线性代数 第五章.docx

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线性代数第五章

第五章特征值与二次型

§1向量的内积

在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等.由内积的定义：

，可得

且在直角坐标系中

将上述三维向量的内积概念自然地推广到n维向量上，就有如下定义。

定义1设有n维向量

，

，

称

为

与

的内积.

内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为

.

例1计算

，其中x,y如下：

（1）x＝（０，１，５，－２），y＝（－２，０，－１，３）；

（2）x＝（－２，１，０，３），y＝（３，－６，８，４）.

解

（1）［x,y］＝０·（－２）＋１·０＋５·（－１）＋（－２）·３＝－１１；

（2）［x,y］＝（－２）·３＋１·（－６）＋０·８＋３·４＝０.

若ｘ、ｙ、ｚ为n维实向量，λ为实数，则下列性质从内积的定义可立刻推得.

（i）［x,y］＝［y,x］，

（ii）［λx,y］＝λ［x,y］，

（iii）［x+y,z］＝［x,z］＋［y,z］.

同三维向量空间一样，可用内积定义n维向量的长度和夹角.

定义2称

为向量x的长度（或范数），当‖x‖＝1时称x为单位向量.

从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质：

（ｉ）非负性：

当x≠0时，‖x‖＞０，当x＝０时‖x‖＝０.

（ｉｉ）齐次性：

‖λx‖＝｜λ｜‖x‖.

（ｉｉｉ）三角不等式：

‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖.

（ｉｖ）柯西-许瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式:

［x，y］２≤‖x‖２‖y‖２.

由柯西-许瓦茨不等式可得

≤１（‖x‖·‖y‖≠０）.

于是我们定义，当‖ｘ‖≠０，‖ｙ‖≠0时，称

为x与y的夹角.当［x，y］＝０时，称x与y正交.

显然，n维零向量与任意n维向量正交.

称一组两两正交的非零向量组为正交向量组.

定理1若n维非零向量

为正交向量组，则它们为线性无关向量组.

证设有

使

，分别用

与上式两端作内积（k＝１，２，…，r），即得

因

，故

，从而

，于是

线性无关.

在研究向量空间的问题时，常采用正交向量组作为向量空间的一组基，以便使问题得到简化，那么n维向量空间的正交基（基中向量两两正交）是否存在呢?

定理2若

是正交向量组，且ｒ＜n，则必存在n维非零向量x，使

，x也为正交向量组.

证x应满足

，即

记

则

，故齐次线性方程组Ax＝０必有非零解，此非零解即为所求.

推论

个（

）两两正交的n维非零向量总可以扩充成Rn的一个正交基.

例2已知

＝（１，１，１）′，

＝（１，－２，１）′正交，试求一个非零向量

，使

两两正交.

解解方程组

得基础解系为

，取

＝

，则

即为所求.

定义3设n维向量

是向量空间

的一个基，如果

两两正交，且都是单位向量，则称之为V的一个正交规范基（标准正交基）.

若

是V的一个正交规范基，则V中任一向量

可由

惟一线性表示，设为

则由

，

得

惟一确定，i＝１,２，…，r.

下面介绍将向量空间

的任一基

转换为一正交规范基的Schmidt正交化方法，其具体步骤如下：

取

容易验证

两两正交，非零.然后将它们单位化，即令

则

就是V的一个正交规范基.

例3已知

＝（1,－1,0）′、

＝（1,0,1）′，

＝（1,－1,1）′是R3的一个基，试用施密特正交化方法，构造R3的一个正交规范基.

解取

再将

单位化，即得R3的一个正交规范基

定义4如果n阶方阵满足A′A＝E（即A－１＝A′），就称A为正交矩阵.

用A的列向量表示，即是

亦即

由此得到n２个关系式

这说明，方阵A为正交矩阵的充分必要条件是：

A的列向量组构成Rn的正交规范基，注意到Ａ′Ａ＝Ｅ＝ＡＡ′，所以上述结论对A的行向量组也成立.

例4验证矩阵

是正交矩阵.

