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数模案例
紧急撤离
摘要
本文是关于安排建筑物的出口和撤离方案使所有人员撤离完毕所用疏散时间最小的优化问题。
问题一：
我们假设只有单行和双行两种方式。
无论哪种方式，人流速度主要与人员密度有关，。
通过分析知流量随人流密度的增加先增后减，单行流
量小于双行的流量，故我们尽量使人流双行。
经分析得出：
问题二：
在问题一的基础上，给出符合实际情况的数据，模拟地震发生时的情形，经求解得出：
当时，
当时，
得出最佳撤离方案：
即先撤出一楼单行的人员，再撤出一楼和二楼双行的人员，
最后撤出三至五层楼的人员。
问题三：
为方便紧急撤离，在问题三的分析中，我们给出五个改进措施。
根据这五个措施，画出教学楼的设计图。
为使模型简化，给出了一些合理的假设和数据，从而得出疏散时各楼层的模拟图。
最终列出模型方程：
代入问题二中的数据，得到：
当时，
当时，
与问题二中所求的疏散时间相比较，显然我们改进的方案的疏散时间较短。
故我们的改进方案可行性较强。
问题四：
经分析为使疏散时间最小，只需使等待时间最小。
以下为教室安排方案：
先让速度快的人员先下楼，故一楼安排运动能力为E的人员，二楼安排运动能力为A的人员，三楼安排运动能力为B的人员，四楼安排运动能力为C的人员，五楼安排运动能力为D的人员。
巧妙的将人的行走比作流体，建立人流模型，使问题简化，这是本文的特色。
关键词：
单行，双行，人流密度
一、问题的重述
1.1问题的背景
中新网5月24日电国务院新闻办今天下午受国务院抗震救灾总指挥部授权发布，据民政部统计，截至24日12时，四川汶川大地震已经造成60560人遇难，352290人受伤，26221人失踪，全国人民沉痛衰悼遇难同胞，在重大灾害面前，全国上下，众志成城，坚决战胜这场特大的地震灾害，显示了中华民族的伟大力量！
痛定思痛，在这场特大地震灾害里，遇难的同胞大多是被倒塌的建筑掩埋或挤压而失去自己的生命，在人员聚集的场所（如学校）伤亡犹其惨痛！
如果地震发生之时人们能在第一时间撒离建筑物，那么伤亡可能会小得多！
在灾难发生之时，建筑物内的人员是否能有组织、有秩序地撤离是有关人身安全保障的大问题。
对于一个特定的建筑物，管理人员最关心建筑物内所有的人全部撤离完毕所用时间，以便于安排建筑物的出口以及撤离方案。
这个问题可以通过反复的实际演习来解决。
但多次反复的演习实际上是不可能的。
理想的办法是通过理论上的分析得到。
1.2问题的提出
现在考虑学校的一座教学楼，共五层，其中每层楼有一排教室，共四间，如图1：
图1教学楼平面图
楼里的师生们可以沿教室外的走道一直走到楼梯间下楼，试完成下面的问题：
1.用数学模型来分析这栋教学楼的师生疏散所用的时间；
2.根据建立的数学模型给出最佳撤离方案；
3.为方便紧急撤离，结合实际，就教学楼的设计方案给出合化的建议；
4.若教学楼按你预计的方案建设，考虑到不同年龄的学生的运动能力不同，为方便紧急撤离，给学校提供合理的教室安排方案。
二、模型假设
（1）楼道中与楼梯上无障碍物；
（2）地震时，老师与学生都在教室中；
（3）人体厚度相同；
（4）在疏散过程中，在门口、楼梯口、由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理；
（5）个体始终朝出口方向移动，不考虑心理层面对个体的行为的影响；
（6）忽略卡死与跌倒现象；
（7）到一楼楼梯底即为逃脱；
三、符号说明与名词解释
3.1符号说明
1.为第层楼第个教室中的人数；
2.为第个教室的门口到它前面一个教室的门口或出口的距离；
3.为教室门的宽度；
