第三讲整式.docx

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第三讲整式

第三讲整式

【基础知识回顾】

一、整式的有关概念：

：

由数与字母的积组成的代数式

1、整式：

多项式：

。

单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。

组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。

2、同类项：

①定义：

所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。

②合并同类项法则：

把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。

【名师提醒：

1、单独的一个数字或字母都是式。

2、判断同类项要抓住两个相同：

一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。

】

二、整式的运算：

1、整式的加减：

①去括号法则：

a+（b+c）=a+,a-（b+c）=a-.

②添括号法则：

a+b+c=a+（），a-b-c=a-（）

③整式加减的步骤是先，再。

【名师提醒：

在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：

括号前是负号去括号时括号内每一项都要。

】

2、整式的乘法：

①单项式乘以单项式：

把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。

②单项式乘以多项式：

用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m（a+b+c）=。

③多项式乘以多项式：

先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）（a+b）=。

④乘法公式：

Ⅰ、平方差公式：

（a＋b）（a—b）＝，

Ⅱ、完全平方公式：

（a±b）2=。

【名师提醒：

1、在多项式的乘法中有三点注意：

一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。

2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。

】

3、整式的除法：

①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。

即（am+bm）÷m=。

三、幂的运算性质：

1、同底数幂的乘法：

不变相加，即：

aman＝（a＞0，m、n为整数）

2、幂的乘方：

不变相乘，即：

（am）n＝（a＞0，m、n为整数）

3、积的乘方：

等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂。

即：

（ab）n＝（a＞0，b＞0，n为整数）。

4、同底数幂的除法:

不变相减，即：

am÷an＝（a＞0，m、n为整数）

【名师提醒：

运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，（-a）n=（n为奇数），（-a）n=（n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:

