复变函数第五章留数解读.docx

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复变函数第五章留数解读

例:

计算积分ÑzòCz4-1dz,C为正向圆周:

|z|=2.[解]zz-14在|z|=2的外部除¥外无奇点,因此1z于是2f（=2×-4=-4=4zzz-1z-11-zz11z-1z-3zÑòCéæ1ö1ùdz=-2πiReséf（z）,¥ù=2πiResêfç÷2,0ú4ëûz-1ëèzøzûézù=2πiRes,0=0ê1-z4úëû

Res[f（z,¥]=-Res[f（2,0]zzÛRes[f（2,0]＝zz2pi11111ÑòCf（zdz=C-1C为包含z=R的任一正向简单闭曲线证明：

f（z=L+C-2zC-1=12p1-2+C-1z-1+C0+C1z+Lòi1f（zdz-1CÞf（2=L+C-3z+C-2+C-1zzz+C0z-2+LÞRes[f（2,0]=C-1=zz2pi111Ñòf（zdzC