4.为楼房的层高；
5.是人流移动速度；
6.是不发生拥挤时自由移动速度；
7.是人流密度；
8.为肩宽；为步长；为身体厚度；
9.楼梯宽度；楼梯长度；
10.走廊宽度；
11.为相邻个体间距，；
12.为相邻楼层间的楼梯长度；
13.人流的宽度：
。
3.2名词解释
（1）单行：
人员排成一列行走；
（2）双行：
人员排成两列行走；
（3）人行流（人流）：
运动的人员视为连续流动的介质，即人流。
四、模型的准备
人行流（人流）的基本函数
研究对象是在无穷长的路上沿单向运动的一条人流假定不允许任何人超前行走，路上也没有岔路，在路上选定一个坐标原点，记作。
以人流流运动方向作为轴的正向，于是路上任一点用坐标表示。
对于每一时刻和每一点，引人3个基本函数：
流量一时刻单位时间内通过点的人数；
密度一时刻点处单位长度内的人数；
速度一时刻通过点的人流速度。
将人流视为一维流体场，这些函数完全可以类比作流体的流员、密度和速
度．注意这里速度不表示固定的哪一个人的速度．
3个基本函数之间存在着密切关系．首先可以知道，单位时间内通过的人
数等于单位长度内的人数与人流速度的乘积，即
（1）
其次，经验告诉我们，人流速度总是随着人流密度的增加而减小的当一个人前面没有人时，它将以最大速度行走，可描述为时（最大使）：
当人首尾相接造成堵塞时，人无法前进，可记为（最大使）时．不妨简化地假设是的线性函数，即
（2）
再由
（1）式可得：
（3）
表明流量随人流密度的增加先增后减，在处达到最大使（图2）。
应该指出，
（2），（3）式是在平衡状态下和之间的关系，即假定所有人的速度相同，路上各处人的人流密度相同。
图2
五、问题的分析
5.1问题一的分析
人员疏散时间不仅与人员密度、出口通量、人员疏散速度有关系,还与建筑结构形式有关。
我们把运动的人员视为连续流动介质。
这里我们令=1，，即人员从门通过时是单行，楼梯最多并行两个人；且楼梯长度小于。
由模型的准备可知流量随人流密度的增加先增后减，单行的流量小于双行的流量，故我们尽量使人流双行。
单行速度，双行速度，如图3：
图3二楼人员刚出来时一楼情况
因为且，故二楼的中第一个跑出的人员与一楼人员相遇。
如图4：
图4二楼人员与一楼人员相遇时一楼情况
忽略一些特殊情况如：
图5人员运动过程中的特殊情况
由于人员都是连续的人流，故只有前面个人员单行，其余的都双行，故我们可以得出：
疏散时间=单行人员疏散时间+双行人员疏散时间
5.2问题二的分析
根据假设，在疏散过程中，在门口、楼梯口、由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理。
在等待过程中，如果出现以下情况，如图6：
图6等待中出现的情况
则可以自动调整为以下情况，如图6：
图7调整后的情况
在问题一的基础上，在人员疏散过程中，我们设定以下规则：
1.当不拥挤时，人员单行出楼时，无需等待，直接出楼；
2.当拥挤时，人员按照排队理论，先到的人行流先行；
3.若出现图5的情况时，自动转变为图6；
4.即使不是在同一人行流中，到出口时，可以互相“组队”形成双行，使楼梯利用率最大。
我们模拟地震逃亡，给出一些符合实际的模拟数据，给出最佳撤离方案。
5.3问题三的分析
为方便紧急撤离，我们就教学楼的设计方案给出以下建议：
（1）把楼梯建于四个教室的中间；
（2）使所有门建于靠近楼梯的一端；
（3）一楼无走廊，一楼的人员可以直接从门里逃脱出去；
（4）适当拓宽门、走廊和楼梯；
（5）在面积不变的情况下，减小五个楼层的教室的。
5.4问题四的分析
为方便说明，不妨设运动能力（年龄由大到小）为A、B、C、D、E（A>B>C>D>E）。
明显，我们先把运动能力为E的人员安排在一楼。