已知3m=4,2n=3,则9m8n=。

】

【重点考点例析】

考点一：

代数式的相关概念。

例1（2013•凉山州）如果单项式-xa+1y3与

ybx2是同类项，那么a、b的值分别为（　　）

A．a=2，b=3B．a=1，b=2C．a=1，b=3D．a=2，b=2

思路分析：

根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出a，b的值．

解：

根据题意得：

，则a=1，b=3．

故选C．

点评：

考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：

相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点。

对应训练

1．（2013•苏州）计算-2x2+3x2的结果为（　　）

A．-5x2B．5x2C．-x2D．x2

1．D

考点二：

代数式求值

例2（2013•苏州）已知x-

=3，则4-

x2+

x的值为（　　）

A．1B．

C．

D．

思路分析：

所求式子后两项提取公因式变形后，将已知等式去分母变形后代入计算即可求出值．

解：

∵x-

=3，即x2-3x=1，∴原式=4-

（x2-3x）=4-

=

．

故选D．

点评：

此题考查了代数式求值，将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键，利用了整体代入的思想．

例3（2013•湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为3时，则输出的数值为1

．

思路分析：

输入x的值为3时，得出它的平方是9，再加（-2）是7，最后再除以7等于1．

解：

由题图可得代数式为：

（x2-2）÷7．当x=3时，原式=（32-2）÷7=（9-2）÷7=7÷7=1

故答案为：

1．

点评：

此题考查了代数式求值，此类题要能正确表示出代数式，然后代值计算，解答本题的关键就是弄清楚题目给出的计算程序．

对应训练

2．（2013•盐城）若x2-2x=3，则代数式2x2-4x+3的值为9

．

2．9

3．（2013•绥化）按如图所示的程序计算．若输入x的值为3，则输出的值为-3

．

3．-3

考点三：

单项式与多项式。

例4（2013•云南）下列运算，结果正确的是（　　）

A．m6÷m3=m2B．3mn2•m2n=3m3n3

C．（m+n）2=m2+n2D．2mn+3mn=5m2n2

思路分析：

依据同底数的幂的除法、单项式的乘法以及完全平方公式，合并同类项法则即可判断．

解：

A、m6÷m3=m3，选项错误；

B、正确；

C、（m+n）2=m2+2mn+n2，选项错误；

D、2mn+3mn=5mn，选项错误．

故选B．

点评：

本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．

对应训练

4．（2013•沈阳）下面的计算一定正确的是（　　）

A．b3+b3=2b6B．（-3pq）2=-9p2q2

C．5y3•3y5=15y8D．b9÷b3=b3

4．C

考点四：

幂的运算。

例5（2013•株洲）下列计算正确的是（　　）

A．x+x=2x2B．x3•x2=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2

思路分析：

根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．

解：

A、x+x=2x≠2x2，故本选项错误；

B、x3•x2=x5，故本选项正确；

C、（x2）3=x6≠x5，故本选项错误；

D、（2x）2=4x2≠2x2，故本选项错误．

故选：

B．

点评：

此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．

对应训练

5．（2013•张家界）下列运算正确的是（　　）

A．3a-2a=1B．x8-x4=x2

C．

=-2D．-（2x2y）3=-8x6y3

5．D

考点五：

完全平方公式与平方差公式

例6

（1）（2013•郴州）已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=12

．

（2）（2013•珠海）已知a、b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2=5

．

思路分析：

（1）根据a2-b2=（a+b）（a-b），然后代入求解．

（2）将a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将ab的值代入计算，即可求出所求式子的值．

解：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）=4×3=12．故答案是：

12．

（2）将a+b=3两边平方得：

（a+b）2=a2+2ab+b2=9，

把ab=2代入得：

a2+4+b2=9，则a2+b2=5．故答案为：

5．

点评：

此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

例7（2013•张家港市二模）如图，从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为acm，则另一边长是（　　）

A．（2a+3）cmB．（2a+6）cmC．（2a+3）cmD．（a+6）cm

思路分析：

根据第一个图形中，从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分的面积与第三个图形的面积相等，即可求解．

解：

解：

根据第一个图：

从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分的面积是：

（a+3）2-32，

设拼成的矩形另一边长是b，则ab=（a+3）2-32，

解得：

b=a+6．

故选D．

点评：

本题考查了图形的变化，正确理解：

第一个图形中，从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分的面积与第三个图形的面积相等，是解题的关键．

对应训练

6．（2013•徐州）当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为9

．

6．9

7．（2013•攀枝花模拟）如图

（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图

（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）

A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2

C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2

7．A

考点六：

整式的运算

例8（2013•株洲）先化简，再求值：

（x-1）（x+1）-x（x-3），其中x=3．

思路分析：

原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．

解：

原式=x2-1-x2+3x=3x-1，

当x=3时，原式=9-1=8．

点评：

此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：

平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

例9（2013•宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）

A．a=

bB．a=3bC．a=

bD．a=4b

思路分析：

表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据之差与BC无关即可求出a与b的关系式．

解：

如图，左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，

∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，

∴AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a，

∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab，

则3b-a=0，即a=3b．

故选B

点评：

此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

对应训练

8．（2013•扬州）先化简，再求值：

（x+1）（2x-1）-（x-3）2，其中x=-2．

8．解：

原式=2x2-x+2x-1-x2+6x-9=x2+7x-10，

当x=-2时，原式=4-14-10=-20．

9．（2013•泰州）把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（　　）

A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．无法确定

9．C

考点七：

规律探索。

例10（（2013•山西）一组按规律排列的式子：

，…，则第n个式子是．

思路分析：

观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可．

解：

a2，a4，a6，a8…，分子可表示为：

a2n，

1，3，5，7，…分母可表示为2n-1，

则第n个式子为：

．

故答案为：

．

点评：

本题考查了单项式的知识，属于基础题，关键是观察分子、分母的变化规律．

例11（2013•淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是-2

．

-4

a

b

c

6

b

-2

…

思路分析：

根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是-2可得b=-2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2013除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．

