学年高中数学第一单元基本初等函数Ⅱ124诱导公式二学案新人教B版必修4含答案.docx

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学年高中数学第一单元基本初等函数Ⅱ124诱导公式二学案新人教B版必修4含答案

1.2.4　诱导公式

（二）

学习目标　1.掌握诱导公式（四）的推导，并能应用解决简单的求值、化简与证明问题.2.对诱导公式

（一）至（四），能作综合归纳，体会出四组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力.3.继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力.

知识点一　角α与α＋的三角函数间的关系

思考　α＋的终边与α的终边有怎样的对称关系？

其三角函数值呢？

梳理　诱导公式（四）

cosα＋＝　　　　，

sinα＋＝　　　　，

tanα＋＝　　　　，

cotα＋＝　　　　.

知识点二　角α与－α＋的三角函数间的关系

以－α替代公式（四）中的α，可得到诱导公式（四）的补充：

cos（－α＋）＝sinα，

sin（－α＋）＝cosα，

tan（－α＋）＝cotα，

cot（－α＋）＝tanα.

梳理　±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：

“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”.

类型一　利用诱导公式求值

例1　

（1）已知cos（π＋α）＝－，α为第一象限角，求cos的值；

（2）已知cos＝，求cos·sin的值.

反思与感悟　对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：

如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.

跟踪训练1　已知sin＝，求cos的值.

类型二　利用诱导公式证明三角恒等式

例2　求证：

＝－tanα.

反思与感悟　利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：

（1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.

（2）左右归一法：

即证明左右两边都等于同一个式子.

（3）凑合法：

即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同.

跟踪训练2　求证：

＝.

类型三　诱导公式在三角形中的应用

例3　在△ABC中，sin＝sin，试判断△ABC的形状.

反思与感悟　解此类题需注意隐含的条件，如在△ABC中，A＋B＋C＝π，＝，结合诱导公式得到以下的一些常用等式：

sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，sin＝cos，cos＝sin.

跟踪训练3　在△ABC中，给出下列四个式子：

①sin（A＋B）＋sinC；

②cos（A＋B）＋cosC；

③sin（2A＋2B）＋sin2C；

④cos（2A＋2B）＋cos2C.

其中为常数的是（　　）

A.①③B.②③C.①④D.②④

类型四　诱导公式的综合应用

例4　已知f（α）＝.

（1）化简f（α）；

（2）若角A是△ABC的内角，且f（A）＝，求tanA－sinA的值.

反思与感悟　解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱.

跟踪训练4　已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2（π－α）的值.

1.已知sin＝，则cos的值为（　　）

A.－B.

C.D.－

2.若cos（2π－α）＝，则sin（－α）等于（　　）

A.－B.－

C.D.±

3.已知tanθ＝2，则等于（　　）

A.2B.－2C.0D.

4.已知cos＝2sin，

求的值.

5.已知sin（π＋α）＝－.计算：

（1）cos；

（2）sin；（3）tan（5π－α）.

1.诱导公式的分类及其记忆方式

（1）诱导公式分为两大类：

①α＋k·2π，－α，α＋（2k＋1）π（k∈Z）的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象限”.

②α＋，－α＋的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.

（2）以上两类公式可以归纳为：

k·＋α（k∈Z）的三角函数值，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.

2.利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转化成（0，）内的三角函数值”这种方式求解.

用诱导公式把任意角的三角函数转化为0到之间的角的三角函数的基本步骤：

答案精析

问题导学

知识点一

思考　如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为（cosα，sinα）．

点P关于直线y＝x的对称点为M，点M也在单位圆上，且M点坐标为（sinα，cosα）．

点M关于y轴的对称点为N，点N也在单位圆上，且N点坐标为（－sinα，cosα）．

另一方面，点P经过以上两次轴对称变换到达点N，等同于点P沿单位圆旋转到点N，且旋转角的大小为∠PON＝2（∠AOM＋∠MOB）＝2×＝.

因此点N是角α＋与单位圆的交点，点N的坐标为

.

所以有cos＝－sinα，

sin＝cosα，

故tan＝－cotα，

cot＝－tanα.

梳理　－sinα　cosα　－cotα　－tanα

题型探究

例1　解　

（1）∵cos（π＋α）＝－cosα

＝－，

∴cosα＝，又α为第一象限角，

则cos＝－sinα

＝－

＝－＝－.

（2）cos·sin

＝cos·sin

＝－cos·sin

＝－sin

＝－cos＝－.

跟踪训练1　.

例2　证明　∵左边＝

＝

＝

＝＝－

＝－tanα＝右边．

∴原等式成立．

跟踪训练2　证明　因为左边＝

＝

＝

＝

＝＝.

右边＝＝.

所以左边＝右边，故原等式成立．

例3　解　∵A＋B＋C＝π，

∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.

∵sin＝sin，

∴sin＝sin，

∴sin（－C）＝sin（－B），

即cosC＝cosB.

又∵B，C为△ABC的内角，∴C＝B，

∴△ABC为等腰三角形．

跟踪训练3　B

例4　解　

（1）f（α）＝

＝cosα.

（2）因为f（A）＝cosA＝，

又A为△ABC的内角，

所以由平方关系，得sinA＝＝，所以tanA＝＝，

所以tanA－sinA＝－＝.

跟踪训练4　－

当堂训练

1．D　2.A　3.B

4．解　∵cos＝2sin，

∴－sinα＝－2sin，

∴sinα＝2cosα，即tanα＝2.

∴

＝

＝

＝＝

＝＝

＝

＝＝

＝＝.

5．解　∵sin（π＋α）＝－sinα＝－，

∴sinα＝.

（1）cos＝cos

＝－sinα＝－.

（2）sin＝cosα，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.

∵sinα＝，

∴α为第一或第二象限角．

①当α为第一象限角时，sin＝cosα＝.

②当α为第二象限角时，

sin＝cosα＝－.

（3）tan（5π－α）＝tan（π－α）＝－tanα，

∵sinα＝，

∴α为第一或第二象限角．

①当α为第一象限角时，cosα＝，

∴tanα＝，

∴tan（5π－α）＝－tanα＝－.

②当α为第二象限角时，cosα＝－，tanα＝－，

∴tan（5π－α）＝－tanα＝.