解A的每个列向量都是单位向量且两两正交，故A是正交矩阵.

由正交矩阵定义，不难得到下列性质.

（i）若A是正交矩阵，则｜Ａ｜２＝１.

（ii）若A是正交矩阵，则Ａ′，Ａ－１也是正交矩阵.

（iii）若Ａ，Ｂ是n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.

定义5若T是正交矩阵，则线性变换y＝Ｔx称为正交变换.

设y＝Ｔx是正交变换，则有

这表明，经正交变换向量的长度保持不变，这是正交变换的优良特性之一.其实正交变换相当于反射和旋转的叠合，例如

为正交矩阵，正交变换y＝Ｔx相当于旋转θ角，再关于纵轴对称反射.

§2方阵的特征值和特征向量

工程技术中振动问题和稳定性，往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题，特征值、特征向量的概念，不仅在理论上很重要，而且可以直接用来解决实际问题.

定义6设A为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量x，使得

Ａx＝λx，（5.1）

则称λ为矩阵A的特征值，称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.

（5.1）式也可写成

（Ａ－λＥ）x＝０.（5.2）

（5.2）式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是

｜Ａ－λＥ｜＝０.（5.３）

（5.3）式的左端为λ的n次多项式，因此A的特征值就是该多项式的根.记f（λ）=|Ａ-λＥ|，称为A的特征多项式，则矩阵A的特征值即为其特征多项式的根.方程（5.3）称为A的特征方程，特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此n阶方阵A有n个特征值.

设λ＝λi为其中的一个特征值，则由方程

（Ａ－λiＥ）x＝0

可求得非零解x＝pi，那么pi便是A的对应于特征值λi的特征向量（若λi为实数，则pi可取实向量，若λi为复数，则pi为复向量.）

例5求

的特征值和特征向量.

解A的特征方程为

所以A的特征值为

当

时，由

可得x1＝x2，所以对应的特征向量可取为

；

当λ2＝４时，由

即

解得x1＝－x2，所以对应的特征向量可取为

显然，若pi是对应于特征值λi的特征向量，则kpi（k≠０）也是对应于λi的特征向量，所以特征向量不能由特征值惟一确定，反之，不同的特征值所对应的特征向量绝不会相等，也即一个特征向量只能属于一个特征值.

例6求矩阵

的特征值和特征向量.

解A的特征多项式为

所以A的特征值为λ1＝2，λ2＝λ3＝１.

当λ1＝2时，则方程（A－2E）x＝0，由

得基础解系

所以kp1（k≠０）是对应于λ1＝2的全部特征向量.

当λ2＝λ3＝1时，解方程（Ａ－E）x＝0，由

得基础解系

所以kp2（k≠０）是对应于λ2＝λ3＝1的全部特征向量.

从上述例子可以归纳出具体计算特征值、特征向量的步骤.

第一步：

计算特征多项式｜A－λE｜.

第二步：

求出｜A－λE｜＝0的全部根，它们就是A的全部特征值.

第三步：

对于A的每一个特征值λi，求相应的齐次线性方程组（Ａ－λiE）x＝0的一个基础解系

，

则对于不全为零的任意常数

，

即为对应于λｉ的全部特征向量.

例7求矩阵

的特征值和特征向量.

解A的特征多项式为

所以A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝－2.

当λ1＝λ2＝1时，解方程（A－E）x＝0，由

得基础解系

于是

为对应于λ1＝λ2＝1的全部特征向量.

当λ3＝－2时，解方程（Ａ＋2E）x＝0，由

得基础解系

所以k3p3（k3≠０）为对应于λ3＝－2的全部特征向量.

例8设λ是方阵A的特征值，证明λ2是A2的特征值.

证因λ是A的特征值，故有p≠０，使Ａp＝λp，

于是

A2p＝A（Ap）＝λAp＝λ2p.

所以λ2是A2的特征值.

按此例类推，不难证明：

若λ是A的特征值，则λk是Ａk的特征值；

是

的特征值（其中

）.

