆周运动的向心力，且其沿竖直方向的分力与重力平衡，故F1＝，F2＝mg，则F＝＝＝m，A正确．

【考点】向心力公式的简单应用

【题点】水平面内圆周运动中的动力学问题

5．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图4所示，则杆的上端受到的作用力大小为（　　）

图4

A．mω2RB．m

C．mD．不能确定

答案　C

解析　小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动．这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示．用力的合成法可得杆对球的作用力：

N＝＝m，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的作用力N′＝N，C正确．

6．如图5所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）

图5

A．线速度vA>vB

B．周期TA

C．圆筒对物体的支持力FA

D．物体所受摩擦力fA>fB

答案　A

解析　由题意可知，A、B两物体的角速度相同，由v＝ωR知，线速度与半径成正比，A的半径大，则其线速度大，故选项A正确；由T＝可知周期相同，故选项B错误；圆筒对物体的支持力提供物体随筒一起匀速转动的向心力，因此支持力N＝F＝mω2R，由于角速度相同，A的半径大，则其所受支持力大，故选项C错误；由于物体所受摩擦力为静摩擦力，大小等于物体自身重力，故选项D错误．

7．在光滑的圆锥漏斗的内壁，两个质量相同的小球A和B，分别紧贴着漏斗在水平面内做匀速圆周运动，其中小球A的位置在小球B的上方，如图6所示．下列判断正确的是（　　）

图6

A．A球的速率小于B球的速率

B．A球的角速度大于B球的角速度

C．A球对漏斗壁的压力大于B球对漏斗壁的压力

D．A球的转动周期大于B球的转动周期

答案　D

解析　先对A、B两球进行受力分析，两球均只受重力和漏斗给的支持力．如图所示，

对A球据牛顿第二定律：

NAsinα＝mg①

NAcosα＝m＝mωA2rA②

对B球据牛顿第二定律：

NBsinα＝mg③

NBcosα＝m＝mωB2rB④

由两球质量相等可得NA＝NB，C项错误．

由②④可知，两球所受向心力相等，

m＝m，因为rA>rB，所以vA>vB，A项错误．

mωA2rA＝mωB2rB，因为rA>rB，所以ωA<ωB，B项错误．

又因为ω＝，所以TA>TB，D项正确．

考点三　汽车过桥的问题

8．如图7所示，汽车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球．当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时，弹簧长度为L1，当汽车以相同的速率匀速通过一个桥面为圆弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列选项中正确的是（　　）

图7

A．L1＝L2

B．L1>L2

C．L1

D．前三种情况均有可能

答案　B

【考点】竖直面内的圆周运动分析

【题点】汽车过桥问题

9．（多选）一个质量为m的物体（体积可忽略），在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图8所示，则下列说法正确的是（　　）

图8

A．若v0＝，则物体对半球顶点无压力

B．若v0＝，则物体对半球顶点的压力为mg

C．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg

D．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零

答案　AC

解析　设物体受到的支持力为N，若v0＝，则mg－N＝m，得N＝0，则由牛顿第三定律知物体对半球顶点无压力，A正确．若v0＝，则mg－N＝m，得N＝mg，则物体对半球顶点的压力为mg，B错误．若v0＝0，根据牛顿第二定律mg－N＝m＝0，得N＝mg，由牛顿第三定律知物体对半球顶点的压力为mg，C正确，D错误．

【考点】向心力公式的简单应用

【题点】竖直面内圆周运动中的动力学问题

10.一辆卡车在丘陵地带匀速率行驶，地形如图9所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是（　　）

图9

A．a处B．b处

C．c处D．d处

答案　D

解析　卡车在a、c处有竖直向下的向心加速度，处于失重状态，轮胎受到的压力比车重小，卡车在b、d处有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，轮胎受到的压力比车重大，选项A、C错误；卡车在b、d处有N－mg＝m，得N＝mg＋m，由于在d处做圆周运动的半径R较小，所以在d处受到的支持力N较大，爆胎的可能性最大，选项D正确，B错误．

二、非选择题

11．（汽车过桥问题）如图10所示，一辆质量为4t的汽车匀速经过一半径为50m的凸形桥．（g＝10m/s2）

图10

（1）汽车若能安全驶过此桥，它的速度范围为多少？

（2）若汽车经最高点时对桥的压力等于它重力的一半，求此时汽车的速度多大？

答案　

（1）v<22.4m/s　

（2）15.8m/s

解析　

（1）汽车经最高点时受到桥面对它的支持力N，设汽车的行驶速度为v.

则mg－N＝m

当N＝0时，v＝

此时汽车从最高点开始离开桥面做平抛运动，汽车不再安全，故汽车过桥的安全速度v<＝m/s≈22.4m/s.

（2）设汽车对桥的压力为mg时汽车的速度为v′，由牛顿第三定律知桥对汽车的支持力为mg，则

mg－mg＝m

v′＝≈15.8m/s.

12．（水平面内的圆周运动）如图11所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g.

图11

（1）若ω＝ω0，小物块受到的静摩擦力恰好为零，求ω0；

（2）若ω＝（1±k）ω0，且0

答案　

（1）　

（2）见解析

解析　

（1）小物块在水平面内做匀速圆周运动，当小物块受到的摩擦力恰好等于零时，小物块所受的重力和陶罐的支持力的合力提供其做圆周运动的向心力，

有mgtanθ＝mω02·Rsinθ

代入数据得ω0＝

（2）当ω＝（1＋k）ω0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向下，设摩擦力的大小为f，陶罐壁对小物块的支持力为N，沿水平方向和竖直方向建立坐标系，则水平方向

Nsinθ＋fcosθ＝mω2·Rsinθ

竖直方向Ncosθ－fsinθ－mg＝0

代入数据解得f＝mg，

方向沿陶罐切线向下．

同理，当ω＝（1－k）ω0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向上，则

水平方向：

Nsinθ－fcosθ＝mω2·Rsinθ

竖直方向：

Ncosθ＋fsinθ－mg＝0

代入数据解得f＝mg，方向沿陶罐壁切线向上．