下面讨论运动能力为A、B、C、D的人员的安排情况。
由经验可知：
以及
故可以认为人流不间断，且都是以最大流量从出口出去。
为使疏散时间最小，现在我们只需使等待时间最小即可。
六、模型的建立与求解
6.1问题一模型的建立
日本的提出经过和简化推导得到的计算公式，他们认为人流速度主要与人员密度有关：
[1]
是人流移动速度，是不发生拥挤时自由移动速度，是人流密度。
有问题一的分析可知：
疏散时间=单行人员疏散时间+双行人员疏散时间
单行人员疏散时间：
其中，（）
单行人员个数为：
注：
表示不超过的最大整数，称为的整数部分。
双行人员疏散时间：
其中，
最终列出疏散时间的模型方程：
即：
6.2问题二最佳撤离方案的建立
根据问题二的分析，我们模拟地震时，教学楼疏散时的情形。
下面我们给出各楼各教室的人数：
一楼二楼三楼四楼五楼
（人）
3538363845
（人）
3740353739
（人）
3643345146
（人）
4337324338
表1各楼各教室的人数
初始化问题一中的一些变量：
考虑到我国人口素质未来6年的发展情况和表2,兼顾计算的简便,在本文中取
则
将上述数据分别代入
利用软件求解得出：
当时，
当时，
最佳撤离方案为：
当开始疏散时，所有的人员都同时行动。
一楼的人先按次序撤离，此时单行；当二楼的人员与一楼的人员相遇时，此时双行；忽略后面一小段单行，除去一开始单行，其余全部按双行处理。
即先撤出一楼单行的人员，再撤出一楼和二楼双行的人员，最后撤出三至五层楼的人员。
我们取时，所有人员疏散总时间为。
6.3问题三模型的建立与求解
由问题三的分析，根据其改进方案，我们可以给出教学楼一楼、二楼及二楼以上楼层的的设计图：
图8一楼设计图
图9二楼及二楼以上楼层设计图
现假设人流的宽度：
，即两个人可以同时从门里出去；楼梯宽度，即楼梯最多能让3个人并行；二到五层走廊宽度，走廊可以同时让4个人并行；
根据以上假设，我们给出人员疏散模拟图：
图10一楼人员疏散模拟图
图11二楼及二楼以上楼层人员疏散模拟图
现在我们根据假设及模拟图求出人员疏散时间：
一楼四个教室的人数为
其他教室的总人数为
从楼梯上下来的人员的速度为，
所有人员撤出的总时间
即：
我们利用软件求解可得：
当时，
当时，
当时，
与问题二中所求的疏散时间相比较，显然我们改进的方案的疏散时间较短。
故我们的改进方案可行性强。
6.4问题四模型的建立与求解
根据问题四的分析，我们建立疏散时间的模型。
四种运动能力A、B、C、D人员的运动速度为（）
二楼至四楼人员疏散时间，也即该楼总疏散时间：
+
其中分别为二、三、四、五楼人员的等待时间。
要使最小，只需使总等待时间最小。
所以得到最终教室安排方案：
先让速度快的人员先下楼，故一楼安排运动能力为E的人员，二楼安排运动能力为A的人员，三楼安排运动能力为B的人员，四楼安排运动能力为C的人员，五楼安排运动能力为D的人员。
七、模型的进一步研究
由于我们的模型在一定程度上有理想化成分，我们将模型进行深度讨论，运用我们模型的思想作为为基础，来对该模型进行理论与实践上的讨论作为我们模型的推广。
人员疏散行为规律的研究一直是人们关注的焦点。
我国对安全疏散的研究起步比较晚，大都还停留在定性分析阶段。
近几年来，随着我国对消防安全的逐渐重视，才出现了一些关于建筑物中安全疏散模拟模型的研究。
但这些模型在计算人员疏散行动时间时，把人员在房间内的移动都看成是人到出口的直线运动路线。
而实际上由于房间中桌椅等障碍的影响，避难者的行动路线是折线运动。
针对这个问题，本文提出一种按“L”型行动路线表示人员在房间中的行走情况，并用面积法计算避难者在房间出口的集结状况。
