二次函数2615至264共6课时.docx

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二次函数2615至264共6课时

26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式

一、教学目标

1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式。

2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性。

3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质

二、教学重难点

重点：

二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质

难点：

利用图像观察性质

三、课前准备作图工具

四、教学流程：

（一）自主学习（10分钟）：

1．复习导入

复习二次函数的性质

2．目标展示

（1）会用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）实际问题中求二次函数解析式．

3．指导自学

（1）已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为__________．

（2）已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为___________．

（3）将抛物线y＝－（x－1）2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为__________．

（4）抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－

x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为__________．

（二）合作探究（16分钟）

探究一:

待定系数法求二次函数的解析式

例1、根据下列条件求二次函数的解析式：

（1）函数图像经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）

（2）函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1）

（3）函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点（1，0）和（5，0）

说明：

本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件。

一般来说：

任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标（或对称轴或最值）及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷

归纳

用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：

1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．

2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a（x－h）2＋k．

3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），

设两根式：

y＝a（x－x1）（x－x2）．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）

探究二、实际问题中求二次函数解析式

例2　已知函数y=x2-2x-3,

（1）把它写成

的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？

（2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；

（3）求出图象与坐标轴的交点坐标；

（4）画出函数图象的草图；

（5）设图像交x轴于A、B两点，交y轴于P点，求△APB的面积；

（6）根据图象草图，说出x取哪些值时，①y=0;②y<0;③y>0.

说明：

（1）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；

（2）利用函数图像判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图像，要使y<0;，其对应的图像应在x轴的下方，自变量x就有相应的取值范围。

例3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则：

a0;b0;c0;

0。

说明：

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与系数a、b、c、

的关系：

系数的符号

图像特征

a的符号

a>0.

抛物线开口向

a<0

抛物线开口向

b的符号

b>0.

抛物线对称轴在y轴的侧

b=0

抛物线对称轴是轴

b<0

抛物线对称轴在y轴的侧

c的符号

c>0.

抛物线与y轴交于

C=0

抛物线与y轴交于

c<0

抛物线与y轴交于

的符号

>0.

抛物线与x轴有个交点

（三）即时训练（10分钟）

基础题

1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．

2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．

3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．

4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？

写出函数关系式及t的取值范围．

提高题

1．已知二次函数的图像过点A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这个二次函数解析式．

2．已知二次函数的图像如图所示，下列结论：

⑴a+b+c﹤0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a

其中正确的结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个

3.布置作业：

课本作业题第5、6题

（四）评点总结：

（4分钟）

小结本节课你学到了什么？

五、板书设计

1.二次函数解析式的三种形式

2.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与系数a、b、c、

的关系

六、教学反思

2.2用函数观点看一元二次方程

一、教学目标

1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.

2.了解二次函数与二次方程的相互关系.

二、教学重难点

重点：

从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.

难点：

理解函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．

三、课前准备作图工具

四、教学流程：

（一）自主学习（10分钟）：

1．复习导入

第6课中“理一理知识点”的内容

2．目标展示

（1）懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；

（2）知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．

3．指导自学

学生初读课本本P27—28（可结合“检查督促”）思考下列问题，能解决的问题在课本上初步体现出来（用双色笔）

（1）求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为____，与x轴的交点坐标__．

（2）二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为__________，对称轴为__________．

（3）一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝_____________．

（4）二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________．

（5）一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△＞0时，一元二次方程有_________，

（6）△＝0时，一元二次方程有_________，△＜0时，一元二次方程________

（二）合作探究（16分钟）

探究一：

求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x、y轴交点

例1求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．

例2求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．

探究二：

探索二次函数与一元二次方程

二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.

（1）.每个图象与x轴有几个交点？

（2）.一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?

验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

（3）.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

归纳:

（3）.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:

①有两个交点,

②有一个交点,

③没有交点.

