两个一次函数图象的应用2一等奖教学设计含反思.docx
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两个一次函数图象的应用2一等奖教学设计含反思
4.4一次函数的应用
第3课时两个一次函数图象的应用
学习目标
1.掌握两个一次函数图像的应用;(重点)
2.能利用函数图象解决实际问题。
(难点)
教学过程
一、情景导入
在一次蜡烛燃烧实验中,甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y(厘米)与燃烧时间x(小时)之间的关系如图所示.请你根据图象所提供的信息回答下列问题:
甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是厘米、厘米,从点燃到燃尽所用的时间分别是小时、小时.
你会解答上面的问题吗?
学完本解知识,相信你能很快得出答案。
二、合作探究
探究点一:
两个一次函数的应用
(2015•日照模拟)自来水公司有甲、乙两个蓄水池,现将甲池的中水匀速注入乙池,甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如下所示,结合图象回答下列问题.
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数表达式;
(2)求注入多长时间甲、乙两个蓄水池水的深度相同;
(3)求注入多长时间甲、乙两个蓄水的池蓄水量相同;
(4)3小时后,若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池,又需多长时间?
分析:
(1)先设函数关系式,然后看甲乙两图分别取两组x、y的值得到一个二元一次方程组,解此方程组得出常数项,将常数项代入即可得出解析式;
(2)根据甲、乙两个蓄水池水的深度相同,可以得到一个一元一次方程,解此方程组可得注水时间;
(3)从函数图象判断当甲水池的水全部注入乙水池后,甲水深度下降2米,而乙水池深度升高3米,所以甲乙两水池的底面积比是3:
2,再根据容积公式求水量得到一个一元一次方程,解此方程得甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同时的注水时间;
(4)由图可知乙蓄水池的水深为4米,乙蓄水池上升的速度为1米/小时,由此求得答案即可
解:
(1)设它们的函数关系式为y=kx+b,
根据甲的函数图象可知,当x=0时,y=2;当x=3时,y=0,
将它们分别代入所设函数关系式y=kx+b中得,
k=-
,b=2代入函数关系式y=kx+b中得,
甲蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为:
y=-
y=x+2
根据乙的函数图象可知,当x=0时,y=1;当x=3时,y=4,
将它们分别代入所设函数关系式y=kx+b中得,
k=1,b=1代入函数关系式y=kx+b中得,
乙蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式为:
y=x+1;
(2)根据题意,得
解得x=
.
故当注水
小时后,甲、乙两个蓄水池水的深度相同;
(3)从函数图象判断当甲水池的水全部注入乙水池后,甲水池深度下降2米,而乙水池深度升高3米,所以甲乙水池底面积之比Sl:
S2=3:
2
S1(-
x+2)=S2(x+1),
解得x=1.
故注水1小时后,甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同.
(4)4÷(3÷3)=4小时.
所以若将乙蓄水池中的水按原速全部注入甲蓄水池,又需要4小时.
探究点二利用两个一次函数解决方案问题
∙
(2015•江西模拟)某文具店为了了解2015年3月份计算器的销售情况,对该月各种型号计算器的情况进行了统计,并将统计的结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
(1)请根据图中提供的信息,将条形图补充完整.
(2)该店4月份只购进了A,B,C三种型号的计算器,其数量和与3份计算器销量的总数量相同,结果恰好用完进化款共8200元,设购进A型计算器x只,B型计算器y只,三种计算器的进价和售价如下表:
∙
A型
B型
C型
进价(元/只)
50
30
20
售价(元/只)
70
45
25
∙
求出y与x之间的函数关系式.
(3)在
(2)中的条件下,根据实际情况,预计B型计算器销售超过40只后,这种型号的计算器就会产生滞销.
①假设所购进的A,B,C三种型号计算器能全部售出,求出预估利润P(元)与x(只)的函数关系式;
②求出预估利润的最大值.
分析:
(1)先根据统计图计算出计算器的总量,再根据A型计算器所占的百分比计算A型计算器的数量,即可补充条形图;
(2)根据设购进A型计算器x只,B型计算器y只,则C型计算器为(300-x-y)只,根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同,结果恰好用完进化款共8200元,得到50x+30y+20(300-x-y)=8200,整理得:
y=220-3x.
(3)①先算出A,B,C型计算器一只的利润,再计算出总利润即可解答;
②根据实际情况,预计B型计算器销售超过40只后,这种型号的计算器就会产生滞销,得到不等式220-3x≤40,解得:
x≥60,在P是x的一次函数,P=3700-15x,k=-15<0,P随x的增大而减小,所以当x去最小值60时,P有最大值,最大值为3700-15×60=2800(元).
解答:
(1)计算器的总量为:
60÷20%=300(只),则A型计算器为:
300×40%=120(只),如图:
(2)∵设购进A型计算器x只,B型计算器y只,
∴C型计算器为(300-x-y)只,
根据其数量和与3份计算器销量的总数量相同,结果恰好用完进化款共8200元,
∴50x+30y+20(300-x-y)=8200,
整理得:
y=220-3x.
(3)A型计算器一只的利润为:
70-50=20(元),B型计算器一只的利润为:
45-30=15(元),C型计算器一只的利润为:
25-20=5(元),
根据题意得:
P=20x+15y+5(300-x-y),
整理得:
P=3700-15x.
②∵根据实际情况,预计B型计算器销售超过40只后,这种型号的计算器就会产生滞销.
