如果政策在实施之前即产生影响(比如,通过预期效应),则可重新定义T0为政策
实际开始产生影响之前的那个时期。
一个潜在假定是各地区之间不会互相影响(no
interfereneebetweenunits);特别地,控制地区的结果变量不受处理地区政策冲击的影
响。
我们关心当i=1而t>TO时的处理效应:
%三y;厂X=儿—(『=▲+「-•』)
在上式中,只要估计y1tN即可。
引入因子模型
假设yitN由以下"因子模型”(factormodel)所决定:
必7=迓+3;召+九;耳+镰
⑴⑵⑴⑷
其中,上式右边第
(1)项St为时间固定效应(timefixedeffects)
第
(2)项的zi为可观测的向量(不受政策干预影响,也不随时间而变;比如,干预之前
的预测变量之平均值)。
zi对于yitN的作用随时间而变,故zi的系数0t(未知参数)带时间下标t。
第⑶项为不可观测的"互动固定效应”(InteractiveFixedEffects),即个体固定效
应ui与时间固定效应入t的乘积(Bai,2009)。
第⑷项?
it为随机扰动项。
根据"因子分析”(factoranalysis)的术语,称第(3)项中不可观测的兀为"共同
因子”(commonfactors),可理解为不同地区所面临的共同冲击(commonshocks),
比如它有两个分量,分别表示技术冲击(technologicalshocks)与金融危机(financial
crises);而各地区对于共同冲击淀的反应并不相同,以ui来表示,称为“因子载荷”
(factorloading)。
如果Xt是一维且为常数,则上式简化为“双向固定效应模型”(two-wayfixedeffects
model),包含个体固定效应ui与时间固定效应S。
由此可知,上式是双向固定效应
模型的推广,它允许不同个体对于共同冲击的异质性反应(heterogeneousimpacts)。
合成控制的误差
记构造合成控制的权重向量为:
W三(叫…W八|)
其中,w2表示第2个地区在合成控制所占的权重,以此类推;所有权重皆为非负,且
权重之和为1。
对于任意给定的w,可将合成控制地区的结果变量写为:
j=2
将yltN减去上式可得:
r+1
+2X(%-勺)
显然,如果能找到w,使得上式右边的
(1)式与
(2)式均为0,则上式的期望为0,故合
成控制为yltN的无偏估计。
但
(2)式中的ui不可观测,故不可行。
Abadieetal.(2010)证明,如果能找到w使得
J+lJ+1
2i^SM?
;zr且儿小工叫儿(las?
;)
则也会有
J+1
U严工V
尸2
即根据可观测的经济特征与干预前结果变量所选择的合成控制w,也会使得合成控制
的不可观测特征接近于处理地区。
反之,如果无法找到w,使得合成控制能很好地复制
(reproduce)处理地区的经济特征以及干预之前的结果变量,则不建议使用合成控制法。
合成控制法的基本性质
如果合成控制w*能很好地复制处理地区的经济特征与干预前的结果变量(关于如何
计算w*,参见首篇《合成控制法
(一)》),则可定义如下合成控制估计量(SyntheticControl
Estimator):
J+l
%三儿-儿(27;+匕…』)
Abadieetal.(2010)证明,在一定的正则条件下,如果合成控制w*能完全地复制
(perfectlyreproduce)处理地区的经济特征与干预前的结果变量,则当干预前期数T0趋
向无穷大时,合成控制估计量是渐近无偏(asymptoticallyunbiased)。
反之,如果合成控制w*只是不完全地复制(imperfectlyreproduce)处理地区的经济特征与干预前的结果变量(更为常见的情形),则合成控制估计量将是渐近有偏的。
此偏
差被称为"内插偏差”(interpolationbias),因为使用内插法构造的合成控制并不是处
理地区的完美的反事实替身。
因此,在使用合成控制法时,一个重要的模型设定检验就是,
考察合成控制的经济特征与干预前的结果变量是否与处理地区足够接近。
合成控制法的Stata命令
Abadieetal.(2010)还提供了合成控制法的Stata程序synth,使得估计十分方便。
打开Stata后,可输入以下命令:
.sscinstallsynth,replace
(下载并安装synth程序)
其中,选择项“replace”表示如有此命令更新版本,可以新命令覆盖旧命令。
命令synth的基本句型为:
synthyx1x2x3,trunit(#)trperiod(#)counit(numlist)
xperiod(numlist)mspeperiod()figureresultsperiod()nestedallopt
keep(filename)
其中,“y”为结果变量(outcomevariable),“x1x2x3”为预测变量(predictors)。
必选项“trunit(#)”用于指定处理地区(trunit表示treatedunit)。
必选项“trperiod(#)”用于指定政策干预开始的时期(trperiod表示treated
period)。
选择项“counit(numlist)”用于指定潜在的控制地区(即donorpool,其中counit
表示controlunits),默认为数据集中的除处理地区以外的所有地区。
选择项“xperiod(numlist)”用于指定将预测变量(predictors)进行平均的期间,
默认为政策干预开始之前的所有时期(theentirepre-interventionperiod)。
选择项“mspeperiod()”用于指定最小化均方预测误差(MSPE)的时期,默认为
政策干预开始之前的所有时期。
选择项“figure”表示将处理地区与合成控制的结果变量画时间趋势图,而选择项"resultsperiod()”用于指定此图的时间范围(默认为整个样本期间)。
选择项“nested”表示使用嵌套的数值方法寻找最优的合成控制(推荐使用此选项)
这比默认方法更费时间,但可能更精确。
在使用选择项“nested”时,如果再加上选择
项“allopt"(即“nestedallopt”),则比单独使用“nested”还要费时间,但精
确度可能更高。
选择项“keep(filename)”将估计结果(比如,合成控制的权重、结果变量)存为
另一Stata数据集(filename.dta),以便进行后续计算。
更多选择项,详见helpsynth
力口州控烟法有效吗?