当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个根x1与x2；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。

举例:

求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。

结论1：

方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。

因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。

即：

若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（x1，0），B（x2,0）

例3如图，由图可得：

a_______0

b_______0

c_______0

△______0

例4已知二次函数y＝x2＋kx＋9．

①当k为何值时，对称轴为y轴；

②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；

③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．

（三）即时训练（10分钟）

基础题

1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标_______，与y轴的交点坐标__．

2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．

3．如图：

由图可得：

a_______0

b_______0

c_______0

△＝b2－4ac______0

提高题

1．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．

课本作业题1、2、3、4。

（四）评点总结：

（4分钟）

1、你能正确地说出二次函数的性质吗？

2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗？

你能利用函数图象回答有关性质吗？

五、板书设计

1.二次函数y＝ax2＋bx＋c与x、y轴交点

2.二次函数与二次方程的相互关系

六、教学反思

26．3实际问题与二次函数

（1）

【学习目标】

1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；

2．会应用二次函数的性质解决问题．（重点、难点）

【学习过程】

一、复习诊测（8分钟）：

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c，

a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；

a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．

2．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

（1）y＝6x2＋12x；

（2）y＝－4x2＋8x－10

3.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?

说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?

二、合作探究（22分钟）

（一）自主探究

仔细阅读课本第22页“问题”完成下面问题（独立完成后同桌订正答案）

1、围成的花圃面积y与x的函数关系式是

2、化为一般形式

3、配方得

4、所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝。

小结方法：

。

（二）合作探究

问题：

某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。

将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?

三、即时训练（10分钟）

基础题

1．填空：

（1）二次函数y＝x2＋2x－5取最小值时，自变量x的值是______；

（2）已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值为1，那么m的值是______。

2.已知一个矩形的周长是24cm。

（1）写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。

（2）当a长多少时，S最大?

提高题

3．如图

（1）所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm。

（1）要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米?

（2）如果中间有n（n是大于1的整数）道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米?

（3）比较

（1）、

（2）的结果，你能得到什么结论?

4．如图

（2），已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B＝30°，若边长AB＝x（cm）。

（1）写出□ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围。

（2）当x取什么值时，y的值最大?

并求最大值。

（3）．求二次函数的函数

5.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：

（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？

最大值是多少

26．3实际问题与二次函数

（2）

【学习目标】

1．会建立直角坐标系解决实际问题；

2．会解决桥洞水面宽度问题．

【学习过程】

一、复习诊测（10分钟）：

1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．

2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－

x2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为12m，这时水面离桥拱顶端的高度h是（）

A．3mB．2

mC．4

mD．9m

3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4

米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为4

米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？

二、合作探究（20分钟）

（一）自主探究

如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．

（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式

小结方法：

。

（二）合作探究

．

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：

前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：

如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？

若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

三、即时训练（10分钟）

基础题

一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；

（2）求支柱MN的长度；

提高题

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？

请说说你的理由．

26．3实际问题与二次函数（3）

【学习目标】

1．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。

2．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。

【学习过程】

一、复习诊测（8分钟）：

1．填表：

（二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像特征和性质）

系数的符号

图像特征和性质

a的符号

a>0.

抛物线开口向;对称轴是，

在侧，即x_时y随着x的增大而增大；

在侧，即x_时y随着x的增大而减小；

当x=时，函数y最小值是____.

a<0

抛物线开口向;对称轴是，

在侧，即x_时y随着x的增大而减小；

在侧，即x_时y随着x的增大而增大；

当x=时，函数y最大值是____.

方法提示：

在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。

步骤：

第一步设自变量；

第二步建立函数的解析式；

第三步确定自变量的取值范围；

第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）。

二、合作探究（27分钟）

（一）自主探究

出示引例（将作业题第3题作为引例）

给你长8m的铝合金条，设问：

①你能用它制成一矩形窗框吗？

②怎样设计，窗框的透光面积最大？

③如何验证？

小结方法：

。

（二）合作探究

设问：

用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框

的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？

最大面积是多少？

变式：

现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面积最大？

（结果精确到0.01米）

三、即时训练（5分钟）

课本作业题第4题

26．3实际问题与二次函数（4）

【学习目标】

1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

【学习过程】

一、复习诊测（10分钟）：

1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：

（1）；

（2）；

2、直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值。

二、合作探究（15分钟）

例：

B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？