上海高中数学知识点总结良心出品必属精品.docx
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上海高中数学知识点总结良心出品必属精品
上海高中数学——知识点总结
一、集合与常用逻辑
1．集合概念元素：
互异性、无序性
2．集合运算全集U：
如U=R
交集：
并集：
补集：
3．集合关系空集
子集:
任意
注：
数形结合---文氏图、数轴
4．四种命题
原命题：
若p则q逆命题：
若q则p
否命题：
若则逆否命题：
若则
原命题逆否命题否命题逆命题
5．充分必要条件
p是q的充分条件：
p是q的必要条件：
p是q的充要条件：
p⇔q
6．复合命题的真值
①q真（假）⇔“”假（真）
②p、q同真⇔“p∧q”真
③p、q都假⇔“p∨q”假
7.全称命题、存在性命题的否定
M,p（x）否定为:
M,
M,p（x）否定为:
M,
二、不等式
1．一元二次不等式解法
若，有两实根，则
解集
解集
注：
若，转化为情况
2．其它不等式解法—转化
或
（）
（）
3．基本不等式
①
②若，则
注：
用均值不等式、
求最值条件是“一正二定三相等”
三、函数概念与性质
1．奇偶性
f（x）偶函数f（x）图象关于轴对称
f（x）奇函数f（x）图象关于原点对称
注：
①f（x）有奇偶性定义域关于原点对称
②f（x）奇函数,在x=0有定义f（0）=0
③“奇+奇=奇”（公共定义域内）
2．单调性
f（x）增函数：
x1＜x2f（x1）＜f（x2）
或x1＞x2f（x1）＞f（x2）
或
f（x）减函数：
？
注：
①判断单调性必须考虑定义域
②f（x）单调性判断
定义法、图象法、性质法“增+增=增”
③奇函数在对称区间上单调性相同
偶函数在对称区间上单调性相反
3．周期性
是周期恒成立（常数）
4．二次函数
解析式：
f（x）=ax2+bx+c，f（x）=a（x-h）2+k
f（x）=a（x-x1）（x-x2）
对称轴：
顶点：
单调性：
a>0，递减，递增
当，f（x）min
奇偶性：
f（x）=ax2+bx+c是偶函数b=0
闭区间上最值：
配方法、图象法、讨论法---
注意对称轴与区间的位置关系
注：
一次函数f（x）=ax+b奇函数b=0
四、基本初等函数
1．指数式
2．对数式（a>0,a≠1）
注：
性质
常用对数，
自然对数，
3．指数与对数函数y=ax与y=logax
定义域、值域、过定点、单调性？
注：
y=ax与y=logax图象关于y=x对称（互为反函数）
4．幂函数
在第一象限图象如下：
五、函数图像与方程
1．描点法
函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）
取特殊点如零点、最值点等
2．图象变换
平移：
“左加右减，上正下负”
伸缩：
对称：
“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
注：
翻折：
保留轴上方部分，
并将下方部分沿轴翻折到上方
保留轴右边部分，
并将右边部分沿轴翻折到左边
3．零点定理
若，则在内有零点
（条件：
在上图象连续不间断）
注：
①零点：
的实根
②在上连续的单调函数，
则在上有且仅有一个零点
③二分法判断函数零点---？
六、三角函数
1．概念第二象限角（）
2．弧长扇形面积
3．定义
其中是终边上一点，
4．符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”
5．诱导公式：
“奇变偶不变，符号看象限”
如，
6．特殊角的三角函数值
0
sin
0
1
0
cos
1
0
0
tg
0
1
/
0
/
7．基本公式
同角
和差
倍角
降幂cos2α=sin2α=
叠加
8．三角函数的图象性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
单调性：
增减增
sinx
cosx
tanx
值域
[-1，1]
[-1，1]
无
奇偶
奇函数
偶函数
奇函数
周期
2π
2π
π
对称轴
无
中心
注：
9．解三角形
基本关系：
sin（A+B）=sinCcos（A+B）=-cosC
tan（A+B）=-tanC
正弦定理：
==
余弦定理：
a2=b2+c2－2bccosA（求边）
cosA=（求角）
面积公式：
S△＝absinC
注：
中，A+B+C=？
a2＞b2+c2⇔∠A＞
七、数列
1、等差数列
定义：
通项：
求和：
中项：
（成等差）
性质：
若，则
2、等比数列
定义：
通项：
求和：
中项：
（成等比）
性质：
若则
3、数列通项与前项和的关系
4、数列求和常用方法
公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法
八、平面向量
1．向量加减三角形法则，平行四边形法则
首尾相接，=共始点
中点公式：
是中点
2．向量数量积==
注：
①夹角：
00≤θ≤1800
②同向：
3．基本定理（不共线--基底）
平行：
（）
垂直：
模：
＝
夹角：
注：
①∥②（结合律）不成立
③（消去律）不成立
九、复数与推理证明
1．复数概念
复数：
（a,b，实部a、虚部b
分类：
实数（），虚数（），复数集C
注：
是纯虚数，
相等：
实、虚部分别相等
共轭：
模：
复平面：
复数z对应的点
2．复数运算
加减：
（a+bi）±（c+di）=？
乘法：
（a+bi）（c+di）=？
除法：
===…
乘方：
，
3．合情推理
类比：
特殊推出特殊
归纳：
特殊推出一般
演绎：
一般导出特殊（大前题→小前题→结论）
4．直接与间接证明
综合法：
由因导果
比较法：
作差—变形—判断—结论
反证法：
反设—推理—矛盾—结论
分析法：
执果索因
分析法书写格式：
要证A为真，只要证B为真，即证……，
