高考数学文第七篇 立体几何 第4节 直线平面平行的判定与性质.docx

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高考数学文第七篇立体几何第4节直线平面平行的判定与性质

第4节　直线、平面平行的判定与性质

【选题明细表】

知识点、方法

题号

与平行有关的问题及命题判定

1,2,3

直线与平面平行

4,7,9,11,15

面面平行

10,16

综合问题

5,6,8,12,13,14

基础对点练（时间:

30分钟）

1.（2016·黑龙江大庆模拟）α,β表示平面,a,b表示直线,则a∥α的一个充分条件是（　D　）

（A）α⊥β,且a⊥β（B）α∩β=b,且a∥b

（C）a∥b,且b∥α（D）α∥β,且a⊂β

解析:

A.还可能有a⊂α,所以不正确;

B.因为a不一定在β内,所以不正确;

C.还可能有a⊂α,所以不正确;

D.α∥β,且a⊂β由面面平行的性质定理可知是正确的.

故选D.

2.已知m,n,l是不同的直线,α,β是不同的平面,以下命题正确的是（　D　）

①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β;

②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n;

③若m⊥α,n⊥β,α∥β,则m∥n;

④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n.

（A）①③（B）③④

（C）②④（D）③

解析:

①若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β或α,β相交;

②若m⊂α,n⊂β,α∥β,l⊥m,则l⊥n或l∥n或l,n异面;

③正确;

④若α⊥β,m∥α,n∥β,则m⊥n或m∥n或m,n异面.

3.设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面.则下列四个命题中,正确的是（　D　）

（A）若a,b与α所成的角相等,则a∥b

（B）若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b

（C）若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β

（D）若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b

解析:

A中,a与b可能相交,故A错;B中,a与b可平行、相交、异面,故B错;C中,α与β可能相交,故C错;D正确.选D.

4.（2016·北京模拟）在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,

B1C1,BB1的中点,给出下列四个推断:

①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1;

③FG∥平面BC1D1;④平面EFG∥平面BC1D1

其中推断正确的序号是（　A　）

（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④

解析:

因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的

中点,

所以FG∥BC1,因为BC1∥AD1,所以FG∥AD1,

因为FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,所以FG∥平面AA1D1D,故①

正确;

因为EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,所以EF与平面BC1D1相交,故②

错误;

因为E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,

所以FG∥BC1,因为FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1,

所以FG∥平面BC1D1,故③正确;

因为EF与平面BC1D1相交,所以平面EFG与平面BC1D1相交,故④错误.

故选A.

5.（2016·宁夏银川月考）如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是（　C　）

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;

②BC∥平面A′DE;

③三棱锥A′-FED的体积有最大值.

（A）①（B）①②

（C）①②③（D）②③

解析:

①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC,

所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.

②BC∥DE,根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.

③当面A′DE⊥面ABC时,三棱锥A′-FDE的体积达到最大.故选C.

6.（2016·广东江门一模）如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,下列结论中不正确的是（　D　）

（A）EF⊥BB1

（B）EF∥平面ACC1A1

（C）EF⊥BD

（D）EF⊥平面BCC1B1

解析:

在B中:

连接A1B,由平行四边形的性质得A1B过E点,

且E为A1B的中点,则EF∥A1C1,

又A1C1⊂平面ACC1A1,EF⊄平面ACC1A1,所以EF∥平面ACC1A1,故B正确;

在A中:

由正方体的几何特征可得B1B⊥平面A1B1C1D1,

又由A1C1⊂平面A1B1C1D1,可得B1B⊥A1C1,

由EF∥平面ACC1A1可得EF⊥BB1,故A正确;

在C中:

由正方形对角线互相垂直可得AC⊥BD,

因为EF∥A1C1,AC∥A1C1,所以EF∥AC,则EF与BD垂直,故C正确;

在D中:

因为EF⊥BB1,BB1∩BC=B,所以EF与BC不垂直,

所以EF⊥平面BCC1B1不成立,故D错误.

故选D.