例9设向量

=（1,2,0）′,

=（1,0,1）′都是方阵A的属于特征值λ=2的特征向量，又向量

=（-1,2,-2）′，求

.

解由题设条件有

又

故

定理3设λ1，λ2，…，λm是方阵A的m个互不相同的特征值，p1，p2，…，pm依次是与之对应的特征向量，则p1，p2，…，pm线性无关.

证设有常数x1，x2，…，xm，使

x1p1+x2p2+…+xmpm=0,

则

A（x1p1+x2p2+…+xmpm）=0,

即

.

类推有

把上列各式合写成矩阵形式，得

（x1p1，x2p2，…，xmpm）

=O.

上式等号左边第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当λｉ各不相同时，该矩阵可逆，于是有

（x1p1，x2p2，…，xmpm）=O，

即xipi＝0，但pi≠0，故xi＝0，i＝1，2，…，m.

所以向量组p1，p2，…，pm线性无关.

§3相似矩阵

定义7设A与B是n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使

B＝P-1AP，

则称A与B是相似的.

定理4若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值相同.

证因A与B相似，即有可逆矩阵P，使P－１AP＝B，故

|B－λE|＝|P-1AP－P-1（λE）P|＝|P-1（A－λE）P|

＝｜P-1｜｜A－λE｜｜P｜＝｜A－λE｜.

推论若n阶方阵A与对角矩阵diag（λ1，λ2，…，λn）相似，则λ1，λ2，…，λn即是A的特征值.

证因λ1，λ2，…，λn是diag（λ1，λ2，…，λn）的n个特征值.由定理4知λ1，λ2，…，λn也就是A的特征值.

关于相似矩阵我们关心的一个问题是，与A相似的矩阵中，最简单的形式是什么?

由于对角矩阵最简单，于是考虑是否任何一个方阵都相似于一个对角矩阵呢?

下面我们就来研究这个问题.

如果n阶矩阵A能相似于对角矩阵，则称A可对角化.

现设已找到可逆矩阵P，使P-1AP＝Λ＝diag（λ1，λ2，…，λn）.把P用其列向量表示为Ｐ＝（λ1，λ2，…，λn），由P-1AP＝Λ，得AP＝PΛ，即

A（p1，p2，…，pn）＝（p1，p2，…，pn）diag（λ1，λ2，…，λn）

＝（λ1p1，λ2p2，…，λnpn）.

于是有

Api＝λipi（i＝1，2，…，n）.

可见P的列向量pi就是A的对应于特征值λi的特征向量.又因P可逆，所以p1，p2，…，pn线性无关.由于上述推导过程可以反推回去.因此，关于矩阵A的对角化有如下结论：

定理5n阶方阵A可对角化的充分必要条件是：

A有n个线性无关的特征向量p1，p2，…，pn，并且以它们为列向量组的矩阵P，能使P-1AP为对角矩阵.而且此对角矩阵的主对角线元素依次是与p1，p2，…，pn对应的A的特征值λ1，λ2，…，λn.

现在的问题是：

对于任一矩阵A，是否一定存在n个线性无关的特征向量，答案是否定的，在上节例7中A的特征方程有重根.但仍能找到3个线性无关的特征向量，但在例6中A的特征方程亦有重根，却找不到3个线性无关的特征向量.从而例6中矩阵A不能与对角矩阵相似.

例10设A=

的一个特征向量为p=

.

（1）求参数a,b的值及A的与特征向量p对应的特征值；

（2）A与对角阵是否相似？

解

（1）设A的与特征向量p相对应的特征值为λ，可得方程组（A－λE）p=0，即

即

解得

（2）由

知A有三重特征值

1=

2=

3=－1.

由于

可知

R（A+E）=2,n－R（A+E）=3－2=1,

故三阶方阵A与

=－1对应的线性无关的特征向量仅有一个.所以A不与对角阵相似.

在矩阵中有一类特殊矩阵，即实对称矩阵是一定可以对角化的，并且对于实对称矩阵A不