概率论与数理统计第4章作业题解.docx
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概率论与数理统计第4章作业题解
第四章作业题解
甲、乙两台机床生产同一种零件，在一天内生产的次品数分别记为X和Y.已知X,Y的
概率分布如下表所示：
X
0
1
2
3
P
Y
0
1
23
P
0
如果两台机床的产量相同，问哪台机床生产的零件的质量较好
解：
E（X）00.410.320.230.11
E（Y）00.310.520.2300.9
因为E（X）E（Y），即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。
E（X）
某人每次射击命中目标的概率为p,现连续向目标射击，直到第一次命中目标为止，求射击次数的期望.
解：
因为X的可能取值为1,2,……。
依题意，知X的分布律为
P（Xk）qk1p,q1p,k1,2,LL
（1
因为P（X
0）
C00.60
0.44
0.0256
P（X
1）
C10.61
0.43
0.1536
P（X
2）
C：
0.62
0.42
0.3456
P（X
3）
C：
0.63
0.41
0.3456
P（X
4）
C：
0.64
0.4°
0.1296
所以Y的分布律为
Y
0
15
30
55
100
P
在射击比赛中，每人射击4次，每次一发子弹.规定4弹全未中得0分，只中1弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分.某人每次射击的命中率为，此人期望能得到多少分
解：
设4次射击中命中目标的子弹数为X,得分为Y,则X~B（4,
故期望得分为
E（Y）00.0256150.1536300.3456550.34561000.1296
设随机变量X的概率分布为P{X
（1）k%获化，），说明X的期望不存
在。
概率均为•求途中遇到红灯次数的期望解：
设遇到红灯次数为X,依题意，知X~B（3,
故E（X）30.41.2
设随机变量X的概率密度函数为
X,0x1,
f（x）2x,1x2,求E（X）.
0,其他
设随机变量X的概率密度函数为
ax,0x2,
f（x）bxc,2x4
设随机变量X的概率密度函数为f（x）
1
（1x2）
说明X的期望不
0,其他
又E（X）
2,P{1X
3
3}，求常数a,b,c的值.
4
解：
由
f（x）dx1
24
oaxdx2（bxc）dx，得
2a6b2c
1
因为
E（X）
24
xf（x）dxxaxdxx（bx
w8
c）dxa
3
56,厂
b6c
3
①
所以，由
E（X）
2，得ia
56b
3
6c
2
又
2
3
3
5
P（1X
3）
1axdx
2（bx
c）dx
a
2
bc
2
由
3
3
5
3
P（1X
3）
■?
得—a
b
c
4
2
2
4
解联立方程①②③，得
a
1
b
—，c1
4，
4
存在•
解:
积分xf（x）dx
——吐于dx-°—i^dx,显然，积分发散，根据连续型随机
（1x）°1x
变量期望的定义，X的期望不存在
某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为
72分,96分以上的考生占考生总数的%.求考生外语成绩在6°分至84分之间的概率
设随机变量X的概率密度函数为
E（e2X）e2xf（x）dx
2x
e
xdx
3x
edx
E（Y）E（2X）2E（X）21
对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间（a,b）内，求球体积的均值
游客乘电梯从电视塔底层到顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起运行•设某一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处,且X~U[0,60],求该游
客等候时间的期望•
解：
用随机变量Y表示游客的等候时间伸位:
分钟）,则Yg（X）,其函数关系为
5
x,
0x
5,
25
x,
5x
25,
yg（x）
55
x,
25x
55,
65
x,
55x
60.
E（Y）E[g（X）]
525
0（5x）dx§（25x）dx
55
25（55x）dx
60
（65x）dx
55
70
6
由于X~U[0,60]，根据随机变量函数的期望公式，可得游客等候时间的期望为
设二维随机向量（X,Y）的概率密度函数为
2
f（x,y）
12y,0yx1,
0,其他，
求E（X）,E（Y）,E（XY）,E（X2Y2）.
