数学实验课后习题解答汇编.docx
《数学实验课后习题解答汇编.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学实验课后习题解答汇编.docx（53页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学实验课后习题解答汇编
实验一 曲线绘图
【练习与思考】
画出下列常见曲线的图形。
以直角坐标方程表示的曲线：
1.立方曲线
clear;
x=-2:
0.1:
2;
y=x.^3;
plot（x,y）
2.立方抛物线
clear;
y=-2:
0.1:
2;
x=y.^3;
plot（x,y）
gridon
3.高斯曲线
clear;
x=-3:
0.1:
3;
y=exp（-x.^2）;
plot（x,y）;
gridon
%axisequal
以参数方程表示的曲线
4.奈尔抛物线
clear;
t=-3:
0.05:
3;
x=t.^3;y=t.^2;
plot（x,y）
axisequal
gridon
5.半立方抛物线
clear;
t=-3:
0.05:
3;
x=t.^2;y=t.^3;
plot（x,y）
%axisequal
gridon
6.迪卡尔曲线
clear;
a=3;t=-6:
0.1:
6;
x=3*a*t./（1+t.^2）;
y=3*a*t.^2./（1+t.^2）;
plot（x,y）
7.蔓叶线
clear;
a=3;t=-6:
0.1:
6;
x=3*a*t.^2./（1+t.^2）;
y=3*a*t.^3./（1+t.^2）;
plot（x,y）
8.摆线
clear;clc;
a=1;b=1;
t=0:
pi/50:
6*pi;
x=a*（t-sin（t））;
y=b*（1-cos（t））;
plot（x,y）;
axisequal
gridon
9.内摆线（星形线）
clear;
a=1;
t=0:
pi/50:
2*pi;
x=a*cos（t）.^3;
y=a*sin（t）.^3;
plot（x,y）
10.圆的渐伸线（渐开线）
clear;
a=1;
t=0:
pi/50:
6*pi;
x=a*（cos（t）+t.*sin（t））;
y=a*（sin（t）+t.*cos（t））;
plot（x,y）
gridon
11.空间螺线
clear
a=3;b=2;c=1;
t=0:
pi/50:
6*pi;
x=a*cos（t）;
y=b*sin（t）;
z=c*t;
plot3（x,y,z）
gridon
以极坐标方程表示的曲线：
12.阿基米德线
clear;
a=1;
phy=0:
pi/50:
6*pi;
rho=a*phy;
polar（phy,rho,'r-*'）
13.对数螺线
clear;
a=0.1;
phy=0:
pi/50:
6*pi;
rho=exp（a*phy）;
polar（phy,rho）
14.双纽线
clear;
a=1;
phy=-pi/4:
pi/50:
pi/4;
rho=a*sqrt（cos（2*phy））;
polar（phy,rho）
holdon
polar（phy,-rho）
15.双纽线
clear;
a=1;
phy=0:
pi/50:
pi/2;
rho=a*sqrt（sin（2*phy））;
polar（phy,rho）
holdon
polar（phy,-rho）
16.四叶玫瑰线
clear;close
a=1;
phy=0:
pi/50:
2*pi;
rho=a*sin（2*phy）;
polar（phy,rho）
17.三叶玫瑰线
clear;close
a=1;
phy=0:
pi/50:
2*pi;
rho=a*sin（3*phy）;
polar（phy,rho）
18.三叶玫瑰线
clear;close
a=1;
phy=0:
pi/50:
2*pi;
rho=a*cos（3*phy）;
polar（phy,rho）
实验二 极限与导数
【练习与思考】
1．求下列各极限
（1）
（2）
（3）
clear;
symsn
y1=limit（（1-1/n）^n,n,inf）
y2=limit（（n^3+3^n）^（1/n）,n,inf）
y3=limit（sqrt（n+2）-2*sqrt（n+1）+sqrt（n）,n,inf）
y1=1/exp
（1）
y2=3
y3=0
（4）
（5）
（6）
clear;
symsx;
y4=limit（2/（x^2-1）-1/（x-1）,x,1）
y5=limit（x*cot（2*x）,x,0）
y6=limit（sqrt（x^2+3*x）-x,x,inf）
y4=-1/2
y5=1/2
y6=3/2
（7）
（8）
（9）
clear;
symsxm
y7=limit（cos（m/x）,x,inf）
y8=limit（1/x-1/（exp（x）-1）,x,1）
y9=limit（（（1+x）^（1/3）-1）/x,x,0）
y7=1
y8=（exp
（1）-2）/（exp
（1）-1）
y9=1/3
2．考虑函数
作出图形，并说出大致单调区间；使用diff求
，并求
确切的单调区间。
clear;close;
symsx;
f=3*x^2*sin（x^3）;
ezplot（f,[-2,2]）
gridon
大致的单调增区间：
