高中数学人教A版必修2同步教师用书 第2章 211 平面.docx

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高中数学人教A版必修2同步教师用书第2章211平面

2.1　空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1　平面

1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．（难点）

2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．（重点）

3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．（难点、易错点）

[基础·初探]

教材整理1　平面

阅读教材P40～P41“思考”以上的内容，完成下列问题．

1．平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．

2．平面的画法

（1）水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图211①.

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图211②.

图①　　　　　　　图②

图211

3．平面的表示法

图211①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.

下列说法：

①书桌面是平面；②8个平面重叠后，要比6个平面重叠后厚；③有一个平面的长是100m，宽是90m；④平面是绝对平滑，无厚度，无限延展的抽象概念．

其中正确的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

【解析】　①错误，因为平面具有延展性；②错误，平面无厚度；③错误，因为平面无厚度、大小之分；④正确，符合平面的概念．

【答案】　B

教材整理2　平面的基本性质

阅读教材P41“思考”以下至P43“例1”以上的内容，完成下列问题．

公理

内容

图形

符号

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α

公理2

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在惟一的α使A，B，C∈α

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）三点可以确定一个平面．（　　）

（2）一条直线和一个点可以确定一个平面．（　　）

（3）四边形是平面图形．（　　）

（4）两条相交直线可以确定一个平面．（　　）

【解析】　

（1）错误．不共线的三点可以确定一个平面．

（2）错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．

（3）错误．四边形不一定是平面图形．

（4）正确．两条相交直线可以确定一个平面．

【答案】　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

[小组合作型]

文字语言、图形语言、符号语

言的相互转化

　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

（1）A∈α，B∉α；

（2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l；

（3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.

【精彩点拨】　解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，由已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形．

【自主解答】　

（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；

（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；

（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.

图形分别如图

（1），

（2），（3）所示．

图

（1）　　　　图

（2）　　　　图（3）

1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．

3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

[再练一题]

1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

图212

（1）点P与直线AB；

（2）点C与直线AB；

（3）点M与平面AC；

（4）点A1与平面AC；

（5）直线AB与直线BC；

（6）直线AB与平面AC；

（7）平面A1B与平面AC.

【解】　

（1）点P∈直线AB；

（2）点C∉直线AB；

（3）点M∈平面AC；（4）点A1∉平面AC；

（5）直线AB∩直线BC＝点B；

（6）直线AB⊂平面AC；

（7）平面A1B∩平面AC＝直线AB.

点、线共面问题

　已知四条直线两两相交，且不共点，求证：

这四条直线在同一平面内．

【精彩点拨】　四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：

一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．

【自主解答】　已知：

a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：

a，b，c，d四线共面．

证明：

（1）若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，

∴经过d与点O有且只有一个平面α.

∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，

∴A、B、C三点在平面α内．

由公理1知a、b、c都在平面α内，

故a、b、c、d共面．

（2）若a、b、c、d无三线共点，如图所示，

∵a∩b＝A，

∴经过a、b有且仅有一个平面α，

∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.

同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面．

综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．

证明点线共面常用的方法

1．纳入法：

先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内．

2．重合法：

先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．

[再练一题]

2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：

过a，b，l有且只有一个平面．

【证明】　如图所示，由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．

[探究共研型]

点共线与线共点问题

探究1　如图213，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？

图213

【提示】　如图，连接BD1，

∵A1C∩平面ABC1D1＝E，

∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.

∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴E∈平面A1BCD1.

探究2　上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？

【提示】　由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．

　如图214，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：

D，A，Q三点共线.【导学号：

97602006】

图214

【精彩点拨】　欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可．

【自主解答】　∵MN∩EF＝Q，

∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，

又∵M∈直线CD，N∈直线AB，

CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.

∴M、N∈平面ABCD，

∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.

同理，可得EF⊂平面ADD1A1.

∴Q∈平面ADD1A1，

又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，

∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．

点共线与线共点的证明思路

1．点共线的思路：

证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上．

2．线共点的思路：

先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上．

[再练一题]3．如图215，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：

E，F，G，H四点必定共线.【导学号：

09960044】

图215

【证明】　∵AB∥CD，

∴AB，CD确定一个平面β，

又∵AB∩α＝E，AB⊂β，

∴E∈α，E∈β，

即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线．

1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（　　）

A．A∈l，l∉α　B．A∈l，l⊄α

C．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α

【解析】　点与直线，直线与平面间的关系分别用“∈或∉”和“⊂或⊄”表示．

【答案】　B

2．下列说法中正确的个数为（　　）

①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面．

A．1B．2

C．3D．4

【解析】　③中若圆心和圆上两点共线时，可以作出无数个平面，故①②④正确，故选C.

【答案】　C

3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.

【解析】　∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.

【答案】　C

4．有以下三个说法：

①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；

②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；

③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．

其中正确的序号是________．

【解析】　若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．

【答案】　①③

5．如图216，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：

AB，CD，l共点（相交于一点）．

图216

【证明】　∵梯形ABCD，AD∥BC，

∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，

∴AB，CD必定相交于一点．

如图，设AB∩CD＝M.

又∵AB⊂α，CD⊂β，

∴M∈α，且M∈β，

∴M∈α∩β，

又∵α∩β＝l，

∴M∈l，

即AB，CD，l共点．