7.（2016·河南商丘期末）如图四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为SA上的点,当E满足条件:

　　　　时,SC∥平面EBD. 

解析:

因为SC∥平面EBD,SC⊂平面SAC,平面SAC∩平面EBD=OE,

所以SC∥OE,

又因为底面ABCD为平行四边形,O为对角线AC与BD的交点,故O为AC的中点,

所以E为SA的中点,

故当E满足条件:

SE=AE时,SC∥平面EBD.

答案:

SE=AE

8.如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交平面α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=　　　　. 

解析:

因为a∥α,α∩平面ABD=EG,

所以a∥EG,即BD∥EG,

所以

=

则EG=

=

=

.

答案:

9.导学号49612200下列各图中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是　　　. 

解析:

对①,因为M,N,P分别为其所在棱的中点,可证MN,NP与平面AB平行,

所以平面AB∥平面MNP,所以AB∥平面MNP,故①正确;

对②,如图:

AB与平面MNP不可能平行,设MP∩平面ABN=O,若AB∥平面MNP,则AB∥ON,则O为底面对角线的中点,显然错误,故②不正确;

对③,如图,可证平面ABC∥平面MNP,AB⊂平面ABC,所以AB∥平面MNP,故③正确;

对④,若AB∥平面MNP,则可证平面AB∥平面MNP,由图知平面AB与平面MNP不可能平行,故④不正确;

故答案是①③.

答案:

①③

10.（2016·河北衡水模拟）如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,CD和SC的中点.求证:

（1）直线EG∥平面BDD1B1;

（2）平面EFG∥平面BDD1B1.

证明:

（1）如图,连结SB,

因为E,G分别是BC,SC的中点,

所以EG∥SB,

又SB⊂平面BDD1B1,EG不包含于平面BDD1B1,

所以直线EG∥平面BDD1B1.

（2）如图,连结SD,

因为F,G分别是DC、SC的中点,所以FG∥SD,

又SD⊂平面BDD1B1,FG不包含于平面BDD1B1,

所以FG∥平面BDD1B1,

又直线EG∥平面BDD1B1,且直线EG⊂平面EFG,直线FG⊂平面EFG,

EG∩FG=G,

所以平面EFG∥平面BDD1B1.

11.如图,直三棱柱ABC-A′B′C′,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.

（1）证明:

MN∥平面A′ACC′;

（2）若平面A′BC′∩平面ABC=l,求证:

l∥AC.

证明:

（1）连接AB′,AC′,因为四边形ABB′A′为矩形,

所以MB′=MA,即M为AB′的中点.

又因为N为B′C′的中点,

所以MN∥AC′.

又MN⊄平面A′ACC′,AC′⊂平面A′ACC′,

因此MN∥平面A′ACC′.

（2）因为四边形ACC′A′为矩形,所以AC∥A′C′,

又因为AC⊂平面ABC,A′C′⊄平面ABC,

所以A′C′∥平面ABC,

又A′C′⊂平面A′BC′,平面A′BC′∩平面ABC=l,

所以A′C′∥l,

又A′C′∥AC,所以AC∥l.

能力提升练（时间:

15分钟）

12.（2015·河北唐山二模）如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和B1C上的动点,且满足AP=B1Q,则下列命题错误的是（　B　）

（A）存在P,Q的某一位置,使AB∥PQ

（B）△BPQ的面积为定值

（C）当PA>0时,直线PB1与AQ是异面直线

（D）无论P,Q运动到任何位置,均有BC⊥PQ

解析:

对于A,当P,Q分别是AD1与B1C的中点时,AB∥PQ,所以A正确;对于B,当P在A处,Q在B1处时,△BPQ的面积为

当P,Q分别在AD1与B1C的中点时,△BPQ的面积为

故B错误;对于C,当PA>0时,设直线PB1与AQ是共面直线,则AP与B1Q共面,与已知矛盾,故C正确;对于D,由于BC垂直于PQ在平面ABCD内的射影,可知BC⊥PQ,故D正确.