而人员在走廊、楼梯间等通道中的移动则采用将通道划分为单元，每个单元长为“”，以此计算出口的避难者人数。
并通过与国外公式的对比检验，证明了本模型具有一定的准确性。
疏散行动模型的建立:
7.1模型基本情况的假定
7.1.1建筑基本情况
建筑的标准层水平通道为条形或环形布置，房间在走道的两侧布置（房间也可单侧布置，另一侧为走道）。
疏散走道为双向疏散至楼梯间。
楼梯间通向安全避难层。
此避难层即为最终疏散的安全地点。
即建筑物都包括了房间、走道、楼梯间前室、楼梯间、安全地点等主要的空间要素。
7.1.2人员情况
疏散人员包括以下几类人员：
不同年龄的人、活动不便的人以及。
人员分布：
疏散前人员在各房间内，在房间内按同一人员密度分布，其他位置（如：
走道、楼梯间前室、楼梯间等疏散通道）内无人员分布。
7.1.3疏散情况
建筑中的人员按照既定的疏散计划方案中的疏散路径有序地进行疏散，且在疏散过程中人群不出现恐慌状态。
7.2疏散流动的模式化
7.2.1空间的模式化
采用空间网络型控制方法，将各个房间、通道、楼梯间前室、楼梯间、安全地点分别作为网络的基本节点。
再结合建筑情况和疏散过程的实际情况，把走道、楼梯间节点进一步细分为几种具有各自特性类型的节点。
各种类型节点的划分定义情况。
为了便于计算，还将各个空间节点之间的联系定义为连接（Link）。
该连接（Link）为各个空间节点相互联系的假想空间，该处既无面积，亦不存在用于移动的时间。
7.2.2流动的处理
在疏散过程中，人的流动以单向型人流对待，在门口、楼梯口、出入口等处由于瓶颈因素人流可能出现滞留，在此情况按排队等候型处理；在楼梯前室，如有两个出口，人流则按均匀分配处理。
7.2.3人的处理
由于已将疏散通道的各个空间节点细分了，且可把各疏散通道的空间节点看成是一个个微元单位。
因此，在人员疏散的流动过程中，在所划分的各个疏散通道的空间节点中的人员分布在各个时刻可看成是按该时刻时的同一密度均匀分布。
7.3疏散模型的基本原理
疏散人员从疏散开始后某一时刻T至下一时刻（T+△T）时间阶段内所进行的疏散行动（移动）分为两个阶段：
1.疏散人员在其所在的空间节点内的移动（移向该节点出口）。
2.疏散人员在各连接（Link）的移动。
即由上一空间节点向下一空间节点的移动。
上一空间节点流出人数为此节点能够流出的人数和其出口允许流出人数两者的较小值。
而下一空间节点允许进入的人数等于该节点所能容纳的最大人数减掉该节点剩余人数。
因此，通过连接（link）的人数即为上一空间节点流出人数和下一空间节点允许进入的人数两者的较小值。
本文重点介绍房间内人员移动的技术原理。
图12房间内避难者的移动计算图
如图2所示，房间内避难者的移动按“L型”的折线步行路径行动。
这是因为在房间中必然存在着一些障碍物（如家具、桌椅等）。
所以避难人员在房间中移动的实际路线按“L型”的折线步行路径行走考虑更为合理。
因此，可用面积法计算疏散开始后，经过时间T能到达房间出口的避难者人员总数。
其中：
——时刻T时，能到达房间出口的避难者人员总数，人
——房间单元的短边长度，
——房间单元的长边长度，
Vr——避难者在房间内的步行速度，
——疏散前房间单元内的人员密度，
——疏散开始后经过的时间，
则在时刻时，在时间间隔△T内人群向房间节点的出口集结，并有部分或者全部人员流出该节点，能够集结至房间节点出口部分的人数为：
其中：
△T——疏散累计计算时间间隔，s
此后，应用网络控制型原理可依次计算疏散过程中各时刻各空间节点的人数。
由于篇幅限制，这里不作详细阐述。
本文通过对空间节点的细化，建立了更为完善的人员疏散计算模型。
特别是对人员在房间内的行走提出了“L”型行动路线，更为真实的描述了人员行动规律。
