信号分析与处理 杨西侠 第2章习题答案.docx
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信号分析与处理杨西侠第2章习题答案
2-1画出下列各时间函数的波形图,注意它们的区别
1)x1(t)=sint·u(t)
2)x2(t)=sin[(t–t0)]·u(t)
3)x3(t)=sint·u(t–t0)
4)x2(t)=sin[(t–t0)]·u(t–t0)
2-2已知波形图如图2-76所示,试画出经下列各种运算后的波形图
(1)x(t-2)
(2)x(t+2)
(3)x(2t)
(4)x(t/2)
(5)x(-t)
(6)x(-t-2)
x(-t-2)
(7)x(-t/2-2)
(8)dx/dt
2-3应用脉冲函数的抽样特性,求下列表达式的函数值
(1)δ(t)dt=x(-t0)
(2)δ(t)dt=x(t0)
(3)u(t-)dt=u()
(4)u(t–2t0)dt=u(-t0)
(5)δ(t+2)dt=e2-2
(6)δ(t-)dt=+
(7)
=–
=1-=1–cosΩt0+jsinΩt0
2-4求下列各函数x1(t)与x2(t)之卷积,x1(t)*x2(t)
(1)x1(t)=u(t),x2(t)=e-at·u(t)(a>0)
x1(t)*x2(t)===
(2)x1(t)=δ(t+1)-δ(t-1),x2(t)=cos(Ωt+)·u(t)
x1(t)*x2(t)=
=cos[Ω(t+1)+]u(t+1)–cos[Ω(t-1)+]u(t-1)
(3)x1(t)=u(t)–u(t-1),x2(t)=u(t)–u(t-2)
x1(t)*x2(t)=
当t<0时,x1(t)*x2(t)=0
当0当1当2当3x1(t)*x2(t)
(4)x1(t)=u(t-1),x2(t)=sint·u(t)
x1(t)*x2(t)=
=
=1-cos(t-1)
2-5已知周期函数x(t)前1/4周期的波形如图2-77所示,根据下列各种情况的要求画出x(t)在一个周期(0(1)x(t)是偶函数,只含有偶次谐波分量
f(t)=f(-t),f(t)=f(t±T/2)
(2)x(t)是偶函数,只含有奇次谐波分量
f(t)=f(-t),f(t)=-f(t±T/2)
(3)x(t)是偶函数,含有偶次和奇次谐波分量
f(t)=f(-t)
(4)x(t)是奇函数,只含有奇次谐波分量
f(t)=-f(-t),f(t)=-f(t±T/2)
(5)x(t)是奇函数,只含有偶次谐波分量
f(t)=-f(-t),f(t)=f(t±T/2)
(6)x(t)是奇函数,含有偶次和奇次谐波分量
f(t)=-f(-t)
2-6利用信号x(t)的对称性,定性判断图2-78所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量
(a)
这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数,且正负半波不对称,所以含有直流、正弦等所有谐波分量,因为去除直流后为奇函数。
(b)
这是一个奇函数。
也是一个奇谐波函数,所以只含有基波、奇次正弦谐波分量。
(c)
除去直流分量后是奇函数,又f(t)=f(t±T/2),是偶谐波函数,所以含有直流、偶次正弦谐波。
(d)
正负半波对称,偶函数,奇谐波函数,所以只含有基波、奇次余弦分量。
(e)
奇函数、正负半波对称,所以只含有正弦分量(基、谐)
(f)
正负半波对称、奇函数、奇谐波函数,所以只含有基波和奇次正弦谐波。
2-7试画出x(t)=3cosΩ1t+5sin2Ω1t的复数谱图(幅度谱和相位谱)
解:
a0=0,a1=3,b2=5,c1=3,c2=5
|x1|=|(a1-jb1)|=,|x2|=c2=
φ1=arctan(-)=0,φ-1=0
φ2=arctan(-)=-,φ-2=
2-8求图2-8所示对称周期矩形信号的傅里叶级数
解:
这是一个正负半波对称的奇函数,奇谐函数,所以只含有基波和奇次正弦谐波。
bn=
=–
=
=
=
,n为奇数,n=1,3,5……
=
0,n为偶数,n=2,4,6……
∴x(t)=
指数形式的傅里叶级数
0,n=0,±2,±4……
Xn=(an-jbn)=
n=±1,±3,±5……
∴x(t)=a0+
2-9求图2-9所示周期信号的傅里叶级数
解:
此函数是一个偶函数x(t)=x(-t)