Abadieetal.(2010)随之将合成控制法应用于研究美国加州1988年第99号控烟法
(Proposition99)的效果。
1988年11月美国加州通过了当代美国最大规模的控烟法
(anti-tobaccolegislation),并于1989年1月开始生效。
该法将加州的香烟消费税(cigaretteexcisetax)提高了每包25美分,将所得收入专项用于控烟的教育与媒体宣传,并引发了一系列关于室内清洁空气的地方立法(localclean
indoor-airordinances),比如在餐馆、圭寸闭工作场所等禁烟。
面板数据集
Abadieetal.(2010)使用的数据为美国1970-2000年的州际面板数据。
由于
Massachusetts,Arizona,Oregon与Florida的州政府在1989-2000期间也引入了正式的
控烟立法,无法作为控制地区,故将此四州从donorpool中去掉。
夕卜,还去掉了在1989-2000期间将香烟消费税提高了每包50美分及以上的州(Alaska,
Hawaii,Maryland,Michigan,NewJersey,NewYork,Washington),以及首都所在地
华盛顿特区。
最后剩下38个州作为潜在的控制地区(即使加上去掉的州,结果也依然稳健)
变量介绍
该研究的结果变量为cigsale(人均香烟消费量,包/年),预测变量包括retprice(平
均香烟零售价格)、Inincome(人均收入对数)、age15to24(15-24岁人口所占总人口
比重,年轻人为吸烟主力)、beer(人均啤酒消费量,烟酒不分家)。
这些预测变量均为
1980-1988年的州平均值,另外还使用1975、1980与1988年的人均香烟消费量作为三
个额外的预测变量。
另外,面板变量为state(州),而时间变量为year(年)。
Stata操作
Stata程序synth自带了加州控烟法的数据集smoking.dta。
安装命令synth后,输
入以下命令即可打开此数据集,设为面板数据,然后进行合成控制法的估计:
.sysusesmoking(打开数据集)
.xtsetstateyear(设为面板数据)
.synthcigsaleretpriceInincomeage15to24beercigsale(1975)cigsale(1980)cigsale(1988),trunit(3)trperiod(1989)xperiod(1980
(1)1988)figurenestedkeep(smoking_synth)
其中,“cigsale(1975)cigsale(1980)cigsale(1988)”分别表示人均香烟消费在1975、
1980与1988年的取值。
必选项“trunit(3)”表示第3个州(即加州)为处理地区;必选项“trperiod(1989)”表示控烟法在1989年开始实施。
选择项“xperiod(1980
(1)1988)”表示将预测变量在1980-1988年期间进行平均,
其中“1980
(1)1988”表示始于1980年,以1年为间隔,而止于1988年;其效果等价于“198019811982198319841985198619871988”,而前者的写法显然更为简洁。
选择项“keep(smoking_synth)”将估计结果存为Stata数据集smoking_synth.dta
(放在Stata的当前工作路径)。
估计结果如下。
上表显示,大多数州的权重为0,而只有以下五个州的权重为正,即Colorado(0.161),
Connecticut(0.068),Montana(0.201),Nevada(0.235)与Utah(0.335),此结果与
Abadieetal.(2010)汇报的结果非常接近(细微差别或由于计算误差)。
考察加州与合成加州的预测变量是否接近:
从上表可知,加州与合成加州的预测变量均十分接近,故合成加州可以很好地复制加州
的经济特征。
然后比较二者的人均香烟消费量在1989年前后的表现:
从上图可知,在1989年控烟法之前,合成加州的人均香烟消费与真实加州几乎如影相
随,表明合成加州可以很好地作为加州如未控烟的反事实替身。
在控烟法实施之后,力口州与
合成加州的人均香烟消费量即开始分岔,而且此效应越来越大。