初等数学研究试题答案.docx

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初等数学研究试题答案

习题一

1、数系扩展的原则是什么？

有哪两种扩展方式？

（P9——P10）

答：

设数系A扩展后得到新数系为B，则数系扩展原则为：

（1）

（2）A的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B中被重新定义。

而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。

（3）在A中不是总能实施的某种运算，在B中总能施行。

（4）在同构的意义下，B应当是A的满足上述三原则的最小扩展，而且有A唯一确定。

数系扩展的方式有两种：

（1）添加元素法。

（2）构造法。

2、对自然数证明乘法单调性：

设则

（1）

（2）

（3）

证明：

（1）设命题能成立的所有C组成集合M。

由归纳公理知，所以命题对任意自然数成立。

（2）（P17定义9）

由

（1）有

（P17.定义9）

或：

（3）

3、对自然数证明乘法消去律：

（1）

（2）

（3）

证明

（1）（用反证法）

（2）方法同上。

（3）方法同上。

4、依据序数理论推求：

解：

（P16.例1）

（2）

5、设，证明是9的倍数。

证明：

则当n=k+1时：

。

。

由①，②知，对于任一自然数n成立。

6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立：

证明：

。

由、知，对任意自然数n命题成立。

7、

（1）

（2）

（3）。

解：

（1）

（2）

（3）

所得的各个数皆为自然数，

因此，

。

8、

证明：

9.证明整数集具有离散性.

证明：

（反证法）假设整数集不具有离散性，即在相邻整数a和a+1之间存在。

依据加法单调性，，

即

.这就和自然数集具有离散性相矛盾。

10、证明：

有理数乘法满足结合律。

证明：

（1）

当a,b,c中至少有一个为零。

（1）显然成立。

设a,b,c都不为零。

因为算术数乘法满足结合律，故。

故

（1）两边的绝对值相等。

如果a,b,c中有一个或三个都是负数，则

（1）两边都为负数；如果a,b,c中没有负数或有两个负数，则

（1）两边都是正数，说明

（1）两边的符号相同。

因此

（1）成立。

11、指出下列集合中可以畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环：

；；；；；；；。

答：

（1）加，乘，成环

（2）乘，除

（3）加，乘

（4）加，乘

（5）加，乘，除

（6）乘

（7）加，乘，成环

（8）加，乘，成环

12、设有n个正分数

（分母为正分数）

求证：

.

证明：

设

（1）

即

（2）

（3）

（n）

.

14.已知近似数2315.4的相对误差界是，.是确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。

故近似数精确到个位

所以有效数字有4个

19.辨别下面的断语有无错误，错在哪里？

（1）复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应。

（2）两复数的和与积都是实数的充要条件是：

这两个复数是共轭复数。

（3）共轭虚数的正整数次幂仍是共轭虚数。

（4）一个非零复数与它的倒数之和为实数的充要条件是它的模等于1。

答：

都有错误。

（1）所有向量改为：

所有以原点为起点的向量。

（2）是充分条件而非必要条件。

（3）共轭虚数应改为：

共轭复数。

（4）是充分条件而非必要条件。

20.证明：

当n为3的倍数时，

而当n是其它正整数时，上式左边等于-1。

22、

习题二