[-2,-1.7],[-1.3,1.2],[1.7,2];
大致的单点减区间：
[-1.7,-1.3],[1.2,1.7]
f1=diff（f,x,1）
ezplot（f1,[-2,2]）
line（[-5,5],[0,0]）
gridon
axis（[-2.1,2.1,-60,120]）
f1=
6*x*sin（x^3）+9*x^4*cos（x^3）
用fzero函数找
的零点，即原函数
的驻点
x1=fzero（'6*x*sin（x^3）+9*x^4*cos（x^3）',[-2,-1.7]）
x2=fzero（'6*x*sin（x^3）+9*x^4*cos（x^3）',[-1.7,-1.5]）
x3=fzero（'6*x*sin（x^3）+9*x^4*cos（x^3）',[-1.5,-1.1]）
x4=fzero（'6*x*sin（x^3）+9*x^4*cos（x^3）',0）
x5=fzero（'6*x*sin（x^3）+9*x^4*cos（x^3）',[1,1.5]）
x6=fzero（'6*x*sin（x^3）+9*x^4*cos（x^3）',[1.5,1.7]）
x7=fzero（'6*x*sin（x^3）+9*x^4*cos（x^3）',[1.7,2]）
x1=
-1.9948
x2=
-1.6926
x3=
-1.2401
x4=
0
x5=
1.2401
x6=
1.6926
x7=
1.9948
确切的单调增区间：
[-1.9948,-1.6926],[-1.2401,1.2401],[1.6926,1.9948]
确切的单调减区间：
[-2,-1.9948],[-1.6926,-1.2401],[1.2401,1.6926],[1.9948,2]
3．对于下列函数完成下列工作，并写出总结报告，评论极值与导数的关系，
（i）作出图形，观测所有的局部极大、局部极小和全局最大、全局最小值点的粗略位置；
（iI）求
所有零点（即
的驻点）；
（iii）求出驻点处
的二阶导数值;
（iv）用fmin求各极值点的确切位置;
（v）局部极值点与
有何关系?
（1）
（2）
（3）
clear;close;
symsx;
f=x^2*sin（x^2-x-2）
ezplot（f,[-2,2]）
gridon
f=
x^2*sin（x^2-x-2）
局部极大值点为：
-1.6,局部极小值点为为：
-0.75，-1.6
全局最大值点为为：
-1.6，全局最小值点为：
-3
f1=diff（f,x,1）
ezplot（f1,[-2,2]）
line（[-5,5],[0,0]）
gridon
axis（[-2.1,2.1,-6,20]）
f1=
2*x*sin（x^2-x-2）+x^2*cos（x^2-x-2）*（2*x-1）
用fzero函数找
的零点，即原函数
的驻点
x1=fzero（'2*x*sin（x^2-x-2）+x^2*cos（x^2-x-2）*（2*x-1）',[-2,-1.2]）
x2=fzero（'2*x*sin（x^2-x-2）+x^2*cos（x^2-x-2）*（2*x-1）',[-1.2,-0.5]）
x3=fzero（'2*x*sin（x^2-x-2）+x^2*cos（x^2-x-2）*（2*x-1）',[-0.5,1.2]）
x4=fzero（'2*x*sin（x^2-x-2）+x^2*cos（x^2-x-2）*（2*x-1）',[1.2,2]）
x1=
-1.5326
x2=
-0.7315
x3=
-3.2754e-027
x4=
1.5951
ff=@（x）x.^2.*sin（x.^2-x-2）
ff（-2）,ff（x1）,ff（x2）,ff（x3）,ff（x4）,ff
（2）
ff=
@（x）x.^2.*sin（x.^2-x-2）
ans=
-3.0272
ans=
2.2364
ans=
-0.3582
ans=
-9.7549e-054
ans=
-2.2080
ans=
0
实验三 级数
【练习与思考】
1.用taylor命令观测函数
的Maclaurin展开式的前几项,然后在同一坐标系里作出函数
和它的Taylor展开式的前几项构成的多项式函数的图形，观测这些多项式函数的图形向
的图形的逼近的情况
（1）
clear;
symsx
y=asin（x）;
y1=taylor（y,0,1）
y2=taylor（y,0,5）
y3=taylor（y,0,10）
y4=taylor（y,0,15）
x=-1:
0.1:
1;
y=subs（y,x）;
y1=subs（y1,x）;
y2=subs（y2,x）;
y3=subs（y3,x）;
y4=subs（y4,x）;
plot（x,y,x,y1,':
',x,y2,'-.',x,y3,'--',x,y4,':
','linewidth',3）
y1=
0
y2=
x^3/6+x
y3=
（35*x^9）/1152+（5*x^7）/112+（3*x^5）/40+x^3/6+x
y4=
（231*x^13）/13312+（63*x^11）/2816+（35*x^9）/1152+（5*x^7）/112+（3*x^5）/40+x^3/6+x
（2）
clear;
symsx
y=atan（x）;y1=taylor（y,0,3）
y2=taylor（y,0,5）,y3=taylor（y,0,10）,y4=taylor（y,0,15）
