天津大学《最优化方法》复习试题含答案.docx
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天津大学《最优化方法》复习试题含答案
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天津大学《最优化方法》复习题（含答案）
第一章概述（包括凸规划）
判断与填空题
argmanxf（x）argminn[f（x）].
maxf（x）:
xDRnminf（x）:
xDRn.
设f:
DRnR.若xRn，对于一切xRn恒有f（x）f（x），则称x为
设f:
DRnR.若xD，存在x的某邻域N（x），使得对一切
优解.
给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值.√
非空集合DRn为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D.√
非空集合DRn为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D.√
任意两个凸集的并集为凸集.
函数f:
DRnR为凸集D上的凸函数当且仅当f为D上的凹函数.√设f:
DRnR为凸集D上的可微凸函数，xD.则对xD，有
f（x）f（x）f（x）T（xx）.
若c（x）是凹函数，则D{xRnc（x）0}是凸集。
√
则对k0,1,2,，恒有f（xk1）f（xk）
13算法迭代时的终止准则（写出三种）：
14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。
√
15函数f:
DRnR在点xk沿着迭代方向dkRn{0}进行精确一维线搜索的
步长k，则其搜索公式为.
16函数f:
DRnR在点xk沿着迭代方向dkRn{0}进行精确一维线搜索的
步长k，则f（xkkdk）Tdk0.
17设dkRn{0}为点xkDRn处关于区域D的一个下降方向，则对于
0，（0,）使得xkdkD.
简述题
1写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。
2怎样判断一个函数是否为凸函数.
（例如:
判断函数f（x）x122x1x22x2210x15x2是否为凸函数）
三、
证明题
1
证明一个优化问题是否为凸规划.（例如
1TT
minf（x）xTGxcTxb
2
判断s.t.Axb（其中G是正定矩阵）是凸规划x0
2熟练掌握凸规划的性质及其证明.
第二章线性规划
考虑线性规划问题：
（LP）
min
Tcx
s.t.
Ax
b,
x0,
其中，cRn,
ARmn
b
Rm
为给定的数据，且rankAm,mn.
判断与选择题
1（LP）的基解个数是有限的.√
2若（LP）有最优解，则它一定有基可行解为最优解.√
3（LP）的解集是凸的.√
4对于标准型的（LP），设xk由单纯形算法产生，则对k0,1,2,，有
cTxkcTxk1
5若x*为（LP）的最优解，y*为（DP）的可行解，则cTx*bTy*.√
6设x0是线性规划（LP）对应的基B（P1,,Pm）的基可行解，与基变量
x1,,xm对应的规范式中，若存在k0，则线性规划（LP）没有最优解。
×
7求解线性规划（LP）的初始基可行解的方法：
.
8对于线性规划（LP），每次迭代都会使目标函数值下降.×
1将以下线性规划问题化为标准型：
maxf（x）x12x23x3
s.t.x1x2x36,x12x24x312,x1x2x32,x20,x30.
2写出以下线性规划的对偶线性规划：
maxf（x）3x12x2x34x4s.t.2x14x23x3x46,
2x14x23x3x43,x1,x2,x3,x40.
三、计算题熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M法及二阶段法）见书本：
例2.5.1（利用单纯形表求解）;
例2.6.1（利用大M法求解）;
例2.6.2（利用二阶段法求解）.
四、证明题
熟练掌握对偶理论（弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件）及利用对偶理论证明相关结论。
一、判断与选择题
1设GRnn为正定矩阵，则关于G共轭的任意n1向量必线性相关.√
2在牛顿法中，每次的迭代方向都是下降方向.×
3经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的.×
4PRP共轭梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法.×
5用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题，则算法中产生的迭代方向一定线性无关.√
6FR共轭梯度法、PRP共轭梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性.×
7共轭梯度法、共轭方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性.√
8函数f:
RnR在xk处的最速下降方向为.
求解minn
f（x）的经典Newton法在xk处的迭代方向为pk
10若f（x）在x*的邻域内具有一阶连续的偏导数且f（x*）0，则x*为的局部极小点.×
11若f（x）在x*的某邻域内具有二阶连续的偏导数且x*为f（x）的严格局部
极小点，则G*x2f（x*）正定.×
可达其极小点.×
15牛顿法具有二阶收敛性.√
16二次函数的共轭方向法具有二次终止性.×
17共轭梯度法的迭代方向为：
证明题
1设f:
RnR为一阶连续可微的凸函数，xRn且f（x）0，则x为
minf（x）的全局极小点.xR
2
如果xkRn为求解
给定bRn和正定矩阵GRnn
minf（x）1xTGxbTx的迭代点，dkRn0为其迭代方向，且xRn2
3试证：
Newton法求解正定二次函数时至多一次迭代可达其极小点
四、简述题
1简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点
2简述共轭梯度法的基本思想.
五、计算题
1利用最优性条件求解无约束最优化问题.
31例如：
求解minf（x）x12x22x1x22x1
2用FR共轭梯度法无约束最优化问题.
见书本：
例3.4.1.
3用PRP共轭梯度法无约束最优化问题.
见书本：
例3.4.1.
31
例如：
minf（x）x12x22x1x22x1其中x0（0,0）T,0.01考虑约束最优化问题：
（NLP）minf（x）
s.t.ci（x）0,iE1,2,,l,
ci（x）0,iIl1,l2,,m,
其中，f,ci（i1,2,,m）:
RnR.
一、判断与选择题
1外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT.×
2使用外罚函数法和内罚函数法求解（NLP）时，得到的近似最优解往往不是（NLP）的可行解.×
3在求解（NLP）的外罚函数法中，所解无约束问题的目标函数为.
4在（NLP）中l0，则在求解该问题的内罚函数法中，常使用的罚函数为.
5在（NLP）中l0，则在求解该问题的乘子法中，乘子的迭代公式为
（k1）i，对i1,,m.
6在（NLP）中ml，则在求解该问题的乘子法中，增广的Lagrange函数为：
7对于（NLP）的KT条件为：
计算题
1利用最优性条件（KT条件）求解约束最优化问题
2用外罚函数法求解约束最优化问题.见书本：
例4.2.1；
例4.2.2.
3用内罚函数法求解约束最优化问题.见书本：
例4.2.3.
4用乘子法求解约束最优化问题.见书本：
例4.2.7；例4.2.8.
三、简述题
1简述SUMT外点法的优缺点
2简述SUMT内点法的优缺点.
四、证明题利用最优性条件证明相关问题.
例如：
Q设为正定矩阵，A为列满秩矩阵.试求规划
（P）minf（x）1xQxcxa
2
s.t.Axb的最优解，并证明解是唯一的.
、判断与选择题
1求解多目标最优化问题的评价函数法包括.
2通过使用评价函数，多目标最优化问题能够转化为单目标最优化问题.√
3
设F:
DRnRm，则F在D上的一般多目标最优化问题的数学形式为.
使得F（x）F（x）且F（x）F（x），则x为该最优化问题的有效解.√
5
一般多目标最优化问题的绝对最优解必是有效解.√
fi（i1,2,,m）的权系数，则求解以上问题的线性加权和法中所求解优化的目标函数为.
解，或者为原问题的有效解，或者为原问题的弱有效解.√
、简述题
1简单证明题
☆绝对最优解、有效解、及弱有效解之间的关系.
第5.2节中几个主要结论的证明.
2简单叙述题
★简述求解一般多目标规划的评价函数法的基本思想
简述求解一般多目标规划的线性加权和法的基本思想
基本思
★简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想.简述在求解一般多目标规划的评价函数法中，确定权系数方法的.
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