X
解：
因为，当0x1时，fX（x）f（x,y）dyo12y2dy4x3
122
当0y1时，fY（y）f（x,y）dxy12y2dx12y2（1y）
所以，E（X）
xfX（x）dx
13
x4xdx
0
4
5
12
3
E（Y）
yfY（y）dy
0y12y2（1
y）dy
5
1
x
2
E（XY）xyf（x,y）dxdyQdxoxy12ydy
4入
x3yodx
oVdx
E（X2）
E（Y2）
x2fX（x）dx
0x
4x3dx
1
y2fY（y）dy0y212y2（1y）dy
E（X2Y2）
E（X2）E（Y2）
2216
3515
4.17设随机变量X与Y相互独立，概率密度函数分别为
fx（X）
2x,
0,
0x1,和
其他，
fY（y）
0,
5,
5,
求E（XY）.
解：
E（X）
xf（x）dx
1
x2xdx
0
E（Y）
yf（y）dy
5yI
5yedy
yd（
e5
y）
5y
ye
5yI
edy
e5
因为X和Y相互独立，所以
E（XY）
E（X）E（Y）
64.
4.18设二维随机向量（X,Y）服从圆域D{（x,y）:
x2y2
R2}上的均匀分布，求
E（.X2Y2）.
解：
根据二维随机向量的计算公式:
ECX2Y2）x2y2f（x,y）dxdy
x2
22
y2R2Xr2『dxdy,
此积分用极坐标计算较为方便，于是有
E（X2Y2）
12
R20
\2drd
0
2R
3
设随机变量X与Y相互独立，并且均服从U（0,
）,求E（max{X,Y}）.
解：
由于X服从U（0,），故其分布函数为
0,
x0,
Fx（x）
0x,同理，Y服从U（0,），故其分布函数为
1,
y0,
Fv（y）
于是根据公式3.7.5,max{X,Y}的分布函数为
1,
Fmax（z）
0,
2
z
~2,
1,
因此E（max{X,Y}）=
0,
民航机场的一辆送客汽车每次载时没有旅客下车，就不停车的平均停车次数•解：
用随机变量
2z
求到后得密度函数fmax（z）:
0,
其他.
2
Zfmax（Z）dZ-
3
20名旅客自机场开出，沿途有10个车站.若到达一个车站
.设每名旅客在各个车站下车的概率是等可能的，求汽车
X表示汽车的10个车站总的停车次数，并记
第i站有旅游下车,第i站无旅游
F车，「1'2丄，1°,
显然，Xi均服从两点分布，且
XX1X2LX10，于是有
1}1
20
920
P{Xi0}（亦）20,P{Xi
由此求得
E（Xi）1
200.8784,
E（X）10[1
20]8.784.
将一颗均匀的骰子连掷10次,
求所得点数之和的期望
解：
设Xi表示第i次掷出的点数
（i=1,2，…,10）,
则掷10次骰子的点数之和为X
10
Xi。
i1
因为Xi的分布律为
P（Xi
k）
（k=1,2,…,6）,
1
所以Eg16
1010.
故E（X）E（Xi）-10-35.
i1i122
在习题中，若直到命中目标n次为止，求射击次数的期望.
解：
设Xk是从第k1次命中目标到第k次命中目标之间的射击次数，Xk的分布律为
m1
P（Xkm）（1p）p,m1,2,LL,k1,2,LL
记随机变量XX1X2LXn，并且注意到随机变量X1,X2,LXn概率分布相同，因此
E（X）nE（XJ-
P-
求习题中随机变量X,Y的方差.
解：
由知E（X）1，E（Y）0.9，由知E（X2）2
又e（y2）
020.3120.5220.23201.3
故Var（X）
e（x2）
（ex）2
2
121
Var（Y）
e（y2）
（ey）2
1.3
0.920.49.
求习题中随机变量X的方差
设二维随机向量（X,Y）的概率密度函数为
f（x,y）dy1罗dy专
求Var（X）和Var（Y）.