八、模型的检验
人群疏散基本特征量的量化观测:
人群在建筑物内移动的基本特征量主要有3个即：
人流密度、人员（或人流）移动速度和流量。
人流密度是指在移动过程中单位面积内所拥有的人数，单位为。
移动速度是指人员在单位时间内移动的距离，单位为。
人流流量一般是指单位宽度通道在单位时间内所能通过的人数，。
一般而言，它们之间存在如下关系：
人流流量=人流速度×人流密度×通道宽度
同时，在这里人流的移动速度又在很大程度上取决于人流密度。
人流密度越大，人与人之间的距离越小人员移动越缓慢；反之密度越小，人员移动越快。
当然，这还与人们的文化传统、社会习惯、人们之间的彼此熟悉程度有关。
国外研究资料表明：
一般人员密度小于，人们可以按自由移动的速度移动；当密度超过时，人们几乎无法移动。
人流速度与密度的关系许多学者都进行了大量的观测。
比较典型有前苏联的，，美国的，加拿大的等人，一般可以将人员密度和移动速度的关系描述成对数关系，也有人把它们描述成指数甚至线性关系。
如果人员的移动速度大，必然要求人口密度小，则相应的人流流量不一定大；反之，人员密度大，但速度又会降下来，流量也不一定大，人流流量只有在某一人口密度的条件下达到最大。
现有疏散时间的量化计算方法:
我国目前的建筑规范主要是控制建筑物的出口、楼梯、门等容量来进行疏散设计。
一般是根据总人数按单位宽度的人流通行能力及建筑物容许的疏散时来控制建筑物的出口总宽度，并限制人员离最近出口的最大距离来进行疏散设计。
此外还规定门、走道的最小净宽及每100人宽度指标等。
其基本的计算公式为在：
式中：
设计考察的人数；是单位宽度出口通过系数，一般取；是建筑物容许设计的疏散控制时间，取。
我们所求的疏散时间符合上述要求。
对于人员在建筑内的疏散时间的计算，在过去几十年国内外的许多学者都进行过不同程度的研究。
从可以检索的资料来看，国内在这方面较为详细探讨的主要包括：
黄恒栋对于室内人员的疏散流动聚结时间设计特性和安全出口的人流流出时间特性规律进行了较为详细的分析。
最近刘文利等进行了人员在地下商业街的疏散预测研究，东北大学的陈宝智等也进行过关于事故时应急疏散模型的相关研究。
但总的说来我国在这一领域的研究还十分薄弱。
国外的许多科学家及建筑工程师等经过大量的观察、演习、访问等研究，推导和总结了一系列关于建筑物出口、通道容量的计算公式。
目前许多建筑设计仍大量应用这些公式。
其中比较著名的有如下公式。
（1）日本推导的疏散时间近似计算公式
经过简化可以得到如下公式：
上式中：
是建筑物疏散人员总数；
，分别是第个出口和最终出口处的人员流量；
是出口总数；
是第个出口的宽度；
是出现定常人口流动时的时间；
为第个出口处人员滞留系数；
是从最终出口到人流起端的距离（可以简单认为是第一个人员移动到最终出口的距离）；
人流移动速度。
（2）英国的和方程
与方程类似，但该方法主要偏重计算多层建筑的总体疏散时间：
上式中：
是第（从1到）层以上人员疏散下来的最小时间；
为第层的人数；
单位宽度楼梯通过的流量；
是从到层的楼梯宽度；
是在不受拥挤情况下的人员下降一层所需的时间,一般取16s。
当，则时时间最长，；
当，则时时间最长，；
（3）加拿大经验方法
加拿大经过了大量的演习观测总结出了一系列关于多层建筑疏散时间的计算方法,他提出了有效楼梯宽度的概念,即认为实际人们可以利用的楼梯面积应该扣除楼梯两侧不可利用部分各，并得到人流流量在楼梯处的经验拟合公式：
是每有效宽度楼梯所能通过的人流流量，是每有效宽度楼梯要疏散的人数。
对于多层建筑疏散时间,Paul给出了如下公式：
（1）当单位宽度楼梯通过的人数少于800人时
（2）当单位宽度楼梯通过的人数多于800人时