∴220-3x≤40,
解得:
x≥60,
∴x的取值范围为x≥60,且x为整数,
∵P是x的一次函数,P=3700-15x,k=-15<0,
∴P随x的增大而减小,
∴当x去最小值60时,P有最大值,最大值为3700-15×60=2800(元).
教学反思
进一步训练学生的识图能力。
能通过函数图象获取信息解决简单的实际问题,在函数图象信息获取的过程中,进一步培养学生的数形结合意识,发展形象思维。
7.3平行线的判定
第一环节:
情景引入
活动内容:
回顾两直线平行的判定方法
师:
前面我们探索过直线平行的条件.大家来想一想:
两条直线在什么情况下互相平行呢?
生1:
在同一平面内,不相交的两条直线就叫做平行线.
生2:
两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线互相平行.
生3:
同位角相等两直线平行;内错角相等两直线平行;同旁内角互补两直线平行.
师:
很好.这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的.
上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题.除公理、定义外,其他真命题都需要通过推理的方法证实.
我们知道:
“在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线”是定义.“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行”是公理.那其他的三个真命题如何证实呢?
这节课我们就来探讨.
活动目的:
回顾平行线的判定方法,为下一步顺利地引出新课埋下伏笔.
教学效果:
由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识,教师通过对话的形式,可以使学生很快地回忆起这些知识.
第二环节:
探索平行线判定方法的证明
活动内容:
①证明:
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
师:
这是一个文字证明题,需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意,可以把这个文字证明题转化为下列形式:
如图,已知,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补,求证:
a∥b.
如何证明这个题呢?
我们来分析分析.
师生分析:
要证明直线a与b平行,可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道:
∠1与∠3是同位角,所以只需证明∠1=∠3,则a与b即平行.
因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角,即∠2+∠3=180°,所以:
∠3=180°-∠2.又因为已知条件中有∠2与∠1互补
,即:
∠2+∠1=180°,所以∠1=180°-∠2,因此由等量代换可以知道:
∠1=∠3.
师:
好.下面我们来书写推理过程,大家口述,老师来书写.(在书写的同时说明:
符号“∵”读作“因为”,“∴”读作“所以”)
证明:
∵∠1与∠2互补(已知)∴∠1+∠2=180°(互补定义)
∴∠1=180°-∠2(等式的性质)∵∠3+∠2=180°(平角定义)
∴∠3=180°-∠2(等式
的性质)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴a∥b(同位角相等,两直线平行)
这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题,我们把这个真命题称为:
直线平行的判定定理.
这一定理可简单地写
成:
同旁内角互补,两直线平行.
注意:
(1)已给的公理,定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.
(2)证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”.这些根据,可以是已知条件
,也可以是定义、公理,已经学过的定理.在初学证明时,要求把根据写在每一步推理后面的括号内.
②证明:
内错角相等,两直线平行.
师:
小明用下面的方法作出了平行线,你认为他的作法对吗?
为什么?
(见相关动画)
生:
我认为他的作法对.他的作法可用上图来表示:
∠CFE=45°,∠BEF=45°.因为∠BEF与∠FEA组成一个平角,所以∠FEA=180°-∠BEF=180°-45°=135°.而∠CFE与∠FEA是同旁内角.且这两个角的和为180°,因此可知:
CD∥AB.
师:
很好.从图中可知:
∠CFE与∠FEB是内错角.因此可知:
“内错角相等,两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.
师生分析:
已知,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2.
求证:
a∥b
证明:
∵∠1=∠2(已知)∠1+∠3=180°(平角定义)
∴∠2+∠3=180°(等量代换)∴∠2与∠3互补(互补的定义)∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理:
内错角相等,两直线平行.
③借助“同位角相等,两直线平行”这一公理,你还能证明哪些熟悉的结论呢?
生1:
已知,如图,直线a⊥c,b⊥c.求证:
a∥b.
证明:
∵a⊥c,b⊥c(已知)
∴∠1=90°∠2=90°(垂直的定义)
∴∠1=∠2(等量代换)
∴b∥a(同位角相等,两直线平行)
生2:
由此可以得到:
“如果两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线平行”的结论.
师:
同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.
活动目的:
通过对学生熟悉的平行线判定的证明,使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理,并逐步掌握规范的推理格式.
教学效果:
由于学生有了以前学习过的相关知识,对几何证明题的格式有所了解,今天的学习只不过是
将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳,学生的认识更提高一步.
第三环节:
反馈练习
活动内容:
课本第231页的随堂练习第一题
活动目
的:
巩固本节课所学知识,让教师能对学生的状况进行分析,以便调整前进.
教学
效果:
由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理(公理),因此,
学生都能很快完成此题.
第四环节:
学生反思与课堂小结
活动内容:
①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明.同学们来归纳一下完成下表:
②由角的大小关系来证两直线平行的方法,再一次体现了“数”与“形”的关系;而应用这些公理、定理时,必须能在图形中准确地识别出有关的角.
③注意:
证明语言的规范化.推理过程要有依据.
活动目的:
通过对平行线的判定定理的归纳,使学生的认识有进一步的升华,再一次体会证明格式的严谨,体会到数学的严密性.
教学效果:
学生充分认识到证明步骤的严密性,对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识.
课后作业:
课本第232页习题6.4第1,2,3题
思考题:
课本第233页习题6.4第4题(给学有余力的同学做)
教学反思
平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一,它主要借助角来研究两条直线之间的位置关系,即
通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否,在教学中,要紧紧围绕这些角(同位角、内错角、同旁内角)与平行线之间的关系展开。