解：

∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，

∴-4+a+b=a+b+c，解得c=-4，a+b+c=b+c+6，解得a=6，

所以，数据从左到右依次为-4、6、b、-4、6、b，

第9个数与第三个数相同，即b=-2，

所以，每3个数“-4、6、-2”为一个循环组依次循环，

∵2013÷3=671，∴第2013个格子中的整数与第3个格子中的数相同，为-2．

故答案为：

-2．

点评：

此题主要考查了数字变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．

例12（2013•烟台）将正方形图1作如下操作：

第1次：

分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：

将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（　　）

A．502B．503C．504D．505

思路分析：

根据正方形的个数变化得出第n次得到2013个正方形，则4n+1=2013，求出即可．

解：

∵第1次：

分别连接各边中点如图2，得到4+1=5个正方形；

第2次：

将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2+1=9个正方形…，

以此类推，根据以上操作，若第n次得到2013个正方形，则4n+1=2013，

解得：

n=503．

故选：

B．

点评：

此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键．

对应训练

10．（2013•淮安）观察一列单项式：

1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是4025x2

．

10．4025x2

11．（2013•玉林）一列数a1，a2，a3，…，其中a1=

，

（n为不小于2的整数），则a100=（　　）

A．

B．2C．-1D．-2

11．A

12．（2013•十堰）如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图5中三角形的个数是（　　）

A．8B．9C．16D．17

12．C

【聚焦山东中考】

1．（2013•济宁）如果整式xn-2-5x+2是关于x的三次三项式，那么n等于（　　）

A．3B．4C．5D．6

1．C

2．（2013•东营）下列运算正确的是（　　）

A．a3-a2=aB．a2•a3=a6C．（a3）2=a6D．（3a）3=9a3

2．C

3．（2013•烟台）下列各运算中，正确的是（　　）

A．3a+2a=5a2B．（-3a3）2=9a6C．a4÷a2=a3D．（a+2）2=a2+4

3．B

4．（2013•日照）下列计算正确的是（　　）

A．（-2a）2=2a2B．a6÷a3=a2C．-2（a-1）=2-2aD．a•a2=a2

4．C

5．（2013•威海）若m-n=-1，则（m-n）2-2m+2n的值是（　　）

A．3B．2C．1D．-1

5．A

6．（2013•威海）下列运算正确的是（　　）

A．3x2+4x2=7x4B．2x3•3x3=6x3

C．x6+x3=x2D．（x2）4=x8

6．D

7．（2013•泰安）下列运算正确的是（　　）

A．3x3-5x3=-2xB．6x3÷2x-2=3x

C．（

x3）2=

x6D．-3（2x-4）=-6x-12

7．C

8．（2013•临沂）下列运算正确的是（　　）

A．x2+x3=x5B．（x-2）2=x2-4C．2x2•x3=2x5D．（x3）4=x7

8．C

9．（2013•聊城）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm，那么钢丝大约需要加长（　　）

A．102cmB．104cmC．106cmD．108cm

9．A

10．（2013•日照）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（　　）

A．M=mnB．M=n（m+1）C．M=mn+1D．M=m（n+1）

10．D

11．（2013•日照）已知m2-m=6，则1-2m2+2m=-11

．

11．-11

12．（2013•滨州）观察下列各式的计算过程：

5×5=0×1×100+25，

15×15=1×2×100+25，

25×25=2×3×100+25，

35×35=3×4×100+25，

…

请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为100n（n-1）+25

．

12．100n（n-1）+25

13．（2013•潍坊）当n等于1，2，3…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于n2+4n

．（用n表示，n是正整数）

13．n2+4n

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2013•丽水）化简-2a+3a的结果是（　　）

A．-aB．aC．5aD．-5a

1．B

2．（2013•徐州）下列各式的运算结果为x6的是（　　）

A．x9÷x3B．（x3）3C．x2•x3D．x3+x3

2．A

3．（2013•连云港）计算a2•a4的结果是（　　）

A．a6B．a8C．2a6D．2a8

3．A

4．（2013•重庆）计算3x3÷x2的结果是（　　）

A．2x2B．3x2C．3xD．3

4．D

5．（2013•遵义）计算（-

ab2）3的结果是（　　）

A．-

a3b6B．-

a3b5C．-

a3b5D．-

a3b6

5．D

6．（2013•佛山）多项式1+2xy-3xy2的次数及最高次项的系数分别是（　　）

A．3，-3B．2，-3C．5，-3D．2，3

6．A

7．（2013•遂宁）下列计算错误的是（　　）

A．-|-2|=-2B．（a2）3=a5

C．2x2+3x2=5x2D．

=2

7．B

8．（2013•盘锦）下列计算正确的是（　　）

A．3mn-3n=mB．（2m）3=6m3C．m8÷m4=m2D．3m2•m=3m3

8．D

9．（2013•达州）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%．那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（　　）