x=-1:
0.1:
1;
y=subs（y,x）;y1=subs（y1,x）;y2=subs（y2,x）;
y3=subs（y3,x）;y4=subs（y4,x）;
plot（x,y,x,y1,':
',x,y2,'-.',x,y3,'--',x,y4,':
','linewidth',3）
y1=
x
y2=
x-x^3/3
y3=
x^9/9-x^7/7+x^5/5-x^3/3+x
y4=
x^13/13-x^11/11+x^9/9-x^7/7+x^5/5-x^3/3+x
（3）
clear;
symsx
y=exp（x^2）;
y1=taylor（y,0,3）
y2=taylor（y,0,5）
y3=taylor（y,0,10）
y4=taylor（y,0,15）
x=-1:
0.1:
1;
y=subs（y,x）;
y1=subs（y1,x）;
y2=subs（y2,x）;
y3=subs（y3,x）;
y4=subs（y4,x）;
plot（x,y,x,y1,':
',x,y2,'-.',x,y3,'--',x,y4,':
','linewidth',3）
y1=
x^2+1
y2=
x^4/2+x^2+1
y3=
x^8/24+x^6/6+x^4/2+x^2+1
y4=
x^14/5040+x^12/720+x^10/120+x^8/24+x^6/6+x^4/2+x^2+1
（4）
clear;
symsx
y=sin（x）^2;
y1=taylor（y,0,1）
y2=taylor（y,0,5）
y3=taylor（y,0,10）
y4=taylor（y,0,15）
x=-pi:
0.1:
pi;
y=subs（y,x）;
y1=subs（y1,x）;
y2=subs（y2,x）;
y3=subs（y3,x）;
y4=subs（y4,x）;
plot（x,y,x,y1,':
',x,y2,'-.',x,y3,'--',x,y4,':
','linewidth',3）
y1=
0
y2=
x^2-x^4/3
y3=
-x^8/315+（2*x^6）/45-x^4/3+x^2
y4=
（4*x^14）/42567525-（2*x^12）/467775+（2*x^10）/14175-x^8/315+（2*x^6）/45-x^4/3+x^2
（5）
clear;
symsx
y=exp（x）/（1-x）;
y1=taylor（y,0,3）
y2=taylor（y,0,5）
y3=taylor（y,0,10）
y4=taylor（y,0,15）
x=-1:
0.1:
0;
y=subs（y,x）;
y1=subs（y1,x）;
y2=subs（y2,x）;
y3=subs（y3,x）;
y4=subs（y4,x）;
plot（x,y,x,y1,':
',x,y2,'-.',x,y3,'--',x,y4,':
','linewidth',3）
y1=
（5*x^2）/2+2*x+1
y2=
（65*x^4）/24+（8*x^3）/3+（5*x^2）/2+2*x+1
y3=
（98641*x^9）/36288+（109601*x^8）/40320+（685*x^7）/252+（1957*x^6）/720+（163*x^5）/60+（65*x^4）/24+（8*x^3）/3+（5*x^2）/2+2*x+1
y4=
（47395032961*x^14）/17435658240+（8463398743*x^13）/3113510400+（260412269*x^12）/95800320+（13563139*x^11）/4989600+（9864101*x^10）/3628800+（98641*x^9）/36288+（109601*x^8）/40320+（685*x^7）/252+（1957*x^6）/720+（163*x^5）/60+（65*x^4）/24+（8*x^3）/3+（5*x^2）/2+2*x+1
（6）
clear;
symsx
y=log（x+sqrt（1+x^2））;
y1=taylor（y,0,3）
y2=taylor（y,0,5）
y3=taylor（y,0,10）
y4=taylor（y,0,15）
x=-1:
0.1:
1;
y=subs（y,x）;
y1=subs（y1,x）;
y2=subs（y2,x）;
y3=subs（y3,x）;
y4=subs（y4,x）;
plot（x,y,x,y1,':
',x,y2,'-.',x,y3,'--',x,y4,':
','linewidth',3）
y1=
x
y2=
x-x^3/6
y3=
（35*x^9）/1152-（5*x^7）/112+（3*x^5）/40-x^3/6+x
y4=
（231*x^13）/13312-（63*x^11）/2816+（35*x^9）/1152-（5*x^7）/112+（3*x^5）/40-x^3/6+x
2.求公式
中的数
的值.
k=[45678];
symsn
symsum（1./n.^（2*k）,1,inf）
ans=
[pi^8/9450,pi^10/93555,（691*pi^12）/638512875,（2*pi^14）/18243225,（3617*pi^16）/325641566250]
3.利用公式
来计算
的近似值。
精确到小数点后100位,这时应计算到这个无穷级数的前多少项?