这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真
注：
常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程
5．数学归纳法：
（1）验证当n=1时命题成立,
（2）假设当n=k（kN*，k1）时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立
由
（1）
（2）知这命题对所有正整数n都成立
注：
用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用
十、直线与圆
1、倾斜角范围
斜率
注：
直线向上方向与轴正方向所成的最小正角
倾斜角为时，斜率不存在
2、直线方程
点斜式，斜截式
两点式，截距式
一般式
注意适用范围：
①不含直线
②不含垂直轴的直线
③不含垂直坐标轴和过原点的直线
3、位置关系（注意条件）
平行且
垂直垂直
4、距离公式
两点间距离：
|AB|=
点到直线距离：
5、圆标准方程：
圆心，半径
圆一般方程：
（条件是？
）
圆心半径
6、直线与圆位置关系
位置关系
相切
相交
相离
几何特征
代数特征
注：
点与圆位置关系点在圆外
7、直线截圆所得弦长
十一、圆锥曲线
一、定义
椭圆：
|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）
双曲线：
|PF1|-|PF2|=±2a（0<2a<|F1F2|）
抛物线：
与定点和定直线距离相等的点轨迹
二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）
椭圆（a>b>0）
双曲线（a>0,b>0）
中心原点对称轴？
焦点F1（c,0）、F2（-c,0）
顶点:
椭圆（±a,0）,（0,±b），双曲线（±a,0）
范围:
椭圆-axa,-byb
双曲线|x|a，yR
焦距：
椭圆2c（c=）
双曲线2c（c=）
2a、2b:
椭圆长轴、短轴长，
双曲线实轴、虚轴长
离心率：
e=c/a椭圆01
注：
双曲线渐近线
方程表示椭圆
方程表示双曲线
抛物线y2=2px（p>0）
顶点（原点）对称轴（x轴）
开口（向右）范围x0离心率e=1
焦点准线
十二、矩阵、行列式、算法初步
十、算法初步
一．程序框图
程序框
名称
功能
起止框
起始和结束
输入、输出框
输入和输出的信息
处理框
赋值、计算
判断框
判断某一条件是否成立
循环框
重复操作以及运算
二．基本算法语句及格式
1输入语句：
INPUT“提示内容”；变量
2输出语句：
PRINT“提示内容”；表达式
3赋值语句：
变量=表达式
4条件语句
“IF—THEN—ELSE”语句“IF—THEN”语句
IF条件THENIF条件THEN
语句1语句
ELSEENDIF
语句2
ENDIF
5循环语句
当型循环语句直到型循环语句
WHILE条件DO
循环体循环体
WENDLOOPUNTIL条件
当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”
三．算法案例
1、求两个数的最大公约数
辗转相除法：
到达余数为0
更相减损术：
到达减数和差相等
2、多项式f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0的求值
秦九韶算法：
v1=anx+an－1v2=v1x+an－2
v3=v2x+an－3vn=vn－1x+a0
注：
递推公式v0=anvk=vk－1X+an－k（k=1,2,…n）
求f（x）值，乘法、加法均最多n次
3、进位制间的转换
k进制数转换为十进制数：
十进制数转换成k进制数：
“除k取余法”
例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3
例2已知f（x）=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，秦九韶算法求f（5）
123＝2×48＋27v0=2
48＝1×27＋21v1=2×5－5=5
27＝1×21＋6v2=5×5－4=21
21＝3×6＋3v3=21×5+3=108
6＝2×3+0v4=108×5－6=534
v5=534×5+7=2677
十三、立体几何
1．三视图正视图、侧视图、俯视图
2．直观图：
斜二测画法=450
平行X轴的线段，保平行和长度
平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半
3．体积与侧面积
V柱=S底hV锥=S底hV球=πR3
S圆锥侧=S圆台侧=S球表=
4．公理与推论确定一个平面的条件：
①不共线的三点②一条直线和这直线外一点
③两相交直线④两平行直线
公理：
平行于同一条直线的两条直线平行
定理：
如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
5．两直线位置关系相交、平行、异面
异面直线——不同在任何一个平面内
6．直线和平面位置关系
7．平行的判定与性质
线面平行：
∥，∥
∥，∥
面面平行：
∥，∥平面∥
∥，∥
8．垂直的判定与性质
线面垂直：
面面垂直：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；
若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？
9．空间角、距离的计算
异面直线所成的角范围（0°，90°]
平移法：
转化到一个三角形中，用余弦定理
直线
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