九、模型的评价
8.1模型的优点
1.模型将许多复杂因素分类研究其影响，先使问题得到简化，先然后再从整体考虑，给出最优答案；
2.巧妙的将人的行走比作水的流动，建立人流模型，使问题形象化;
3.模型考虑细腻，分析精巧，考虑到人自身的各种身体条件的差异，以及用合理的方法处理现实生活中广泛存在的瓶颈效应，使模型具有很强的适应性;
4.在模型的进一步研究中，我们又考虑到了房间内障碍物对人行走的影响，提出了“L”型行走线路，然后将整个建筑网络化，每一出口都是网络的一个点，利用面积法研究人员流动问题;
5.模型得出的建筑物允许实际的疏散控制时间2到4分钟，结果很理想，现实意义重大。
8.2模型的缺点
1.因为地震到来会有很多偶然因素，所以模型中融入一些主观认识，提出了部分假设，忽略了次要因素，致使与事实存在偏差;
2.数据取样不唯一，不确定，误差难免存在。
十、模型的推广
文章分析了大型建筑物内人员疏散的特点,结合某幢教学楼的设定地震场景人员的安全疏散,对该建筑物中人员疏散的设计方案做出了初步定量分析,得出了一种在人流密度较大的建筑物内,地震中人员疏散时间的计算方法和疏散过程中瓶颈现象的处理方法,并提出采用距离控制疏散过程和瓶颈控制疏散过程来分析和计算建筑物的人员疏散时间。
倘若将人比作物资，那么也就类同于受众多因素影响的物资调运问题，且调运过程中会在某些相会点受瓶颈效应的影响，比如资金。
此模型也可用于研究交通车辆的管理与调运。
在第四问中需要考虑不同年龄段的人的不同行走速度，需要给予年幼者特殊照顾，即考虑优先情况。
这样就需要对各年龄段的学生的教室位置进行排序，属于一类重要的组合优化问题。
本题主要是研究地震发生时教学楼内的人员疏散问题，只要将原模型稍作修改，考虑到火灾发生时的特征因素（烟雾对人员的影响，火势对通道口的影响），那也将是一套完整的火灾人员疏散模型。
由于问题复杂，涉及的知识点很多，所以模型的应用很广泛。
十一、参考文献
[1]方正，陈大宏，卢兆明，高层建筑人员疏散时间计算的探讨，科技进步与对策，1001—7348（2000）12—200—02：
200、201页，2000。
[2]叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，1993。
[3]StephenPheasant,Bodyspace:
Anthropometry,ErgonomicsandtheDesignoftheWork2ndEd.USATaylor&FrancisInc.2001。
[4]王厚华，郭丹，郭勇，建筑物人员疏散行动时间的预测研究，中国安全科学学报，第16卷第11期：
54页，58页，2006。
[5]姜启源，《数学模型》，北京：
高等教育出版社，2003。
[6]阮晓青周义仓，《数学建模引论》，北京：
高等教育出版社，2005。
附录
问题二程序：
n={{35,37,36,43},{38,40,43,37},{36,35,34,32},{38,37,51,43},{45,39,46,38}};
d=0.5;v01=4;v02=3;l=6;c=0.75;
s=Sum[n[[i,j]],{i,1,5},{j,1,4}];
k=Floor[l/d+1]^-0.8;
k1=k*2^-0.8;
b=Floor[l/d+1];
q=（s-b）/2;
t1=l/（v01-k）+（s-b/2）*c/（v01-k1）
t2=l/（v02-k）+（s-b/2）*c/（v02-k1）
程序求解结果：
149.88
201.11
问题三程序：
n={{35,37,36,43},{38,40,43,37},{36,35,34,32},{38,37,51,43
升级会员 