请说明你的理由.
解：
Matlab代码为
clear;clc;close
epsl=1.0e-100;
ep=1;fn=1;a=1;n=1;
whileep>epsl
a=a+fn;
n=n+1;
fn=fn/n;
ep=fn;
end
fn
vpa（a,100）
n
fn=
8.3482e-101
ans=
2.71828182845904553488480814849026501178741455078125
n=
70
精确到小数点后100位,这时应计算到这个无穷级数的前71项,理由是误差小于10的负100次方，需要最后一项小于10的负100次方，由上述循环知n=70时最后一项小于10的负100次方，故应计算到这个无穷级数的前71项.
4.用练习3中所用观测法判断下列级数的敛散性
（1）
clear;clc;
epsl=0.000001;
N=50000;p=1000;
symsn
Un=1/（n^2+n^3）;
s1=symsum（Un,1,N）;
s2=symsum（Un,1,N+p）;
sa=vpa（s2-s1）;
sa=setstr（sa）;
sa=str2num（sa）;
fprintf（'级数'）
disp（Un）
ifsadisp（'收敛'）
else
disp（'发散'）
end
级数1/（n^3+n^2）收敛
clear;close
symsn
s=[];
fork=1:
100
s（k）=symsum（1/（n^3+n^2）,1,k）;
end
plot（s,'.'）
（2）
clear;clc;
epsl=0.000001;
N=50000;p=1000;
symsn
Un=1/（n*2^n）;
s1=symsum（Un,1,N）;
s2=symsum（Un,1,N+p）;
sa=vpa（s2-s1）;
sa=setstr（sa）;
sa=str2num（sa）;
fprintf（'级数'）
disp（Un）
ifsadisp（'收敛'）
else
disp（'发散'）
end
级数1/（2^n*n）收敛
clear;close
symsn
s=[];
fork=1:
100
s（k）=symsum（1/（2^n*n）,1,k）;
end
plot（s,'.'）
（3）
clear;clc;
epsl=0.00000000000001;
N=50000;p=100;
symsn
Un=1/sin（n）;
s1=symsum（Un,1,N）;
s2=symsum（Un,1,N+p）;
sa=vpa（s2-s1）;
sa=setstr（sa）;
sa=str2num（sa）;
fprintf（'级数'）
disp（Un）
ifabs（sa）disp（'收敛'）
else
disp（'发散'）
end
级数1/sin（n）发散
clear;close
symsn
s=[];
fork=1:
100
s（k）=symsum（1/sin（n）,1,k）;
end
plot（s,'.'）
发散
（4）
clear;clc;
epsl=0.0000001;
N=50000;p=1000;
symsn
Un=log（n）/（n^3）;
s1=symsum（Un,1,N）;
s2=symsum（Un,1,N+p）;
sa=vpa（s2-s1）;
sa=setstr（sa）;
sa=str2num（sa）;
fprintf（'级数'）
disp（Un）
ifsadisp（'收敛'）
else
disp（'发散'）
end
级数log（n）/n^3收敛
clear;close
symsn
s=[];
fork=1:
100
s（k）=symsum（log（n）/n^3,1,k）;
end
plot（s,'.'）
（5）
clear;close
symsn
s=[];he=0;
fork=1:
100
he=he+factorial（k）/k^k;
s（k）=he;
end
plot（s,'.'）
（6）
clear;clc;
epsl=0.0000001;
N=50000;p=1000;
symsn
Un=1/log（n）^n;
s1=symsum（Un,3,N）;
s2=symsum（Un,3,N+p）;
sa=vpa（s2-s1）;
sa=setstr（sa）;
sa=str2num（sa）;
fprintf（'级数'）
disp（Un）
ifsadisp（'收敛'）
else
disp（'发散'）
end
级数1/log（n）^n收敛
clear;close
symsn
s=[];
fork=3:
100
s（k）=symsum（1/log（n）^n,3,k）;
end
plot（s,'.'）
（7）
clear;clc;
epsl=0.0000001;
N=50000;p=100;
symsn
Un=1/（log（n）*n）;
s1=symsum（Un,3,N）;
s2=symsum（Un,3,N+p）;
sa=vpa（s2-s1）;
sa=setstr（sa）;
sa=str2num（sa）;
fprintf（'级数'）
disp（Un）
升级会员 