13.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为（　B　）

（A）AC⊥BD

（B）AC=BD

（C）AC∥截面PQMN

（D）异面直线PM与BD所成的角为45°

解析:

因为截面PQMN是正方形,

所以PQ∥MN,QM∥PN,

则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA,

所以PQ∥AC,QM∥BD,

由PQ⊥QM可得AC⊥BD,故A正确;

由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN,故C正确;

由BD∥PN,

所以∠MPN是异面直线PM与BD所成的角,且为45°,D正确;

由上面可知:

BD∥PN,MN∥AC.

所以

=

=

而AN≠DN,PN=MN,

所以BD≠AC.B错误.故选B.

14.导学号49612201空间四边形ABCD的两条对棱AC,BD互相垂直,AC,BD的长分别为8和2,则平行四边形两条对棱的截面四边形EFGN在平移过程中,面积的最大值是　　　. 

解析:

如图,假设EFGN是截面四边形,EFGN为平行四边形;

设EN=x（0

由EN∥BD,NG∥AC可得:

=

=

=

=

两式相加,得:

=1=

+

化简,得8=4x+y,

可得8=4x+y≥4

（当且仅当4x=y时等号成立）,解得xy≤4,解得S=xy≤4.

答案:

4

15.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为PD的中点.

（1）证明:

PB∥平面AEC;

（2）若平面APD∩平面PBC=直线l.

证明:

l∥BC.

证明:

（1）连接BD交AC于点O,连结EO.

因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点.

又E为PD的中点,所以EO∥PB.

又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,

所以PB∥平面AEC.

（2）因为四边形ABCD为矩形,

所以BC∥AD,

又BC⊄平面APD,AD⊂平面APD,

所以BC∥平面APD,

又BC⊂平面PBC,平面APD∩平面PBC=l,

所以l∥BC.

16.（2016·长春模拟）如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,点D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,点D1是B1C1的中点,求证:

平面A1BD1∥平面AC1D.

证明:

如图,连接A1C交AC1于点E,连接ED.

因为四边形A1ACC1是平行四边形,

所以点E是A1C的中点,

因为A1B∥平面AC1D,平面A1BC∩平面AC1D=ED,

所以A1B∥ED.

因为点E是A1C的中点,所以点D是BC的中点,

又因为点D1是B1C1的中点,所以D1C1􀱀BD,

所以四边形BDC1D1为平行四边形,所以BD1∥C1D.

BD1⊄平面AC1D,C1D⊂平面AC1D,

所以BD1∥平面AC1D,

又因为A1B∩BD1=B,

所以平面A1BD1∥平面AC1D.

好题天天练

1.给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个命题:

①若l与m为异面直线,l⊂α,m⊂β,则α∥β;

②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m;

③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.

其中真命题的个数为（　C　）

（A）3（B）2（C）1（D）0

解析:

①当异面直线l,m满足l⊂α,m⊂β时,α,β也可以相交,故①为假命题.

②若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l,m平行或异面,故②为假命题.

③如图所示,设几何体三侧面分别为α,β,γ.

交线l,m,n,若l∥γ,则l∥m,l∥n,

则m∥n,③为真命题.

2.（2016·衡水中学月考）如图,在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是　. 

解题关键:

转化思想、平面图形中的平行关系.

解析:

连接AM并延长交CD于E,

则E为CD的中点.

由于N为△BCD的重心,

所以B,N,E三点共线,

且

=

=

所以MN∥AB.

于是MN∥平面ABD且MN∥平面ABC.

答案:

平面ABC,平面ABD

3.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,线段PA,PB,PC分别交α于A′,B′,C′,若PA′∶AA′=2∶3,则

=　　　　. 

解析:

由平面α∥平面ABC,

得AB∥A′B′,BC∥B′C′,AC∥A′C′,

由等角定理得∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′,

∠CAB=∠C′A′B′,从而△ABC∽△A′B′C′,

又△PAB∽△PA′B′,

故

=（

）2=（

）2=

.

答案: