普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学含答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学含答案
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2021年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕
数学
本试题卷分选择题和非选择题两局部。
全卷共4页，选择题局部1至2页；非选择题局部3至4页。
总分值150分。
考试用时120分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“考前须知〞的要求，在答题纸相应的位置上标准作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
假设事件A，B互斥，那么
假设事件A，B互相独立，那么
假设事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
台体的体积公式
其中
分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高
柱体的体积公式
其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高
锥体的体积公式
其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高
球的外表积公式
球的体积公式
其中
表示球的半径
选择题局部〔共40分〕
一、选择题：
本大题共10小题，每题4分，共40分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．全集
，集合
，
，那么
=
A．
B．
C．
D．
2．渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是
A．
B．1
C．
D．2
3．假设实数x，y满足约束条件
，那么z=3x+2y的最大值是
A．
B．1
C．10D．12
4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，那么积不容异〞称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．假设某柱体的三视图如下图〔单位：
cm〕，那么该柱体的体积〔单位：
cm3〕是
A．158B．162
C．182D．324
5．假设a>0，b>0，那么“a+b≤4〞是“ab≤4〞的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．在同一直角坐标系中，函数y=
，y=loga（x+
）（a>0，且a≠1）的图象可能是
7．设0＜a＜1，那么随机变量X的分布列是
那么当a在〔0,1〕内增大时，
A．D〔X〕增大B．D〔X〕减小
C．D〔X〕先增大后减小D．D〔X〕先减小后增大
8．设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点〔不含端点〕．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，那么
A．β<γ，α<γB．β<α，β<γ
C．β<α，γ<αD．α<β，γ<β
9．
，函数
．假设函数
恰有3个零点，那么
A．a<–1，b<0B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0D．a>–1，b>0
10．设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，
，那么
A．当b=
时，a10>10B．当b=
时，a10>10
C．当b=–2时，a10>10D．当b=–4时，a10>10
非选择题局部〔共110分〕
二、填空题：
本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．复数
〔
为虚数单位〕，那么
=___________．
12．圆
的圆心坐标是
，半径长是
.假设直线
与圆C相切于点
，那么
=___________，
=___________．
13．在二项式
的展开式中，常数项是___________，系数为有理数的项的个数是___________．
14．在
中，
，
，
，点
在线段
上，假设
，那么
____，
___________．
15．椭圆
的左焦点为
，点
在椭圆上且在
轴的上方，假设线段
的中点在以原点
为圆心，
为半径的圆上，那么直线
的斜率是___________．
16．
，函数
，假设存在
，使得
，那么实数
的最大值是____.
17．正方形
的边长为1，当每个
取遍
时，
的最小值是___________，最大值是___________．
三、解答题：
本大题共5小题，共74分。
解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．〔本小题总分值14分〕设函数
.
〔1〕
函数
是偶函数，求
的值；
〔2〕求函数
的值域．
19．〔本小题总分值15分〕如图，三棱柱
，平面
平面
，
分别是AC，A1B1的中点.
〔1〕证明：
；
〔2〕求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
20．〔本小题总分值15分〕设等差数列
的前n项和为
，
，
，数列
满足：
对每个
成等比数列．
〔1〕求数列
的通项公式；
〔2〕记
证明：
21．〔本小题总分值15分〕如图，点
为抛物线
的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得
的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记
的面积分别为
．
〔1〕求p的值及抛物线的标准方程；
〔2〕求
的最小值及此时点G的坐标．
22．〔本小题总分值15分〕
实数
，设函数
〔1〕当
时，求函数
的单调区间；
〔2〕对任意
均有
求
的取值范围．
…为自然对数的底数．
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔浙江卷〕
数学参考答案
一、选择题：
此题考察根本知识和根本运算。
每题4分，总分值40分。
1．A2．C3．C4．B5．A
6．D7．D8．B9．C10．A
二、填空题：
此题考察根本知识和根本运算。
多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．
12．
13．
14．
15．
16．
17．
三、解答题：
本大题共5小题，共74分。
18．此题主要考察三角函数及其恒等变换等根底知识，同时考察运算求解才能。
总分值14分。
〔1〕因为
是偶函数，所以，对任意实数x都有
，
即
，
故
，
所以
．
又
，因此
或
．
〔2〕
．
因此，函数的值域是
．
19．此题主要考察空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等根底知识，同时考察空间想象才能和运算求解才能。
总分值15分。
方法一：
〔1〕连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E
平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E⊥平面ABC，那么A1E⊥BC．
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．
所以BC⊥平面A1EF．
因此EF⊥BC．
〔2〕取BC中点G，连接EG，GF，那么EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由〔1〕得BC⊥平面EGFA1，那么平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
连接A1G交EF于O，那么∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角〔或其补角〕．
不妨设AC=4，那么在Rt△A1EG中，A1E=2
，EG=
.
由于O为A1G的中点，故
，
所以
．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是
．
方法二：
〔1〕连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E
平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．
如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．
不妨设AC=4，那么
A1〔0，0，2
〕，B〔
，1，0〕，
，
，C（0，2，0）．
因此，
，
．
由
得
．
〔2〕设直线EF与平面A1BC所成角为θ．
由〔1〕可得
．
设平面A1BC的法向量为n
，
由
，得
，
取n
，故
，
因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为
．
20．此题主要考察等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等根底知识，同时考察运算求解才能和综合应用才能。
总分值15分。
〔1〕设数列
的公差为d，由题意得
，
解得
．
从而
．
所以
，
由
成等比数列得
．
解得
．
所以
．
〔2〕
．
我们用数学归纳法证明．
〔i〕当n=1时，c1=0<2，不等式成立；
〔ii〕假设
时不等式成立，即
．
那么，当
时，
．
即当
时不等式也成立．
根据〔i〕和〔ii〕，不等式
对任意
成立．
21．此题主要考察抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等根底知识，同时考察运算求解才能和综合应用才能。
总分值15分。
〔1〕由题意得
，即p=2.
所以，抛物线的准线方程为x=−1.
〔2〕设
，重心
.令
，那么
.
由于直线AB过F，故直线AB方程为
，代入
，得
，
故
，即
，所以
.
又由于
及重心G在x轴上，故
，得
.
所以，直线AC方程为
，得
.
由于Q在焦点F的右侧，故
.从而
.
令
，那么m>0，
.
当
时，
获得最小值
，此时G〔2，0〕．
22．此题主要考察函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考察逻辑思维才能和综合应用才能。
总分值15分。
〔1〕当
时，
．
，
所以，函数
的单调递减区间为〔0，3〕，单调递增区间为〔3，+
〕．
〔2〕由
，得
．
当
时，
等价于
．
令
，那么
．
设
，
那么
．
〔i〕当
时，
，那么
．
记
，那么
.
故
1
0
+
单调递减
极小值
单调递增
所以，
．
因此，
．
〔ii〕当
时，
．
令
，那么
，
故
在
上单调递增，所以
．
由〔i〕得，
．
所以，
．
因此
．
由〔i〕〔ii〕知对任意
，
，
即对任意
，均有
．
综上所述，所求a的取值范围是
．
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