安徽省合肥八中等届高三下学期联考五数学文试题扫描版.docx
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安徽省合肥八中等届高三下学期联考五数学文试题扫描版
合肥八中2019届高三二模适应性考试卷
数学（文科）试卷参考答案
一．选择题
1．复数
（其中
是虚数单位,满足
）的实部与虚部之和为（）
A．
B．1C．
D．2
【答案】A
【解】
故其实部和虚部分别为
2．已知全集
且
，
。
则
=（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解】
，
，
3．“
”是“实系数一元二次方程
无实根”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
4.已知
，
，若
，则
＝（）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解】因为
，所以
，即
，即
，所以
，故选B．
5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的
等于（）
A．15B．29C．31D．63
【答案】C
【解】本题可以用列举法得B=31
6.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图所示）。
为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）月收入段应抽出多少人
A．5B．50C．25D．250
【答案】C
【解】由图可得月收入在[2500，3000）的频率为0.0005×500＝0.25，
所以在[2500，3000）月收入段应抽取100×0.25＝25（人）。
7．如图,在三棱锥
中，
，且
点
在边
上，且
，则三棱锥
的体积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解】
，
，故选D
8.将函数f（x）=2sin
的图象向左平移
个单位,得到函数y=g（x）的图象.若y=g（x）在[
]上为增函数,则
的最大值（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
9.设
是椭圆
的两个焦点，
是以
为直径的圆与椭圆的一个交点，若
，则椭圆的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A，
【解】由几何性质和椭圆的定义可得设
易得
10．在平面直角坐标系中，不等式组
（
为常数），表示的平面区域的面积是8，则
的最小值（）
A．
B．0C．12D．20
【答案】A
二．填空题
11.若函数
满足
则
的最小正周期
【答案】
12.已知函数
则
【答案】1
13.设公差不为零的等差数列
的前n项和为
，若
，则
14.已知直线
与圆
交于不同的两点
、
，
是坐标原点，且有
，那么
的取值范围是
【答案】
15.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。
下列方程：
①
；②
，③
；④
对应的曲线中存在“自公切线”的有
【答案】②③
【解析】画图可知①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线
三、解答题
16.（满分12分）已知函数
．
（1）求
的最大值；
（2）若
的内角
的对边分别为
，且满足
，
，
求
的值．
解：
（Ⅰ）
……………………………………………（6分）
（Ⅱ）由条件得
化简得
，由正弦定理得：
又
由余弦定理得：
…………………………………………………（12分）
17.（满分12分）把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为
第二次出现的点数记为
，给定方程组
（1）试求方程组只有一解的概率；
（2）求方程组只有正数解（
）的概率。
【解】
（1）当且仅当
时，方程组有唯一解.因
的可能情况为
三种情况
而先后两次投掷骰子的总事件数是36种，所以方程组有唯一解的概率
………………（6分）
（2）因为方程组只有正数解，所以两直线的交点在第一象限，由它们的图像可知
解得（
）可以是（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），
（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），
所以方程组只有正数解的概率
………………（12分）
18.（12分）在长方体
中，
，过
、
、
三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体
，且这个几何体的体积为
．
（1）求棱
的长；
（2）在线段
上是否存在点
，使直线
与
垂直，
如果存在，求线段
的长，如果不存在，请说明理由．
解：
（1）设
∵几何体
的体积为
，
∴
，即
，
即
，解得
．∴
的长为4．…………（6分）
（2）在线段
上存在点
，使直线
与
垂直．
过点
作
的垂线交
于点
，过点
作
交
于点
．则
∵
，
，
，
∴
平面
．
∵
平面
，∴
．
∵
，∴
平面
．
∵
平面
，∴
．
在矩形
中，∵
∽
，
∴
，即
，∴
．
∵
∽
，∴
，即
，∴
∴在线段
上存在点
使直线
与
垂直，且线段
．……（12分）
19.（满分13分）已知椭圆
的中心在原点
，离心率
，右焦点为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设椭圆的上顶点为
，在椭圆
上是否存在点
，使得向量
与
共线？
若存在，求直线
的方程；若不存在，简要说明理由．
解：
⑴设椭圆
的方程为
，
椭圆
的离心率
，右焦点为
，
，
，
，故椭圆
的方程为
．………………（5分）
⑵假设椭圆
上是存在点
（
），使得向量
与
共线，
，
，
，
（1）
又
点
（
）在椭圆
上，
（2）
由⑴、⑵组成方程组解得
，或
，
，或
，
当点
的坐标为
时，直线
的方程为
，
当点
的坐标为
时，直线
的方程为
，
故直线
的方程为
或
．………………（13分）
20.（13分）已知定义在R上的函数
，其中a为常数.
（1）若x=1是函数
的一个极值点，求a的值；
（2）若函数
在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围；
（3）若函数
，在x=0处取得最大值，
求正数a的取值范围.
解：
（I）
的一个极值点，
；…（3分）
（II）①当a=0时，
在区间（－1，0）上是增函数，
符合题意；
②当
；
当a>0时，对任意
符合题意；
当a<0时，当
符合题意；
综上所述，
………（8分）
（III）
令
设方程（*）的两个根为
式得
，不妨设
.
当
时，
为极小值，所以
在[0，2]上的最大值只能为
或
；
当
时，由于
在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为
，
所以在[0，2]上的最大值只能为
或
，
又已知
在x=0处取得最大值，所以
即
………（13分）
21.（满分13分）已知
，点
在曲线
上
且
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足
，对于任意
都有
恒成立，求实数
的取值范围；
解：
（1）
∴
∴
∴数列
是等差数列，首项
公差
∴
∴
∵
∴
………（6分）
（2）
代入
并整理得
（1－
）≤3n＋1，∴
≤
，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．设
＝
，则
－
＝
>0，故
，
∴
单调递增，
的最小值为
，
∴
的取值范围是
．………（13分）
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