解：
因为，当1x1时，fx（X）
即X~U（1,1）
1111
所以E（X）0,Var（X）-[1
（1）]23
1
由对称性得E（Y）0,Var（Y）-
设随机变量X~N（0,4）,Y~U（0,4）,并且X与丫相互独立，求Var（XY）和
Var（2X3Y）.
解：
因为X~N（0,4），Y~U（0,4）
124
所以Var（X）4，Var（Y）（40）2—
123
又X和Y相互独立，故
416
Var（XY）Var（X）Var（Y）4-
33
4Var（2X3丫）4Var（X）9Var（Y）449—28.
3
设二维随机向量（X,Y）的概率分布如下表：
XY
-1
0
1
0
1
求Cov（X,Y）.
解容易求得X的概率分布为：
P{X0}0.3,P{X1}0.7,
Y的概率分布为：
P{Y
1}0.4,P{Y0}
0.2,P{Y
1}
0.4,
XY的概率分布为：
P{XY1}P{X1,Y
1}0.3,P{XY
1}P{X
1,Y
1}
0.3,，
P{XY0}P{X0,Y
1}P{X0,Y
0}P{X
0,Y
1}
P{X1,Y0}0.4
于是有
E（X）00.310.70.7,
E（Y）
（1）0.400.210.40，
E（XY）
（1）0.300.410.30.
Cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y）0.
设二维正态随机向量（X,Y）的概率密度函数为
1!
[!
（x4）2（y2）2]
f（x,y）2、3e23
x,
问X与Y是否互不相关
解：
二维随机变量（X,Y）具有概率密度的标准形式为:
f（x,y）——
21
1
2（15
—e
2
其中
均为常数，且
10，20，丨丨1,由此得到:
（X,Y）:
N（4,2;3,1,0）,因为
0,所以
X与Y互不相关。
设二维随机向量
（X,Y）的概率密度函数为
f（x,y）
xy
8
0,
0x2,0
y2,,求
XY・
解：
因为，当0
x2时,
所以E（X）
xf（x）dx
E（X2）x2f（x）dx
是Var（X）E（X2）
由对称性得E（Y）-
6
其他,
fx（X）
f（x,y）dy
2x
08
2
又因为E（XY）
21（x2
08
2x「dx1（
442
（EX）2
Var（Y）
2
y_
32
（青y）
3
.1/X
dx（
4
3
f）
572
5（6）2
11
36
11
36
xyf（x,y）dxdy
2
dx
0
xxy一08
3
y_
）dx
0
1
4
xx
）dx
3
所以
COV（X,Y）E（XY）E（X）E（Y）
1
36
COV（X,Y）
1/36
XY
Var（X）Var（Y）
（11/36）（11/36）
1
11
设二维随机向量（X,Y）的概率密度函数为
求Cov（X,Y）和XY.
设Var（X）
25,Var（Y）36,
XY0.4,求Var（XY）和Var（XY）.
解：
由二维随机向量（X,Y）的概率密度函数积分，可以求得两个边缘密度:
xc
ex0,
0,其他’fY（y）
COV（X,Y）
COV（X,Y）
XY
Var（X）Var（Y）0.425
因为
Var（X
Y）
Var（X）
Var（Y）
2COV（X,Y）
所以
Var（X
Y）
25
36
212
85
Var（X
Y）
25
36
212
37
设X服从U（
0.5,0.5）,Y
cosX,求
XY.
解：
由
得
XY
、Var（X）Var（Y）
解：
因X服从U（0.5,0.5）,所以E（X）
0•于是有
3612
Cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y）E（XY）.
XYXcosX是关于随机变量X的函数，根据求随机变量函数期望的法则，有
0.5
Cov（X,Y）05xcosxdx.又由于由于被积函数是奇函数，积分域关于原点对称，故此积
分为0,于是
XY
COV（X,Y）
Var（X）Var（Y）
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