∴其傅里叶级数含有直流分量和余弦分量
ao==++
=++E–
=–=
an=
=
==,n=1,2,…
∴x(t)=–
2-10若已知F[x(t)]=X(Ω)利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换
(1)x(2t–5)
(2)x(1–t)
(3)x(t)·cost
解:
(1)由时移特性和尺度变换特性可得
F[x(2t-5)]=
(2)由时移特性和尺度变换特性
F[x(at)]=
F[x(t-t0)]=
F[x(1–t)]=
(3)由欧拉公式和频移特性
cost=
F[]=X(ΩΩ0)
Ω0=1
F[x(t)·cost]=[X(Ω–1)+X(Ω+1)]
2-11已知升余弦脉冲x(t)=求其傅里叶变换
解:
x(t)=[u(t+τ)–u(t–τ)]
求微分
=
=
=+
=+
由微分特性可得:
(jΩ)3X(Ω)=
∴X(Ω)=
2-12已知一信号如图2-81所示,求其傅里叶变换
解:
(1)由卷积定理求
x(t)=*
=
=
由时域卷积定理
X(Ω)==
(2)由微分特性求
,–=–,00,|t|>
=[δ(t+)+δ(t–)–2δ(t)]
由微分特性
(jΩ)2X(Ω)=
X(Ω)=
2-13已知矩形脉冲的傅里叶变换,利用时移特性求图2-82所示信号的傅里叶变换,并大致画出幅度谱
解:
=E[u(t+)–u(t–)]
=
x(t)=(t+)–(t–)
由时移特性和线性性
X(Ω)=–
=·2j=2j
2-14已知三角脉冲x1(t)的傅里叶变换为
X1(Ω)=
试利用有关性质和定理求x2(t)=x1(t–)cosΩ0t的傅里叶变换
解:
由时移性质和频域卷积定理可解得此题
由时移性质
F[x1(t–)]=
由频移特性和频域卷积定理可知:
F[x(t)cosΩ0t]=[X(Ω–Ω0)+X(Ω+Ω0)]
X2(Ω)=F[x1(t–)cosΩ0t]
=[X1(Ω–Ω0)+X(Ω+Ω0)]
=[Sa2+Sa2]
2-15求图2-82所示X(Ω)的傅里叶逆变换x(t)
解:
a)X(Ω)=|X(Ω)|
=
由定义:
x(t)=
=
=
=
=
=
b)
=+
=+
=+
=
–
==
2-16确定下列信号的最低抽样频率与抽样间隔
(1)Sa(100t)
(2)Sa2(100t)
(3)Sa(100t)+Sa2(100t)
解:
(1)由对偶性质可知:
Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲,其脉宽为[-100,100]
即Ωm=100=2πfm
∴fm=
由抽样定理fs≥2fm
∴fs≥2×=
Ts≤
(2)由对偶性质可知
Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲,其脉宽为[-100,100]
又由频域卷积定理可知
Sa2(100t)的频谱是脉宽为[–200,–200]的三角形脉冲
即Ωm=200=2πfm
∴fm=
由抽样定理fs≥2fm
∴fs≥2×=
Ts≤
(3)由线性性质可知
Sa(100t)+Sa2(100t)的频谱是Sa(100t)和Sa2(100t)之和
∴其Ωm=2πfm=200
即fm=
则fs≥2fm=
Ts≤
2-17已知人的脑电波频率范围为0~45Hz,对其作数字处理时,可以使用的最大抽样周期T是多少?
若以T=5ms抽样,要使抽样信号通过一理想低通滤波器后,能不是真的回复原信号,问理想低通滤波器的截至频率fc应满足什么条件?
解:
由已知条件,可知fm=45Hz
由抽样定理fs≥2fm=90Hz
∴T≤
T=0.005∴fs===200
由抽样定理和低通滤波可知
45≤fc≤200-45=155
即45≤fc≤155
2-18若F[a(t)]=X(Ω),如图2-85所示,当抽样脉冲p(t)为下列信号时,试分别求抽样后的抽样信号的频谱Xs(Ω),并画出相应的频谱图
(1)p(t)=cost
(2)p(t)=cos2t
(3)p(t)=
(4)p(t)=
解:
由抽样特性可知
xs=x(t)p(t)
由频域卷积定理可知
Xs(Ω)=
(1)P(Ω)=[δ(Ω+1)+δ(Ω-1)]
∴Xs(Ω)=
=
(2)P(Ω)=[δ(Ω+2)+δ(Ω-2)]
∴Xs(Ω)=
=
(3)P(Ω)=
=
∴Xs(Ω)=
=
(4)P(Ω)=
=
∴Xs(Ω)=
=
Xp
(1)=2,Xp
(2)=0,Xp(3)=2