A．甲B．乙C．丙D．一样

9．B

10．（2013•黄冈）矩形AB=a，AD=b，AE=BF=CG=DH=c，则图中阴影部分面积是（　　）

A．bc-ab+ac+b2B．a2+ab+bc-ac

C．ab-bc-ac+c2D．b2-bc+a2-ab

10．C

11．（2013•保康）如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是（　　）

A．2B．a+4C．2a+2D．2a+4

12．C

13．（2013•新华区一模）定义运算a⊕b=a（1-b），下面给出了这种运算的四个结论：

①2⊕（-2）=6；

②若a+b=0，则（a⊕a）+（b⊕b）=2ab；

③a⊕b=b⊕a；

④若a⊕b=0，则a=0或b=1．

其中结论正确的有（　　）

A．①②B．①②③C．②③④D．①②④

13．D

二、填空题

14．（2013•晋江市）计算：

2a2+3a2=5a2

．

14．5a2

15．（2013•天津）计算a•a6的结果等于a7

．

15．a7

16．（2013•上海模拟）计算：

6x2y3÷2x3y3=．

16．

17．（2013•同安区一模）“比a的2倍大

的数”用代数式表示是．

17．

18．（2013•义乌市）计算：

3a•a2+a3=4a3

．

18．4a3

19．（2013•铁岭）某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：

将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%．经过两次降价后的价格为0.945

元（结果用含m的代数式表示）

19．0.945m

20．（2013•贵港）若ab=-1，a+b=2，则式子（a-1）（b-1）=-2

．

20．-2

21．（2013•沈阳）如果x=1时，代数式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax3+3bx+4的值是3

．

21．3

22．（2013•苏州）按照如图所示的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值为20

．

22．20

21．（2013•泰州）若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是1

．

21．1

22．（2013•晋江市）若a+b=5，ab=6，则a-b=±1

．

22．±1

23．（（2013•永州）定义

为二阶行列式．规定它的运算法则为

=ad-bc．那么当x=1时，二阶行列式

的值为0

．

23．0

24．（2013•雅安）已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n个数是2n

．

24．2n

25．（2013•云南）下面是按一定规律排列的一列数：

，…那么第n个数是．

25．

26．（2013•孝感）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：

称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是51

．

26．51

27．（2013•青岛）要把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，因为这8个小正方体都只有三个面是现成的．其他三个面必须用三刀切3次才能切出来．那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需用刀切6

次；分割成64个小正方体，至少需要用刀切9

次．

27．6，9

三、解答题

28．（2013•宜昌）化简：

（a-b）2+a（2b-a）

28．解：

原式=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2．

29．（2013•宁波）先化简，再求值：

（1+a）（1-a）+（a-2）2，其中a=-3．

29．解：

原式=1-a2+a2-4a+4=-4a+5，

当a=-3时，原式=12+5=17．

30．（2013•三明）先化简，再求值：

（a+2）（a-2）+4（a+1）-4a，其中a=

-1．

30．解：

原式=a2-4+4a+4-4a=a2，

当a=

-1时，原式=（

-1）2=2-2

+1=3-2

．

31．（2013•邵阳）先化简，再求值：

（a-b）2+a（2b-a），其中a=-

，b=3．

31．解：

原式=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2，

当b=3时，原式=9．

32．（2013•娄底）先化简，再求值：

（x+y）（x-y）-（4x3y-8xy3）÷2xy，其中x=-1，y=

．

32．解：

原式=x2-y2-2x2+4y2=-x2+3y2，

当x=-1，y=

时，原式=-1+1=0．

33．（2013•义乌市）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形，

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法